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2014届高三下学期第一次模拟考试


绝密★启用前

2016 年普通高等学校招生全国统一考试









本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它 题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试

卷和答题卡 一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

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第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.设集合 M={x| A.

1 ? 2 x ? 4 },N={x|x-k>0},若 M∩N= ? ,则 k 的取值范围为 2
B.(2,+∞) C.(-∞,-1) D. ? ??, ?1?

? 2, ?? ?
2

?1 ? i ? 2.复数
1? i
A.-1-i

等于 B.1+i C.1-i D.-1+i 理科数学试卷
2

3.下列说法正确的是 A.命题“ ?x ? R 使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0 ”
2

第2页

B.a ? R,“

1 <1”是“a>1”的必要不充分条件 a

C.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件 D.命题 p:“ ?x ? R, sin x ? cos x ?

2 ”,则 ? p 是真命题
a a a

4.等差数列 {an } 中, a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 1 ? 2 2 ??? 2 10 ) ? A.10 B.20 C.40 D.2+log25

5.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ,曲线 y ? 投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 A.

x 经过点 B .现将一质点随机

5 12 2 3

B.

1 2 3 4

C.

D.

6.要从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生组成课外兴趣 小组学习,则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为
4 A10 ? A52 A. 6 C15 3 3 C10 ? C5 6 C15 6 C15 B. 6 A15 4 C10 ? C52 6 C15

C.

D.

7.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是 A.2 C.-1 B.

1 2

D.1

?x ? 2 ? 且目标函数z ? 3 x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值是 8.已知 x, y满足? x ? y ? 4, ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?
A.10 B.12 C.14 D.15

9.若 a, b, c 均为单位向量, a ? b ? ? A. 2 B.

1 , c ? xa ? yb , ( x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值是 2
C. 2 D. 1

3

10.将函数 f(x)=3sin(4x+

? ? )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位长度,得 6 6 ? 6 ? 3
2? 3

到函数 y=g(x)的图象.则 y=g(x)图象的一条对称轴是 A.x=

? 12

B.x=

C.x=

D.x=

11.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边 长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的体积为 A.

4? 3

B. 3?

C. ?

D.

3 ? 2

2 12.在直线 y ? ?2 上任取一点 Q,过 Q 作抛物线 x ? 4 y 的切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 恒过的

点是 A. (0,1) B. (0,2) C. (2,0) D. (1,0)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若二项式 ? x ?

? ?

2? ? 的展开式共 7 项,则该展开式中的常数项为___________. x2 ?
.

n

14.在△ABC 中,AB= 3 ,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面积等于 15 . 设 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 过 F1 的 直 线 l 交 双 曲 线 左 支 于 A, B 两 点 , 则 4 3

BF2 ? AF2 的最小值为____________.
16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ? 2Sn?1 (n ? 2) ,则 an ? 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? sin(? x ? 离为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若点( 一个对称中心,且 b ? 3 ,求△ ABC 周长的取值范围. .

π ? ) ? 2 cos2 x ? 1(? ? 0). 直线 y ? 3 与函数 y ? f ( x ) 图象相邻两交点的距 6 2

B ,0 )是函数 y ? f ( x ) 图象的 2

18.(本题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a , E

M

F

?ABC ? 60? ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形,
AE ? a ,点 M 在线段 EF 上.
(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值. D A C B

19.(本小题满分 12 分) 为迎接 2012 年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、 乙两名运动员为争 取最后一个参赛名额进行的 7 轮比赛的得分如茎叶图所示: (1)若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选 3 个不低于 80 且不高于 90 的得分,求甲的三个得分与 其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过 2 的概率; (2)若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于 80 且不高于 90 的得分中任选 1 个,求甲、乙两 名运动员得分之差的绝对值 ? 的分布列与期望.

