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2015届高考调研文科8-2


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 2 课时

空间几何体的表面积、体积

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1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征.能正 确描述现实生活中简单物体的结构. 2. 了 解 球 、 棱 柱 、 棱 锥 、 台 的 表 面 积 和 体 积 的 计 算 公 式 . 要求记忆台体的体积公式) (不

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请注意!

柱 、 锥 、 台 、 球 等 简 单 几 何 体 的 面 积 与 体 积 高考热点.

(尤其是体积)是

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1. 几 何 体 的 表 面 积 1 ( ) 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 的 表 面 积 就 是 各 个 面 的 面 积 的 和 . 2 ( ) 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别 是 矩形 、 扇形 、 扇环 . 3 ( ) 若 圆 柱 、 圆 锥 的 底 面 半 径 为
2+2πrl 2π r 柱= 2+πrl π r 、S 锥=

r, 母 线 长 .

l, 则 其 表 面 积 为

S

4 ( ) 若 圆 台 的 上 下 底 面 半 径 为 r1、r2, 母 线 长 为 2 2 π( r + r 1 2)+π(r1+r2)l 表 面 积 为 S= . 2 4π R 5 ( ) 球 的 表 面 积 为 .
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l, 则 圆 台 的

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2.几 何 体 的 体 积 1 ( ) V柱 . 体 = Sh 1 Sh . 2 ( ) V锥 体 = 3 1 2 2 1 π( r + r r + r h 1 1 2 2)· ( S ′+ SS ′+ S ) h 3 3 ( ) V台 , V圆 , 体 = 台 = 3 4 3 V 球= 3πR (球 半径 是 R).

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1. 若 一 个 圆 锥 的 轴 截 面 是 等 边 三 角 形 , 其 面 积 为 个圆锥的全面积为________.

3, 则 这

答案



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解析

已 知 正 三 角 形 的 面 积 求 其 边 长 , 然 后 利 用 圆 锥 的 母

线 , 底 面 半 径 与 轴 截 面 三 角 形 之 间 的 关 系 , 根 据 圆 锥 的 全 面 积 公 式 可 求 . 如 图 所 示 , 设 圆 锥 轴 截 面 三 角 形 的 边 长 为 3,∴a2=4,∴a=2 . ∴圆 锥 的 全 面 积 为 a2 a S=π ( 2) +π·2· a=3 π . 3 2 a,则 4 a =

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2. 正 三 棱 锥 的 底 面 边 长 为 三棱锥的体积为________.

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2, 侧 面 均 为 直 角 三 角 形 , 则 此

答案
解 析

2 3
本 题 考 查 几 何 体 体 积 的 求 法 , 易 知 正 三 棱 锥 的 侧 棱 长 1 2 3 6( 2) = 3 . a、

为 2, 则 其 体 积 为

(若 一 个 三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 两 两 相 互 垂 直 且 侧 棱 长 分 别 为 b、c, 则 其 体 积 为 1 b c ). 6a
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3. 2 ( 0 1 2 ·

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浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:c m ) 如 图 所 示 ,

则该三棱锥的体积等于________.

答案

1

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1 3 解析 由图可知三棱锥底面积 S=2×1×3=2c m ( 的高 h=c 2 m , 根 据 三 棱 锥 体 积 公 式 ,

2

), 三 棱 锥
3

1 1 3 V=3Sh=3×2×2=1 c m (

).

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4. 如 图 为 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 正 视 图 和 侧 视 图 均 为 矩 形 , 俯视图为正三角形,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

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A.14 3 C.12+2 3
答案 C

B.6+ 3 D.16+2 3

解析 由 题 意 知 , 该 几 何 体 为 正 三 棱 柱 , 易 知 正 三 棱 柱 的 高 3 h=2.设正三棱柱的底面边长为 a,则有 2 a= 3,即 a=2.∴S 表 1 =3×2×2+2×2×2× 3=12+2 3.故选 C.

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5. 2 ( 0 1 4 ·

高 考 调 研 原 创 题

)一个半径为 2 的 球 体 经 过 切 割 之

后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ________.

