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江苏省宿迁市沭阳县2015-2016学年高二数学下学期期中试题


2015~2016 学年度第二学期期中调研测试 高二数学试题
本试卷包含填空题(第 1 题—第 14 题)和解答题(第 15 题—第 20 题)两部分,共 4 页。 本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上 . .. 1.设集合 A ?

>
?1, 2, 3, 4, 5?, B ? ?2, 4, 5, 7,8?,则 A ? B ?
. .



2.复数 z ? 2 ? 3i 的实部是 3.函数 f ( x) ?

x ?1 ? ln(2 ? x) 的定义域为

4.设幂函数 f ( x) ? x? 5.已知函数 f ( x) ? ?

??为实数? 的图像经过点 ?4,8? ,则 f ( x) ?
,则 f ? f (3)? ? .



?2 x ? 3, x ? 4
x ?1 ?2 , x ? 4

6.计算

2 lg 32 ? lg 4 ? ?27?3 ? lg 2



7.用反证法证明命题“设 a , b 是实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做
3

的反设是
3

(填序号 ) ... (2)方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
3

(1)方 程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 (3)方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
3

(4)方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
3

8.已知函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 5 的零点 x0 ? ?k , k ? 1??k ? Z ? ,则 k ?
2 9.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 7 ,



则 f (?2) ?



10.已知 a ?

2 ?1 ,函数 f ( x) ? loga x ,若正实数 m, n 满足 f (m) ? f (n) , 2

1

则 m, n 的大小关系是

11.若复数 z 满足 3z ? z ? 2 ? 4i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为 12.已知函数 f ( x ? 1) ?

. .

f ( x) ,且 f (1) ? 1 ,则 f (10) ? 1 ? f ( x)

13.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ? ???????
按照以上的排列规律,第 20 行第 2 个数是 .

?? 2 x ? 2, x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? 1 , 若存在实数 x1 ? x2 , 使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? , 则 x2 f ( x1 ) 1 x ? , x ? 1 ? 2 ?2
的取值范围是 . 二、解答题: 本大题共 6 小题,15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分。 请在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ........... 15.(本小题满分 14 分) 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? m?. (1)若 m ? ?1 ,求集合 A 在 B 中的补集; (2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 已知复数 z1 ? ?2 ? i , z1 z2 ? ?5 ? 5i (其中 i 为虚数单位) . (1)求复数 z 2 ; (2)若复数 z3 ? (3 ? z2 )[(m2 ? 2m ? 3) ? (m ?1)i] 所对应的点在第四象限,求实数 m 的 取值范围.
2

17. (本小题满分 14 分) 如图,有一块半径为 2 的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底 AB 是圆 O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,设 CD ? 2 x ,梯形 ABCD 的周长为 y . (1)求出 y 关于 x 的函数 f ( x ) 的解析式; (2)求 y 的最大值,并指出相应的 x 值.

D

C

A

O

B

18. (本小题满分 16 分)

x ?1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 ). x ?1 (1)求证:函数 f ( x ) 是奇函数; m ? f ( x) 在区间 ? 2, 6? 上有实数解,求实数 m 的 (2)已知关于 x 的方程 log a ( x ? 1)(7 ? x)
已知函数 f ( x) ? log a 取值范围.

3

19. (本小题满分 16 分) 已知递增的等比数列 ?an ?满足: a2 ? 4 , a1 ? a2 ? a3 ? 14 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)证明:数列 ?an ?中任意三项不能构成等差数列.

20. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1. (1)若函数 y ? f ( x) 是偶函数,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? (2m ? 1) x ? 9 ,且 ?m ? ?? 1,3? ,都有 g ( x) ? 0 恒成立, 求实数 x 的取值范围; (3)若函数 h( x) ? f ( x) ? (1 ? m) x ? 2 x ,求函数 y ? h( x) 在 x ? ?? 1,1?的
2

最小值 H (m) .

4

2015~2016 学年度第二学期期中调研测试 高二数学参考答案 本试卷包含填空题(第 1 题—第 14 题)和解答题(第 15 题—第 20 题)两部分,共 4 页.本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上 . .. 1.设集合 A ?

?1, 2, 3, 4, 5?, B ? ?2, 4, 5, 7,8?,则 A ? B ?
2

?2,4,5?

2.复数 2 ? 3i 的实部是 3.函数 f ( x) ?

x ?1 ? ln(2 ? x) 的定义域为

?1,2?

4.设幂函数 f ( x) ? x?