甲 8 5 4 5 4 1 1 7 8 9

乙 9 4 4 6 7 4 1

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 是奇函数, f ( x ) 的定义域为 (??, ??) .当 x ? 0 时, f ( x ) ? 对数的底数). (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a , a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x ) ?

ln( ? ex ) .(e 为自然 x

1 3

k 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1

21. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 a 2 b2

F(1,0) ,O 为坐标原点. (1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 、正三角形,求椭圆的方程; (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,则有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求 a 的 取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲. 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E, 并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 圆 O1 、圆 O2 交于 C,D 两点。 求证:(Ⅰ)PA· PD=PE· PC; (Ⅱ)AD=AE.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 已知圆锥曲线 C: ?

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

(? 为参数)和定点 A(0, 3) , F1 , F2 是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程; (Ⅱ)经过点 F1 ,且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点,求 || MF1 | ? | NF1 || 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (Ⅱ)若 | a |? 1,| b |? 1,且 a ? 0 ,求证: f ( ab) ?| a | f ( ) .

b a

2016 数学(理科)试卷参考答案 高考资源网 一、选择题: 1.A. 2. D.3. B. 4B.5. C 6. D.7. B. 8.A.9. A. 10. C. 11.D.12. B. 二.填空题:
13.答案:60 14、 【答案】

3 3 或 2 4

15、11

16.答案: ?

?1 ?2 ? 3

(n ? 1)
n?2

(n ? 2)

三.简答题 17、

?ABC 周长为
a+b+c= 3 ? 2 3 (sin A ? sin C ) ? 3 ? 6 sin( A ? 18.(本题满分 12 分) ( 四 Ⅰ ) 边 在 形 梯 形

?

2 )( 0 ? A ? ? ) ? (6, 9? ………12 分 6 3
, 且
E M F

ABCD
是 等

中 腰



? AB // CD
梯 形 ,

AD ? DC ? CB

ABCD

D N A

C

B

?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? ? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC 又 ? 平 面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平面 ACFE ………4 分 3 a 时, AM // 平面 BDF , (Ⅱ)解法一、当 EM ? 3 在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2 3 ? EM ? a ,而 EF ? AC ? 3a ? EM : MF ? 1 : 2 , ? MF // AN ,? 四边形 ANFM 是平行四 3 边形,? AM // NF 又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF ………8 分 3 a 时, AM // 平面 BDF ,由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为 解法二:当 EM ? 3 3a 1 ,? a,0) , 坐标轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , D( 2 2 F (0,0, a) , E( 3a,0, a) ? AM ? 平面 BDF , ? AM // 平面 BDF ?

AM 与 FB 、 FD 共面,也等价于存在实数 m 、 n ,
使 AM ? m FB ? n FD , 设 EM ? t EF .? EF ? (? 3a,0,0) , EM ? (? 3at,0,0)
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

? AM ? AE? EM ? (? 3at,0, a) 又 FD ? (

?

?

?

?

? 3 1 a,? a,?a) , FB ? (0, a,?a) , 2 2

? 3 an ?? 3at ? 2 ? 1 3 1 1 ? 从而要使得: (? 3at,0, a) ? m(0, a,?a) ? n( a,? a,?a) 成立,需 ?0 ? m a ? an ,解得 t ? 3 2 2 2 ? a ? ? am ? an ? ? ? 3 a 时, AM // 平面 BDF ……8 分 ? 当 EM ? F 3 G GH , (Ⅲ)解法一、取 EF 中点 G , EB 中点 H ,连结 DG , E DH ? DE ? DF,? DG ? EF H ? BC ? 平面 ACFE ? BC ? EF D ? EF ? GH 又 ? EF ? FC , ? EF ? FB , 又 ? GH // FB , C 2 2 2 ? BE ? DE ? DB ? ?DGH 是二面角 B ? EF ? D 的平面角. B A ?BDE 在
中, DE ?

2a, DB ? 3a, BE ?

AE 2 ? AB 2 ? 5a

? ?EDB ? 90? , ? DH ?