答案

16π

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解析

由 三 视 图 , 可 知 该 几 何 体 是 一 个 球 体 挖 去

1 后 剩 余 4之

3 的部分,故该几何体的表面积为球体表面积的4与两个半圆面的 面 积 之 和 , 即 3 1 2 S=4×4 ( π ×2 )+2×(2π×22)=1 6 π .

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例1 2 ( 0 1 2 ·

安徽改编)某几何体的三视图如图所示,该几何

体的表面积是________,体积是________.

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【解析】 由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 为 底 面 是 直 角 梯 形 且 侧 1 棱垂直于底面的棱柱, 该几何体的表面积为 S=2×2×(2+5)×4 +[2+5+4+ 4 +?5-2? ]×4=92, 体 积 为 56.
【答案】 92 56
2 2

?2+5?×4 V= ×4= 2

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探究 1 求解多面体的表面积及体积问题,关键是找到其中 的 特 征 图 形 , 如 棱 柱 中 的 矩 形 , 棱 锥 中 的 直 角 三 角 形 , 棱 台 中 的 直 角 梯 形 等 , 通 过 这 些 图 形 , 找 到 几 何 元 素 间 的 关 系 , 建 立 未 知 量与已知量间的关系,进行求解.

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思考题 1 1 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

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北京)某四棱锥的三视图如图所示,该

四棱锥的体积为________.

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【 解 析 】 四 棱 锥 的 高 为 体 积 为 3 .

由 三 视 图 知 该 四 棱 锥 底 面 为 正 方 形 , 其 边 长 为 1, 根 据 体 积 公 式 1 V=3×3×3×1=3, 故 该 棱 锥 的

3,

【答案】

3

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2 ( ) 2 ( 0 1 2 · 的 球 面 上 ,

课 标 全 国

)已 知 三 棱 锥

S-ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 S C 为 球 O的 直 径 ,

O

△ABC 是 边 长 为

1的 正 三 角 形 , ( ) 3 B. 6 2 D. 2

且S C =2, 则 此 棱 锥 的 体 积 为 2 A. 6 2 C. 3

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【 解 析 】 ∵S C 是 球 O的 直 径 ,

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∴ ∠C A S =∠C B S =9 0 ° . ∵BA=BC=AB=1,S O =2,∴AS=BS= 3. 取 AB 的 中 点 D, 显 然 AB⊥CD,AB⊥CS.

∴AB⊥平 面 C A B . 在△C D S 3 11 中,CD= 2 ,DS= 2 ,SC=2, 利 用 余 弦 定 理

CD2+S D 2 -S C2 1 可 得 c o s ∠CDS= = - . 2CD· S D 3 3 4 2 故n i s ∠CDS= . 3 3
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∴S△C D S

1 3 11 4 2 2 =2× 2 × 2 × =2. 33

∴V=VB-C D S +VA-C D S 1 1 =3×S△C D S ×BD+ S△C S ×AD 3 D 1 1 2 2 =3S△C D S ×BA= × 3 2 ×1= 6 .
【答案】 A

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例 2 如图所示,在直径 AB=4 的半圆 O 内作一个内接直 角三角形 ABC,使∠B A C =30° , 将 图 中 阴 影 部 分 , 以 AB 为旋

转轴旋转 180° 形成一个几何体,求该几何体的表面积及体积.

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【 解 析 】 AB=4,R=2,

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S 球=4 π R2=1 6 π . 设 DC=x,则 AC=2x,BC=n 6 i s 0 ° x 2 3x = 3 .

2 4 × 3 x 在 Rt△ABC 中 , 4x2+ 9 =1 6 ,x= 3,

S锥 =πrl=π · 3· 2 3=6 π, 侧 上 S锥 =πrl=π · 3· 2=2 3π, 侧 下 1 S 表=2(S 球+S 锥 +S 锥 )=1 ( + 3π ) . 侧 上 侧 下

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1 ∴V=2(V 球-V 锥 上 -V 锥 下 )
? 10 1?4 3 1 2 =2?3πR -3πCD ?AD+BD??= 3 π. ? ?

10 【答案】 S 表=1 ( + 3)π V= 3 π
探究 2 此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半 径 、 高 等),然后代入公式计算即可.

