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浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(实验班) Word版含解析


浙江省绍兴市诸暨中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (实验班)
一、选择题: (每题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)抛物线 y=ax 的准线方程为 y=﹣1,则实数 a=() A.4 B.
2 2

C. 2

D.

2. (3 分)函数 y=cos(1+x )+4 的导

数是() 2 2 2 A.2xsin(1+x ) B.﹣sin(1+x ) C.2cos(1+x )

D.﹣2xsin(1+x )

2

3. (3 分)已知椭圆 A.4 B. 5

,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于() C. 7 D.8

4. (3 分)过点 P(2,﹣2) ,且与

有相同渐近线的双曲线方程是()

A.

B.

C.

D.

5. (3 分)若直线 y=kx 与圆(x﹣2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为() A. B. C. D.

2

2

6. (3 分)若点 A(2,﹣3)是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点,则相异两点(a1, b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是() A.2x﹣3y+1=0 B.3x﹣2y+1=0 C.2x﹣3y﹣1=0 D.3x﹣2y﹣1=0 7. (3 分)过圆 x +y =4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则△ ABP 的外接圆方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣4) +(y﹣2) =1 B.x +(y﹣2) =4 C. (x+2) +(y+1) 2 2 2 =5 D. (x﹣2) +(y﹣1) =5 8. (3 分) 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点. 且∠F1PF2= 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A. B. C. 3 D.2 ,
2 2

9. (3 分)已知椭圆 心率的取值范围为() A.

上到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) ,则椭圆的离

B.

C.

D.

10. (3 分) 在平面直角坐标系 xOy 中. 已知向量 、 , | |=| |=1, ? =0, 点 Q 满足 ( + ) ,曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<r≤| C.r≤1<R<3

=

|≤R,r<R}.若 C∩Ω D.1<r<3<R

为两段分离的曲线,则() A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R

二、填空题: (每题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)若直线 l1:mx+y﹣(m+1)=0 平行于直线 l2:x+my﹣2m=0,则 m=. 12. (4 分)设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 为,则点 P 横坐标的取值范围为. 13. (4 分) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若|AF|=3, 则△ AOB 的面积为.
2 2

14. (4 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的直线

交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为.
2

15. (4 分)设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 则 =.
2 2



16. (4 分)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 2 2 a +b =.

17. (4 分)过双曲线



=1(a>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,

直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同 交点,则双曲线离心率的取值范围是.

三、解答题: (写出必要的文字说明,计算、推理过程,共 42 分) 2 2 18. (10 分)已知圆 C:x ﹣2x+y =0,直线 l:x+y﹣4=0. (1)若直线 l′⊥l 且被圆 C 截得的弦长为 ,求直线 l′的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,PA、PB 与圆 C 相切于点 A、B,求四边形 PACB 面积的最 小值.
2

19. (10 分)已知函数 f(x)=(x +bx+b) (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值;

(b∈R)

(2)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围.

20. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1, 记点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(﹣2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.

21. (12 分)已知椭圆 C:

的离心率为

,椭圆 C 上的点到左焦

点 F 距离的最小值与最大值之积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过椭圆 C 内一点 M(m,0) ,与椭圆 C 交于 P、Q 两点.对给定的 m 值,若存 在直线 l 及直线母 x=﹣2 上的点 N,使得△ PNQ 的垂心恰为点 F,求 m 的取值范围.

浙江省绍兴市诸暨中学 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(实验班)

参考答案与试题解析

一、选择题: (每题 3 分,共 30 分) 2 1. (3 分)抛物线 y=ax 的准线方程为 y=﹣1,则实数 a=() A.4 B. C. 2 D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆 锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 抛物线方程化为标准方程,求出其准线,利用条件,即可求 a 的值. 解答: 解:抛物线 y=ax ,可化为 ∵抛物线 y=ax 的准线方程为 y=﹣1, ∴ ∴a= 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 2. (3 分)函数 y=cos(1+x )+4 的导数是() 2 2 2 A.2xsin(1+x ) B.﹣sin(1+x ) C.2cos(1+x ) 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据复合函数的导数的运算法则求导即可. 2 2 解答: 解:y=﹣sin(1+x )?2x=﹣2xsin(1+x ) , 故选:D 点评: 本题主要考查了复合函数的求导,属于基础题.
2 2 2

,其准线方程为 y=﹣

D.﹣2xsin(1+x )

2

3. (3 分)已知椭圆 A.4 B. 5

,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于() C. 7 D.8

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先把椭圆方程转换成标准方程,进而根据焦距求得 m. 解答: 解:将椭圆的方程转化为标准形式为 显然 m﹣2>10﹣m,即 m>6, ,解得 m=8 ,

故选 D 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质. 要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系 要明了.