5 5 2 a . 又 DG ? a, GH ? a . ? 在 ?DGH 中 , 由 余 弦 定 理 得 2 2 2

cos?DGH ?

10 , 10
10 .………12 分 10
z F E

即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为

解法二:由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则

C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) ,

3a 1 ,? a,0) , F (0,0, a) , E( 3a,0, a) 2 2 过 D 作 DG ? EF ,垂足为 G . D(
令 FG ? ? FE ? ? ( 3a,0,0) ? ( 3?a,0,0)
? ? ? ? ?

D x A
?

C

O B y

CG ? CF ? FG ? ( 3a? ,0, a) ,
? ? ? ?

DG ? CG ? CD ? ( 3?a ?
? 1 1 ? DG ? (0, a, a) , 2 2

?

?

3 1 a, a, a) 2 2

由 DG ? EF 得, DG ? EF ? 0 ,? ? ? 即 GD ? (0,?
?

1 a,? a ) 2

? BC ? AC, AC // EF, ? BC ? EF ,? BF ? EF
?

? 二面角 B ? EF ? D 的大小就是向量 GD 与向量 FB 所夹的角. ? FB ? (0, a,?a)
cos ? GD, FB ??
? ?

?

?

GD? FB GD ? FB
? ?

?

?

?

10 10 即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为 . 10 10

………12 分

19.(本小题满分 12 分) 【解析】 (1)有茎叶图可知,甲运动员七轮比赛的得分情况为:78,81,84,85,84,85,91.所以甲 每轮比赛的平均得分为

x1 ?

78 ? 81 ? 84 ? 85 ? 84 ? 85 ? 91 ? ?84 , 显然甲运动员每轮比赛得分中不低于 80 且不高于 90 的得 7

分共有 5 个,分别为 81 , 84 , 85 , 84 , 85 ,其中 81 分与平均得分 的绝对值 大于 2 ,所 求概率

P?

3 C4 2 ? 。………6 分 3 C5 5

(2)设甲、乙两名运动员的得分分别为 x, y ,则得分之差的绝对值为 ? ? x ? y 。显然,由茎叶图可 知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,5,6. 当 ? =0 时, x ? y ? 84 ,故 P ?? ? 0 ? ?
1 1 C2 C3 6 ? ; 1 1 C5C5 25
1 1 C2 C4 8 ? ; 1 1 C5C5 25

当 ? =1 时, x ? 85, y ? 84 或 y ? 86 ,故 P ?? ? 1? ?

当 ? =2 时, x ? 84, y ? 86 或 x ? 85, y ? 87 ,故 P ?? ? 2 ? ? 当 ? =3 时, x ? 81, y ? 84 或 x ? 84, y ? 87 ,故 P ?? ? 3? ? 当 ? =5 时, x ? 81, y ? 86 ,故 P ?? ? 5? ? 当 ? =6 时, x ? 81, y ? 87 ,故 P ?? ? 6 ? ?
1 1 C1 C1 1 ? ; 1 1 C5C5 25

1 1 2C2 C1 4 ? ; 1 1 C5C5 25 1 1 1 1 C1 C3 ? C2 C1 1 ? ; 1 1 C5C5 5

?

1 1 C1 C1 1 ? ; 所以 ? 的分布列为: 1 1 C5C5 25

0

1

2

3

5

6

6 8 4 1 1 1 25 25 25 25 25 5 6 8 4 1 1 1 42 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 6 ? ? . ………12 分 25 25 25 5 25 25 25

P

20. (本小题满分 12 分) 解:x>0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ln(ex) ? 1 ? ln x
x x