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思考题 2 1 ( ) 2 ( 0 1 2 · 的体积为( )

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广东)某几何体的三视图如图所示,它

A.12π B.45π C.5 7 π D.81π

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【解析】 由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合 体,示意图如图所示, ∴该几何体的体积为 V=V 圆 锥 +V 圆 柱 1 2 =3πr h1+πr2h2

1 =3π×32×4+π×32×5=12π+45π=57π.
【答案】 C

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2 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

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辽宁)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体

积是________.

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【解析】 由三视图可知该几何体是一个底面半径为 2 的圆 柱体,中间挖去一个底面棱长为 2 的正四棱柱,故体积为 π·22· 4 -2×2×4=16π-16.
【答案】 16π-16

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例3

已知正方体 AC1 的棱长为 a,E,F 分别为棱 AA1 与

CC1 的中点,求四棱锥 A1-EBFD1 的体积.
【 解 析 】 所 以 四 棱 锥 因为 EB=BF=FD1=D1E= A1-E B F D 底 面 是 菱 形 , 连 接 1的 A1-EFB 与 三 棱 锥 5 a2 a +?2? = 2 a,
2

EF, 则 △EFB≌△ A1-EFD1 等 底 同 高 , 所

EFD1, 由 于 三 棱 锥

1 1 3 以 VA1-EBFD1=2VA1-EFB=2VF-EBA1=2 ·3· S△EBA1· a=6a . 1 3 【答案】 6a
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探 究 3 1 ( ) 分 割 法 : 通 过 对 不 规 则 几 何 体 进 行 分 割 , 化 为 规 则 几 何 体 , 分 别 求 出 体 积 后 再 相 加 即 得 所 求 几 何 体 体 积 . 2 ( ) 补 体 法 : 通 过 补 体 构 造 出 一 个 规 则 几 何 体 , 然 后 进 行 计 算 . 3 ( ) 三 棱 锥 的 体 积 求 解 具 有 较 多 的 灵 活 性 , 因 为 三 棱 锥 的 任 意一个顶点都可以作为顶点,任何一个面都可以作为棱锥的底 面 , 常 常 需 要 对 其 顶 点 和 底 面 进 行 转 换 , 以 方 便 求 解 .

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思 考 题 则 三 棱 锥

3

正 六 棱 锥 与 三 棱 锥

P-A B C D E F P-G A C

中 , G 为 PB 的 中 点 , 体 积 之 比 为 ( )

D-G A C

A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.3∶2

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【 解 析 】

设 棱 锥 的 高 为

h,

VDG C A =VGD C A VP G C A

1 1 =3S△D A C ·h, 2

1 1 h =2VPABC=VGABC= S△ABC·. 3 2

又 S△D 故 VD. A C ∶S△ABC=2∶1, G C A ∶VPG C A =2∶1
【答案】 C

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1.对 于 基 本 概 念 和 能 用 公 式 直 接 求 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 与 球 的表面积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解 决 , 这 种 题 目 难 度 不 大 . 2. 要 注 意 将 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题 .

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3. 当 给 出 的 几 何 体 比 较 复 杂 , 有 关 的 计 算 公 式 无 法 运 用 , 或者虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我 们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体 (柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利.

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方 法 技 巧 专 题

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— —几 何 体 与 球 的 切 接 问 题 一 、 几 何 体 的 外 接 球 例1 1 ( ) 若 棱 长 为 球 的 表 面 积 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 3的 正 方 体 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 则 该 .

【 解 析 】

本 题 主 要 考 查 简 单 的 组 合 体 和 球 的 表 面 积 . 画 出

球 的 轴 截 面 可 得 , 球 的 直 径 是 正 方 体 的 对 角 线 , 所 以 有 球 的 半 径 3 3 R= 2 , 则 该 球 的 表 面 积 为
【答案】 27π
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S=4 π R2=2 7 π .

故 填 2 7 π .

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2 ( ) 求 棱 长 为

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1 的正四面体外接球的体积.