??为实数? 的图像经过点 ?4,8? ,
3

则幂 函数的解析式为 f ( x) ? 5. 已知函数 f ( x) ? ?

x2
,则 f ? f (3)? ? 11

?2 x ? 3, x ? 4
x ?1 ?2 , x ? 4

6. 计算

2 lg 32 ? lg 4 ? ?27?3 ? lg 2

12

7. 用反证法证 明命题“设 a , b 是实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做
3

的反设是

(4)
3

(填序号) (2) .方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
3

(1) .方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 (3) .方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
3

(4) .方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
3

8.已知函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 5 的零点在区间 ?k , k ? 1? ?k ? z ? ,则 k ?

2

2 9.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 7 ,

则 f (?2) ?

?1

10.已知 a ?

2 ?1 ,函数 f ( x) ? loga x ,若正实数 m, n 满足 f (m) ? f (n) , 2
5

则 m, n 的大小关系是

m?n
2

11.若复数 z 满足 3z ? z ? 2 ? 4i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为 12. 已知函数 f ( x ? 1) ?

f ( x) ,且 f (1) ? 1 ,则 f (10) ? 1 ? f ( x)

1 10

13.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ? ???????
按照以上的排列规律,第 20 行第 2 个数是 192

?? 2 x ? 2, x ? 1 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若存在实数 x1 ? x2 ,使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? , 1 ? x ? , x ?1 2 ?2
则 x2 f ( x1 ) 的取值范围是

?0,10?

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分, 18—20 每小题 16 分, 共计 90 分. 请 在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. ........... 15 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? m?. (3)若 m ? ?1 ,求集合 A 在 B 中的补集; (4)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围. (1) A ? ?x | ?1 ? x ? 3? ??????2 分

? m ? ?1

? B ? ?x | x ? ?1? ??????4 分
? 集合 A 在 B 中的补集为 ?x | x ? 3???????7 分
(2)? A ? B ? B ? A ? B ??????10 分
6

又? A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? m?

? 实数 m 的取值范围是 m ? ?1 ??????14 分
16.已知复数 z1 ? ?2 ? i , z1 z2 ? ?5 ? 5i (其中 i 为虚数单位) (1)求复数 z 2 ; (2)若复数 z3 ? (3 ? z2 )[(m2 ? 2m ? 3) ? (m ?1)i] 所对应的点在第四象限,求实数 m 的 取值范围。 (1)? z1 z2 ? ?5 ? 5i

? z2 ?

? 5 ? 5i ? 5 ? 5i ? ? 3 ? i ??????6 分 z1 ?2?i

2 ? ( 2 ) z3 ? ? 3 ? z 2 ? ? ?? m ? 2m ? 3? ? ? m ? 1? i ? 2 ? ?i? ?? m ? 2m ? 3? ? ? m ? 1? i ?

? ? ? m ? 1? ? ? m 2 ? 2m ? 3? i ??????10分

? z3 所对应的点在第四象限

?? (m ? 1) ? 0 ??????12 分 ?? 2 m ? 2 m ? 3 ? 0 ?
? 实数 m 的取 值范围是 ? 1 ? m ? 1 ??????14 分

7

17.如图,有一块半径为 2 的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下 底 AB 是圆 O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,设 CD ? 2 x ,梯形 ABCD 的周长为 y . (1) 求出 y 关于 x 的函数 f ( x ) 的解析式; (2) 求 y 的最大值,并指出相应的 x 值.

解:(1) 作 OH 、 DN 分别垂直 DC、AB 交于 H 、N ,连结 OD . 由圆的性质, H 是中点,设 OH ? h , h ? OD2 ? DH 2 ? 4 ? x2 ??????3 分 又在直角 ?AND 中, AD ? 所 以

AN 2 ? DN 2 ?

?2 ? x?
? A
2

2

? 4 ? x2 ? 8 ? 4x ? 2 2 ? x

y? ( f

)? x

A ?2 B

D 4?

2 D ?其 C 4定 ?

义 x? 域 2



x

? 0 ?,.

2??????7 分

(2) 令 t ? 2 ? x ,则 t ? 0, 2 ,且 x ? 2 ? t ,??????9 分 所以 y ? 4 ? 2 2 ? t

?

2

? ? 4t ? ?2 ?t ? 1?

?

?