4. (3 分)过点 P(2,﹣2) ,且与

有相同渐近线的双曲线方程是()

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设所求的双曲线方程是 值,即得所求的双曲线方程. 解答: 解:由题意知,可设所求的双曲线方程是 ∵点 P(2,﹣2)在双曲线方程上, 所以 ,∴k=﹣2, =k, =k,由点 P(2,﹣2)在双曲线方程上,求出 k

故所求的双曲线方程是



故选 B. 点评: 本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 解题的关键是根据渐 近线方程相同设所求的双曲线方程是
2 2

=k,属于基础题.

5. (3 分)若直线 y=kx 与圆(x﹣2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆的位置关系;关于点、直线对称的圆的方程. 计算题;直线与圆. 利用对称知识,求出直线的斜率,对称轴经过圆的圆心即可求出 b. 2 2 解:因为直线 y=kx 与圆(x﹣2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,

直线 2x+y+b= 0 的斜率为﹣2,所以 k= . 并且直线经过圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线 2x+y+b=0 上, 所以 4+0+b=0,b=﹣4. 故选 A. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 对称直线方程的应用, 考查分析问题解决问题与计 算能力.

6. (3 分)若点 A(2,﹣3)是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点,则相异两点(a1, b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是() A.2x﹣3y+1=0 B.3x﹣2y+1=0 C.2x﹣3y﹣1=0 D.3x﹣2y﹣1=0 考点: 直线的两点式方程;两条直线的交点坐标. 专题: 计算题. 分析: 把点 A(2,﹣3)代入线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的方程,发现点(a1,b1) 和(a2,b2)都在同一条直线 2x﹣3y+1=0 上, 从而得到点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程. 解答: 解:∵A(2,﹣3)是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点, ∴2a1﹣3b1+1=0,且 2a2﹣3b2+1=0, ∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线 2x﹣3y+1=0 上, 故 点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是 2x﹣3y+1=0, 答案选 A. 点评: 本题考查两直线交点的坐标和点在直线上的条 件. 7. (3 分)过圆 x +y =4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则△ ABP 的外接圆方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣4) +(y﹣2) =1 B.x +(y﹣2) =4 C. (x+2) +(y+1) 2 2 2 =5 D. (x﹣2) +(y﹣1) =5 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据已知圆的方程找出圆心坐标,发现圆心为坐标原点,根据题意 可知,△ ABP 的外接圆即为四边形 OAPB 的外接圆, 从而得到线段 OP 为外接圆的直径,其中点为外接圆 的圆心, 根据 P 和 O 两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径,除 以 2 求出半径,利用中点坐标公式求出线段 OP 的中点即为外接圆的圆心,根据求出的圆心 坐标和半径写出外接圆的方程即可. 2 2 解答: 解:由圆 x +y =4,得到圆心 O 坐标为(0,0) , ∴△ABP 的外接圆为四边形 OAPB 的外接圆,又 P(4,2) , ∴外接圆的直径为|OP|= =2 ,半径为 , ,
2 2

外接圆的圆心为线段 OP 的中点是(
2

) ,即(2,1) ,
2

则△ ABP 的外接圆方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5. 故选 D 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系, 要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标 公式.根据题意得到△ ABP 的外接圆为四边形 OAPB 的外接圆是本题的突破点. 8. (3 分) 已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点. 且∠F1PF2= 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() ,

A.

B.

C. 3

D.2

考点: 椭圆的简单性质;余弦定理;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论. 解答: 解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1, (a>a1) ,半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1PF2= ,
2 2 2

∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos 在椭圆中,①化简为即 4c =4a ﹣3r1r2, 即 ,②
2 2 2 2

,①

在双曲线中,①化简为即 4c =4a1 +r1r2, 即 ,③

联立②③得,

=4,

由柯西不等式得(1+ ) (

)≥(1×

+

),

2

即(



=



,d 当且仅当

时取等号,

法 2:设椭圆的长半轴为 a1,双曲线的实半轴为 a2, (a1>a2) ,半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1PF2= ,
2 2 2

∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos

=(r1) +(r2) ﹣r1r2,

2

2



,得





=



令 m=

=

=





时,m



∴ 即∴

, 的最大值为 ,

故选:A 点评: 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质, 利用余弦定理和柯西不等式是解决本题 的关键.难度较大.