………3 分

( 1 ) 当 x>0 时 , 有

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1 所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ?) 上单调递减,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值.由 题意 a ? 0 ,且 a ? 1 ? a ? 1 ,解得所求实数 a 的取值范围为 2 ? a ? 1 …6 分 3 3 (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? k ? 1 ? ln x ? k ? k ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ?1 x x ?1 x ( x ? 1)(1 ? ln x ) 令 g ( x) ? ( x ? 1) ,由题意, k ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上恒成立 ……8 分 x ?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x g ?( x) ? x2 x2 令 h( x) ? x ? ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号. x 所以 h( x) ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 1 ? 0
因此, g ?( x) ? h( x) ? 0 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g( x)min ? g(1) ? 2 .……10 分 x2 所以 k ? 2 .所求实数 k 的取值范围为 ? ??, 2 ? ………12 分

1 ? x ? (1 ? ln x) ?1 ln x , f ?( x) ? x ?? 2 x2 x

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ;

21、 (本小题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) 设 M , N

为 短 轴 的 两 个 三 等 分 点 , △ MNF

为 正 三 角 形 , 所 以

OF ?

3 3 2b MN , 1 ? ? , 解得b= 3. a2 ? b2 ? 1 ? 4, 2 2 3 2 2 x y ? ? 1. ………6 分 椭圆方程为 4 3 (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1), 因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

2

2

2

………8 分

x2 y 2 ( ⅱ ) 当 直 线 AB 不 与 x 轴 重 合 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 : x ? my ? 1, 代入 2 ? 2 ? 1, 整 理 得 a b 2 2 2 2 2b m b ?a b y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? 2 因 恒 有 (a2 ? b2m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 ? a2b2 ? 0, 2 2 a ?b m a ? b 2 m2 ??? ? ??? ? 2 2 2 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角.即 OA? OB ? ( x1, y1 )? ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
恒 成 立 .

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? ?1 a 2 ? b2 m2 a 2 ? b2 m2 ………10 分 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 a ? b m ? 0 ,所以 ?m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立,即 m a b ? a ? b ? a b 对 m ? R 恒成立,当 m ? R 时, m 2 a 2b 2 最小值为 0,所以 a 2 ? b2 ? a 2b2 ? 0 , a2 ? b2 (a2 ?1) ? b4 , ?
因 为 ∵a ? 0, b ? 0,∴a ? b2 ? a2 ?1 , 即 a ? a ? 1 ? 0 , 解 得 a ?
2

1? 5 1? 5 或a? (舍去),即 2 2

a?

1? 5 , 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 (

1? 5 , ??) .………12 分 2

22.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 22. (Ⅰ)? PE 、 PB 分别是⊙ O2 的割线,

? PA ? PE ? PD ? PB



…………2 分

又? PA 、 PB 分别是⊙ O1 的切线与割线,

? PA2 ? PC ? PB ② …………4 分 由①,②得? PA ? PD ? PE ? PC …………5 分 (Ⅱ)连接 AC 、DE ,设 DE 与 AB 相交与点 F ? BC 是⊙ O1 的直径,? ∠ CAB ? 90? ? AC 是⊙ O2 的切线.
由(Ⅰ)知,

…………6 分

PA PC ? ,? AC // ED ? AB ? DE , ?CAD ? ?ADE PE PD ? AC 是⊙ O2 的切线. ? ?CAD ? ?AED ? AD ? AE
23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

…………8 分 …………10 分

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭圆,其焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,k AF2 ? ? 3 , AF2 : y ? ? 3( x ? 1) 23. (Ⅰ)C: 4 3 ? 3 即 AF2 : ? sin ? ? ? 3 cos? ? 3 ,即 ? sin(? ? ) ? …………5 分 3 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ) k AF2 ? ? 3 ,? l ? AF2 ,? l 的斜率为 ,倾斜角为 30? , 3 ? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 所以 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ?y ? 1 t ? 2 ?
代入椭圆 C 的方程中,得:

13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0 因为 M、N 在 F1 的异侧
|| MF1 | ? | NF1 ||?| t1 ? t2 |? 12 3 13
…………10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 24.(Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x>1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}.

…………5 分

b (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( )即|ab-1|>|a-b|. ……………6 分 a 因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.
故所证不等式成立. ……………10 分


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