【 解 析 】

设S O 1是 正 四 面 体

S-ABC 的 高 , 外 接 球 的 球 心

O在S O 1上 , 设 外 接 球 半 径 为 则 在 △ABC 中 , 用 解 直 从 而 S O 1= S A 在 Rt△A O O R =(
2 2

R,AO1=r, 角 三 角 形 知 识 得 1 1-3= 3 r= 3 . 2 3,

-AO2 1=

, 由 勾 股 定 理 , 得 1中 6 R= 4 .

2 32 2 解 得 3-R) +( 3 ) ,

4 3 4 63 6 ∴V 球=3πR =3π ( 4)=8π .
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探 究 1 1 ( ) ①球 的 表 面 积 和 体 积 都 是 半 径 球 有 关 的 问 题 , 通 常 可 以 在 轴 截 面 中 建 立 关 系 . 画 出 轴 截 面 是 正 确 解 题 的 关 键 . ②长 方 体 的 外 接 球 直 径 是 长 方 体 的 对 角 线 . 2 ( ) 正 四 面 体 的 高 线 与 底 面 的 交 点 是 通 过 球 心 , 这 是 构 造 直 角 三 角 形 解 题 的 依 据 . 此 题 关 键 是 确 定 外 接 球 的 球 心 的 位 置 , 突 破 这 一 点 此 问 题 便 迎 刃 而 解 , 正 四 面 体 外 接 球 的 半 径 是 正 四 面 体 高 的

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R的 函 数 . 对 于 和

△ABC 的 中 心 且 其 高 线

3 内 切 球 的 半 径 是 正 四 面 体 高 的 4,

1 4.

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思考题 1 1 ( ) 已 知 各 顶 点 都 在 一 个 球 面 上 的 正 四 棱 柱 高 为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( A.16π C.2 4 π B.20π D.32π )

【解析】 由 V=Sh,得 S=4,得正四棱柱底面边长为 2. 画出球的轴截面可得,该正四棱柱的对角线即为球的直径,所以 1 2 球的半径为 R=2 2 +22+42= 6.所以球的表面积为 S=4πR2= 24π.故选 C.
【答案】 C
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2 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

石 家 庄 质 检

)已 知 正 三 棱 柱 内 接 于 一 个 半 径 为

2 的 )

球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为( A. 6 C. 3 B. 2 D.2

【解析】 如图所示,设正三棱柱底面边长为 a, 3 ∴O2C2= 3 a,∵OC2=2,∴O2O= ∴A1A2=O1O2=2OO2=2 1 2 4-3a . 1 2 4-3a .

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∴三 棱 锥 侧 面 积 为 1 =6 · · a2?1 2 -a2? 3

S=3a· 2

1 2 4-3a

2 2 -a2 6 a +1 ≤ =1 2 2 3

3.

当 且 仅 当
【答案】

a2=1 2 -a2,a= 6时 取 “=”号 .
A

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二、几何体的内切球

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例 2 正四面体的棱长为 a,则其内切球的半径为______.

【 解 析 】 心 , 内 切 球 半 径 ∵AB=a ,

如 图 正 四 面 体

A-B C D

的 中 心 为

O, 即 内 切 球 球

R即 为 O到 正 四 面 体 各 面 的 距 离 .

∴正 四 面 体 的 高

6 h= 3 a.

又 VA-C B D =4VO-C B D , 1 6 ∴R=4h= 1 2 a. 6 【答案】 12 a
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探究 2 1 ( ) 正 多 面 体 存 在 内 切 球 且 正 多 面 体 的 中 心 为 内 切 球 的 球 心 . 2 ( ) 求 多 面 体 内 切 球 半 径 , 往 往 可 用 V 多=S 表· R内 切 1 · 3. 1 外 接 球 半 径 是 高 的 4, (或 外 接 球 ). 3 4. “等 体 积 法 ”.

3 ( ) 正 四 面 体 内 切 球 半 径 是 高 的 4 ( ) 并 非 所 有 多 面 体 都 有 内 切 球

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思考题 2 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两 底面都相切)的表面积为________,体积为________.