9. (3 分)已知椭圆 心率的取值范围为() A. B.

上到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) ,则椭圆的离

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: 设点 P(x,y)是椭圆上的任意一点,利用两点间的距离公式可得:|PA| =x +(y ﹣b) =
2

=

=f(y) ,由于椭圆上的点

P 到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) ,利用二次函数的单调性可知:f(y)在(﹣ b,b)单调递减,可得 ,即可得出离心率的取值范围.

解答: 解:设点 P(x,y)是椭圆上的任意一点, 则 ,化为 .

∴|PA| =x +(y﹣b) =

2

2

2

=

=f(y) ,

∵椭圆上的点 P 到点 A(0,b)距离最远的点是 B(0,﹣b) ,

由二次函数的单调性可知:f(y)在(﹣b,b)单调递减, ∴
2 2 2


2 2 2

化为 c ≤b =a ﹣c ,即 2c ≤a , ∴ 又 e>0. ∴离心率的取值范围是 . .

故选:C. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 两点间的距离公式、 二次函数的单调性等基 础知识与基本技能方法,属于难题.

10. (3 分) 在平面直角坐标系 xOy 中. 已知向量 、 , | |=| |=1, ? =0, 点 Q 满足 ( + ) ,曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<r≤| C.r≤1<R<3

=

|≤R,r<R}.若 C∩Ω D.1<r<3<R

为两段分离的曲线,则() A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R 考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用;直线与圆.

分析: 不妨令 =(1,0) , =(0,1) ,则 P 点的轨迹为单位圆,Ω={P|(0<r≤|

|≤R,r

<R}表示的平面区域为:以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环,若 C∩Ω 为两段分离 的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,进而根据圆圆相交的充要条件得到答案. 解答: 解:∵平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0, 不妨令 =(1,0) , =(0,1) , 则 = ( + )=( , ) ,

= cosθ+ sinθ=(cosθ,sinθ) , 故 P 点的轨迹为单位圆, Ω={P|(0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域为:

以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环, 若 C∩Ω 为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交, 故|OQ|﹣1<r<R<|OQ|+1, ∵|OQ|=2, 故 1<r<R<3,

故选:A 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用, 其中根据已知分析出 P 的轨迹及 Ω={P| (0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域,是解答的关键.

二、填空题: (每题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)若直线 l1:mx+y﹣(m+1)=0 平行于直线 l2:x+my﹣2m=0,则 m=﹣1. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得 = ≠ ,解之即可.

解答: 解:∵直线 l1:mx+y﹣(m+1)=0 平行于直线 l2:x+my﹣2m=0, ∴ = ≠ ,解得 m=﹣1

故答案 为:﹣1 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题. 12. (4 分)设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围 为,则点 P 横坐标的取值范围为. 考点: 直线的倾斜角;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 切线的斜率 k=tanθ∈.设切点为 P(x0,y0) ,k=y′|x=x0=2x0+2,上此可知点 P 横坐 标的取值范围. 解答: 解:∵切线的斜率 k=tanθ∈=. 设切点为 P(x0,y0) ,于是 k=y′|x=x0=2x0+2, ∴x0∈. 答案 点评: 本题考查圆锥曲线的基本性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 13. (4 分) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若|AF|=3, 则△ AOB 的面积为 .
2 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设直线 AB 的倾斜角为 θ,利用|AF|=3,可得点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3,从 而 cosθ= ,进而可求|BF|,|AB|,由此可求 AOB 的面积. 解答: 解:设直线 AB 的倾斜角为 θ(0<θ<π)及|BF|=m, ∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3,

∴2+3cosθ=3,即 cosθ= ,则 sinθ= ∵m=2+mcos(π﹣θ) ∴m= ∴△AOB 的面积为 S= 故答案为: 点评: 关键. .