2

? 10 ,??????12 分

当 t ? 1 ,即 x ? 1 时, y 的最大值是 10. ??????14 分 18. 已知函数 f ( x) ? log a

x ?1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 ). x ?1

(1)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)已知关于 x 的方程 log a 取值范围. 解. (1) f ( x ) ? log a

m ? f ( x) 在区间 ? 2, 6? 上有实数解,求实数 m 的 ( x ? 1)(7 ? x)

x ?1 的定义域为 (??,?1) ? (1,??) , x ?1

定义域关于原点对称,?????????2 分 又 f (? x) ? log a

? x ?1 x ?1 ? log a , ? x ?1 x ?1 f (? x) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 为奇函数。??????6 分

m ? ? ( x ? 1)(7 ? x) ? 0, ? (2) ? x ? 1 ? 0, ????????9 分 ? x ? 1 ? m x ?1 ? ? ( x ? 1)(7 ? x) ? x ? 1 ?
8

即 m ? ( x ? 1)(7 ? x) , x ? ? 2,6? ??11 分 设 g ( x) ? ( x ?1)(7 ? x) ? ?( x ? 4)2 ? 9 ????????13 分 该函数在 [2,4] 上递增、在 [4,6] 上递减, g (2) ? g (6) ? 5, g (4) ? 9 所以函数 g ( x) 的最小值为 5,最大值为 9??????15 分 所以 m 的取值范围为 [5,9] .?????????16 分 19.已知递增的等比数列 ?an ?满足: a2 ? 4 , a1 ? a2 ? a3 ? 14 (3)求数列 ?an ?的通项公式; (2)证明:数列 ?an ?中任意三项不能构成等差数列 证明: (1)设等比数列 ?an ?的公比为 q , 由 a1 ? a2 ? a3 ? 14 ,得

4 ? 4 ? 4q ? 14 q

1 ? q ? 或q ? 2 ????????????4 分 2
又 a2 ? 4 且 ?an ?是递增的等比数列

?q ?2 ? 数列 ?an ?的通项公式为 an ? 2n ;?????????7 分
(4)证明:假设数列 ?an ?中三项 am , an , a p 且 m ? n ? p

? 2an ? am ? a p ??? ???9 分

?2 ?2

n

? 2m?1 ? 2 p ?1
? 1 ? 2 p ?m
?? ?*? ??????11 分

n ? m ?1

?m?n? p ? p ? m ? 2, n ? m ? 1 ? ?*? 式左边是偶数,右边是奇数,矛盾
??????14 分
9

? 数列 ?an ?中任意三项不能构成等差数列 ??????16 分
20.已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, (4)若函数 y ? f ( x) 是偶函数,求实数 m 的取值范围; (5)若函数 g ( x) ? f ( x) ? (2m ? 1) x ? 9 ,且 ?m ? ?? 1,3? ,都有 g ( x) ? 0 恒成立,求实 数 x 的取值范围; (6)若 函 数 h( x) ? f ( x) ? (1 ? m) x 2 ? 2 x , 求 函 数 y ? h( x) 在 x ? ?? 1,1? 的 最 小 值

H (m) 。
解(1)? 函数 y ? f ( x) 是偶函数

? f ( ? x) ? f ( x) ? x 2 ? mx? 1 ? x 2 ? mx? 1 ? 2mx ? 0 ?m?0
??????4 分

(2) g ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 8

? ?m ? ?? 1,3?,都有 g ( x) ? 0 恒成立
2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0 ?? 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

??????7 分

? 实数 x 的取值范围 ?? 2,2?
(3) h( x) ? mx ? (2 ? m) x ? 1
2

??????10 分

①当 0 ? m ?

m?2 1 1 2 ? ? ? ?1 , 时 ,函数 y ? h( x) 的对称轴 x ? 2m 2 m 3

? 函数 y ? h( x) 在 x ? ?? 1,1?的最小值 H (m) ? h(?1) ? 2m ? 1
2 m?2 1 1 ? ? ? ?? 1,1? , 时,函数 y ? h( x) 的对称轴 x ? 3 2m 2 m m?2 m 1 ) ? 2? ? ?????13 分 ? 函数 y ? h( x) 在 x ? ?? 1,1?的最小值 H (m) ? h( 2m 4 m
②当 m ?
10

③当 m ? 0 时,函数 y ? h( x) 的对称轴 x ?

m?2 1 1 ? ? ? 0, 2m 2 m

? 函数 y ? h( x) 在 x ? ?? 1,1?的最小值 H (m) ? h(?1) ? 2m ? 1
④当 m ? 0 时,函数 y ? h( x) ? 2 x ? 1

? 函数 y ? h( x) 在 x ? ?? 1,1?的最小值 H (m) ? h(?1) ? ?1
2 ? 2m ? 1, m ? ? ? 3 综上: H (m) ? ? ?????? 16 分 ?没下结论扣 1分? ?2 ? m ? 1 , m ? 2 ? 4 m 3 ?

11


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