【解析】 外切圆柱的底面半径为 R,高为 2R, ∴S 表=S 侧+2S 底=2πR· 2R+2πR2=6πR2, V 圆柱=πR2· 2R=2πR3.
【答案】 6πR2 2πR3

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1.一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6,这个长方体的对角线长是( A.2 3 C.6
答案 D

) B.3 2 D. 6

解析 设长方体共一顶点的三棱长分别为 a、b、c, 则 ab= 2,bc= 3,ac= 6.∴(abc)2=6. 解得 a= 2,b=1,c= 3. 故对角线长 l= a2+b2+c2= 6.
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2.2 ( 0 1 3 · 湖南)已 知 正 方 体 的 棱 长 为

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1, 其 俯 视 图 是 一 个 面 2的 矩 形 , 则 该 正 方 体

积 为 1 的 正 方 形 , 侧 视 图 是 一 个 面 积 为 的 正 视 图 的 面 积 等 于 3 A. 2 2+1 C. 2
答案 D

(

) B.1 D. 2

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解析 A B C D

如 图 所 示 , 正 方 体

A B C D

- A1B1C1D1 的 俯 视 图 为 2, 故 该 正 方 体

, 侧 视 图 为

BB1D1D, 此 时 满 足 其 面 积 为

的正视图应为 AA1C1C.又因 AC= 2,故其面积为 2.

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3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

)

A.7 2 π C.3 0 π
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B.48π D.24π
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答案

C

解析 由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 是 半 个 球 体 和 一 个 倒 立 圆 锥 体的组合体,球的半径为 3,圆锥的底面半径为 3,高为 4,则 根据体积公式可得几何体的体积为 30π.故选 C.

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4.2 ( 0 1 2 · 体的体积为(

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湖北)已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 )

8π A. 3 B.3π 10π C. 3 D.6π
答案 B

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解 析 的 体 积

方 法 一 : 由 三 视 图

画 出 几 何 体 , 如 图 所 示 , 该 几 何 体

V=2 π +π=3 π . 1 V=21 π ·
2

方 法 二 :

2 (· +4 ) =3 π . 选 B.

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5.2 ( 0 1 4 ·

东 城 区 期 末

)已知一个棱长为 2 的 正 方 体 , 被 一 个

平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ________.

17 答案 3
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新课标版 · 高三数学(文)

解 析

由 三 视 图 知 , 此 几 何 体 可 以 看 作 一 个 棱 长 为

2的 正 方 2, 一 底 为 直 角 边 长 1的 等 腰 直 角 三 角 形 ,

体 被 截 去 了 一 个 棱 台 而 得 到 , 此 棱 台 的 高 为 为2的 等 腰 直 角 三 角 形 , 一 底 为 直 角 边 长 为 棱 台 的 两 底 面 的 面 积 分 别 为 体 的 体 积 是

1 1 1 则 该 几 何 2×2×2=2,2×1×1=2, 1 7 1 7 2×2)=8-3= 3 .

1 1 2×2×2-3×2×(2+2+

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6 . 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ⊥平 面 A B E , 已 知 向 垂 直 平 面 N分 别 是 线 段 _ _ _ _ _ _ _ _ . A B C D

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A B C D

是 矩 形 , 平 面

A B C D

AB=2,AE=BE= 3, 且 当 规 时 , 该 几 何 体 的 左 ( 侧) 视 图 的 面 积 为

定 主 ( 正) 视 方 2 2 .若 M、

DE、CE 上 的 动 点 , 则

AM+MN+NB 的 最 小 值 为

答案

3

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解 析

∵AE=BE= 3,AB=2, 2. AD, 另

∴ △ ABE 的边 AB 上 的 高 为

∵该 几 何 体 的 侧 视 图 是 一 直 角 三 角 形 , 一 直 角 边 为 一 直 角 边 长 为 2. 2 . 2 ,∴AD=1

又∵其 面 积 为

∴AD=BC=1,DE=CE=CD=2 . ∴ ∠ AED=∠BEC=3 0 ° ,∠D E C =6 0 ° .

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将△AED、 △D E C 、 △BEC 展 开 在 同 一 平 面 内 , 得 如 图 所 示 . 当 A、M、N、B 共 线 时 , AM+MN+NB 最 小 ,

∵AE=BE= 3,∠AEB=120° ,∴AB=3.

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课时作业(四十七 )

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