=

=



本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定抛物线的弦长是解题的

14. (4 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点, 过点 F1 的直线
2

交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为 x +

=1.

考点: 椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出 B(﹣ c,﹣ b ) ,代入椭圆方程,结合 1=b +c ,即可求出椭圆的方程. 解答: 解:由题意,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,AF2⊥x 轴,∴|AF2|=b , 2 ∴A 点坐标为(c,b ) , 设 B(x,y) ,则 ∵|AF1|=3|F1B|, 2 ∴(﹣c﹣c,﹣b )=3(x+c,y) ∴B(﹣ c,﹣ b ) ,
2 2 2 2 2

代入椭圆方程可得 ∵1=b +c , ∴b = ,c = , ∴x +
2 2 2 2 2



=1.
2

故答案为:x +

=1.

点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
2

15. (4 分)设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 则 =6.



考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题. 分析: 先设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,根据抛物线方程求得焦点坐标和准 线方程,再依据 =0,判断点 F 是△ ABC 重心,进而可求 x1+x2+x3 的值.最后

根据抛物线的定义求得答案. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) 抛物线焦点坐标 F(1,0) ,准线方程:x=﹣1 ∵ = ,

∴点 F 是△ ABC 重心 则 x1+x2+x3=3 y1+y2+y3=0 而|FA|=x1﹣(﹣1)=x1+1 |FB|=x2﹣(﹣1)=x2+1 |FC|=x3﹣(﹣1)=x3+1 ∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6 故答案为:6. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质, 平面向量的基础知识. 考查了学生分析问题和 解决问题的能力.解本题的关键是判断出 F 点为三角形的重心. 16. (4 分)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 2 2 a +b =2. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线 与圆. 分析: 由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的 ,即 = =cos45°,由此求得 a +b 的值.
2 2 2 2

解答: 解:由题意可得,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的 , ∴ = =cos45°= ,∴a +b =2,
2 2

故答案为:2. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,得到 = =cos45°是解题的关键,属于基础题.

17. (4 分)过双曲线



=1(a>0)的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,

直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同 交点,则双曲线离心率的取值范围是( , ) . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定双曲线的渐近线斜率 2< <3, 再根据 = 心率的取值范围. 解答: 解:由题意可得双曲线的渐近线斜率 2< <3, ∵ = ∴ <e< ∴双曲线离心率的取值范围为( , ) . 故答案为: ( , ) . 点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用 = ,属于中档题. , 即可求得双曲线离

三、解答题: (写出必要的文字说明,计算、推理过程,共 42 分) 2 2 18. (10 分)已知圆 C:x ﹣2x+y =0,直线 l:x+y﹣4=0. (1)若直线 l′⊥l 且被圆 C 截得的弦长为 ,求直线 l′的方程; (2)若点 P 是直线 l 上的动点,PA、PB 与圆 C 相切于点 A、B,求四边形 PACB 面积的最 小值. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设出直线 l′方程,利用弦长为 ,结合勾股定理,即可求直线 l′的方程; 2 2 2 2 (2) 表示出 S 四边形 PACB=2S△ PAC=|PA||AC|, S 四边形 PACB=2S△ PAC=|PA||AC|, 而 PA =PC ﹣r =PC ﹣1,所以当 PC 取最小值时,PA 取得最小值,从而可得结论. 解答: 解: (1)因为直线 l′⊥l,所以直线 l′的斜率为 1,设直线 l′方程为 y=x+b, 因为截得弦长为 , 所以直线 l′方程为: 或 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) ,所以圆心 C 到直线 l′的距离为 ,即 ,解得 或

(2)S 四边形 PACB=2S△ PAC=|PA||AC|, 因为|AC|=r=1,所以当|PA|取得最小值时四边形 PACB 的面积最小. 2 2 2 2 因为 PA =PC ﹣r =PC ﹣1,所以当 PC 取最小值时,PA 取得最小值,

由点到直线的距离公式可得 所以

, . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10 分)

点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 考查四边形面积的计算, 考查学生分析转化问题的 能力,属于中档题.
2

19. (10 分)已知函数 f(x)=(x +bx+b) (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值;

(b∈R)

(2)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 b=4 代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的零点对定义域分段, 由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性,从而求得极值; (2)求出原函数的导函数,由导函数在区间(0, )上大于等于 0 恒成立,得到 对任意 x∈(0, )恒成立.由单调性求出
2

的范围得答案. = (x ) ,

解答: 解: (1)当 b=4 时,f(x)=(x +4x+4) 则

= . 由 f′(x)=0,得 x=﹣2 或 x=0. 当 x<﹣2 时,f′(x)<0,f(x)在(﹣∞ ,﹣2)上为减函数. 当﹣2<x<0 时,f′(x)>0,f(x)在(﹣2,0)上为增函数. 当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)在(0, )上为减函数. ∴当 x=﹣2 时,f(x)取极小值为 0. 当 x=0 时,f(x)取极大值为 4; (2)由 f(x)=(x +bx+b)
2

,得:

=



由 f(x)在区间(0, )上单调递增, 得 f′(x)≥0 对任意 x∈(0, )恒成立. 即﹣5x ﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈(0, )恒成立. ∴ 对任意 x∈(0, )恒成立.
2

∵ ∴ .



∴b 的取值范围是



点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性, 考查了利用导数求函数的极值, 考查了数 学转化思想方法,是中档题. 20. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1 ,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(﹣2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 设出 M 点的坐标, 直接由题意列等式, 整理后即可得到 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设出直线 l 的方程为 y﹣1=k(x+2) ,和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于 y 的一元 二次方程,求出判别式,再在直线 y﹣1=k(x+2)中取 y=0 得到 .然后分判别

式小于 0、等于 0、大于 0 结合 x0<0 求解使直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共 点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设 M(x,y) ,依题意得:|MF|=|x|+1,即 化简得,y =2|x|+2x. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为
2 2





(Ⅱ)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x(x≥0) ,C2:y=0(x<0) . 依题意,可设直线 l 的方程为 y﹣1=k(x+2) . 由方程组 ,可得 ky ﹣4y+4(2k+1)=0.
2

①当 k=0 时,此时 y=1,把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点(
2



) .
2

②当 k≠0 时,方程 ky ﹣4y+4(2k+1)=0 的判别式为△ =﹣16(2k +k﹣1) . 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0) , 则由 y﹣1=k(x+2) ,取 y=0 得 .



,解得 k<﹣1 或 k> .

即当 k∈

时, 直线 l 与 C1 没有公共点, 与 C2 有一个公共点,

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. 若 或 ,解得 k=﹣1 或 k= 或 .

即当 k=﹣1 或 k= 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 当 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 无公共点. 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.

故当 k=﹣1 或 k= 或



,解得﹣1<k<﹣ 或 0<k< .

即当﹣1<k<﹣ 或 0<k< 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点. 此时直线 l 与 C 恰有三个公共点. 综上,当 k∈ 当k 当 k∈ ∪{0}时,直线 l 与 C 恰有一个公共点; ∪{﹣1, }时,直线 l 与 C 恰有两个公共点; 时,直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点.

点评: 本题考查轨迹方程, 考查了直线与圆锥曲线的关系, 体现了分类讨论的数学思想方 法,重点是做到正确分类,是中档题.

21. (12 分)已知椭圆 C: 点 F 距离的最小值与最大值之积为 1.

的离心率为

,椭圆 C 上的点到左焦

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过椭圆 C 内一点 M(m,0) ,与椭圆 C 交于 P、Q 两点.对给定的 m 值,若存 在直线 l 及直线母 x=﹣2 上的点 N,使得△ PNQ 的垂心恰为点 F,求 m 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆离心率为 ,椭圆 C 上的点到左焦点 F 距离的最小值与最大值之

积为 1,建立方程组,即可求椭圆 C 的方程; (2)直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,△ PNQ 的垂心恰为点 F,建立等式,即可 求 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由条件得 ,解得 a= ,b=c=1

∴椭圆 C 的方程为

. .
2 2 2

(2)由条件知,F(﹣1,0) ,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,N(﹣2,n) ,则由

得(λ +2)y +2λmy+m ﹣2=0,



知△ >0 恒成立,且





由 PQ⊥NF 得 n=λ, 由 NQ⊥PF 得
2



化简得, (λ +1)y1y2+λ(m+1) (y1+y2)+(m+1) (m+2)=0 2 2 化简得,mλ =﹣(3m +6m+2) (显然 m≠0) , 由 λ ≥0, ∴m 的取值范围
2

得,解得




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