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高中数学必修4课后习题答案(2)


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练习( P ) 1 0 0 1 . ( 1 ) a + b = ( 3 , 6 ) , a - b = (- 7 , 2 ) ; ( 2 ) a + b = ( 1 , 1 1 ) , a - b

= ( 7 , - 5 ) ; ( 3 ) a + b = ( 0 , 0 ) , a - b = ( 4 , 6 ) ; ( 4 ) a + b = ( 3 , 4 ) , a - b = ( 3 , - 4 ) . 2 . - 2 a + 4 b = (- 6 , - 8 ) , 4 a + 3 b = ( 1 2 , 5 ) . A B= ( 3 , 4 ) , B A= (- 3 , - 4 ) ; 3 . ( 1 ) ( 2 ) A B= ( 9 , - 1 ) , B A= (- 9 , 1 ) ; ( 3 ) A B= ( 0 , 2 ) , B A= ( 0 , - 2 ) ; A B= ( 5 , 0 ) , B A= (- 5 , 0 ) . ( 4 ) 4 . A B D . ∥C 证明: A B= ( 1 ,-1 ) , C D=( 1 ,-1 ) , 所以 A B=C D , 所以 A B D . ∥C 点拨: 本题有两个要求: 一是判断; 二是证明. 通过作图发 现规律, 提出猜想, 然后再证明结论, 是一个经历数学化的 过程. 5 . ( 1 ) ( 3 , 2 ) ; ( 2 ) ( 1 , 4 ) ; ( 3 ) ( 4 , - 5 ) . 6 . 0 1 4 , , 1或 - 1 (1 ). 3 ) ( 3

1→ 1?→ ?→ ? B= → ?→ ?→ A C= A (- 1 , 2 ) , A D= 2 A B= (- 4 , 8 ) , A E=- A B= 2 2 ( 1 , - 2 ) .

?O → ?O → ?→ C= A+ A C= ( 0 , 3 ) , 所以, 点 C的坐标为( 0 , 3 ) ; ?O → ? → ? → D= O A+ A D= (- 3 , 9 ) , 所以, 点 D的坐标为(- 3 , 9 ) ; ?O ? ? → → → E= O A+ A E= ( 2 , - 1 ) , 所以, 点 E的坐标为( 2 , - 1 ) .
点拨: 要理解向量的坐标的意义, 能利用向量的坐标确定 一个点的坐标. 5 . 由向量 a , b 共线得( 2 , 3 )= ( x , - 6 ) . λ 所以 2 3 = , 解得 x =- 4 . x - 6

?→ ?→ ?→ ?→

?→ ?→ ?→

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点拨: 要通过此类习题的练习, 体会两个共线向量的坐标

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之间的关系, 理解为什么可以通过比例来求解, 这也是培 养归纳能力的一个途径. A B= ( 4 , 4 ) , C D= (- 8 , - 8 ) , C D=- 2A B , 所以 A B 与C D 6 . 共线.

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? → ?→ 7 . O A ′ = 2O A= ( 2 , 4 ) , 所以点 A ′ 的坐标为( 2 , 4 ) ; ? → ? → O B ′ = 3O B= (- 3 , 9 ) , 所以点 B ′ 的坐标为(- 3 , 9 ) ; ?′ → 向量A B ′ = (- 5 , 5 ) .
B组( P ) 1 0 1 O A= ( 1 , 2 ) , A B= ( 3 , 3 ) . 1 .

A P| = 7 . 设P ( x , y ) , 由 点 P在 线 段 A B的 延 长 线 上, 且| 3→ 3 | x - 4 , y + 3 ) . P B | , 得( x - 2 , y - 3 )= ( 2 2 2 x - 4= 3 x - 1 2 , x = 8 , 即  解得  2 y - 6= 3 y + 9 , y =- 1 5 .

?→

?→

?→ ?O → ?O → ?→ ?O → 当t = 1时, P= A+ A B= B= ( 4 , 5 ) , 所以 P ( 4 , 5 ) ;
3 3 1 1 ?→ ?O → ?→ , P =O A+ A B =( 1 , 2 )+ = 时, 2 2 2 2

当t =

{

{

(

)

5 7 5 7 , ), , ). 所以 P (2 (2 2 2 当t =- 2时, O P=O A- 2A B=( 1 , 2 )-( 6 , 6 )=(-5 , - 4 ) , 所以 P (- 5 , - 4 ) . 当t = 2时, O P=O A+ 2A B=( 1 , 2 )+( 6 , 6 )=( 7 , 8 ) , 所 以P ( 7 , 8 ) . 2 . ( 1 ) 因为A B =(-4 ,-6 ) , A C =( 1 , 1 . 5 ) , 所以A B= - 4A C , 所以 A 、 B 、 C三点共线.

所以点 P的坐标为( 8 , - 1 5 ) . 点拨: 本题希望通过向量方法求解, 培养应用向量的意识. 习题 2 . 3  A组( P ) 1 0 1 1 . ( 1 ) (- 2 , 1 ) ; ( 2 ) ( 0 , 8 ) ; ( 3 ) ( 1 , 2 ) . 点拨: 解题时可设 B ( x , y ) , 利用向量坐标的定义解题. 2 . F F F ( 8 , 0 ) . 1+ 2+ 3= O A = (- 1 , - 2 ) , B C= ( 5 - 3 , 6 - (- 1 ) )= ( 2 , 7 ) . 3 . 解法一: 而A D= B C , O D= O A+ A D= O A+ B C= ( 1 , 5 ) . 所以点 D的坐标为( 1 , 5 ) . 解法二: 设D ( x , y ) , 则

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( 2 ) 因为 P Q= ( 1 . 5 , - 2 ) , P R= ( 6 , - 8 ) , 所以 P R= 4 P Q , 所以 P 、 Q 、 R三点共线. ( 3 ) 因为 E F= (- 8 , - 4 ) , E G=(- 1 , - 0 . 5 ) , 所以 E F= 8 E G , 所以 E 、 F 、 G三点共线. λ 2 e e 0 , 得e e . , 则由 λ 3 . 证明: 假设 λ λ ≠0 1 1 1+ 2 2= 1 =- 2 λ 1 所以 e 、 e 与已知 e 、 e 1 2 是共线向量, 1 2 是平面内的一组基 底矛盾. 因此假设错误, 0 . λ 1= 同理 λ 0 , 综上 λ 0 . λ 2= 1= 2= O P | =槡 . 4 . ( 1 ) | 1 9

?→

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?A → D= ( x - (- 1 ) , y - (- 2 ) )= ( x + 1 , y + 2 ) . ?B → C= ( 5- 3 , 6- (- 1 ) )= ( 2 , 7 ) .
D= B C可得  由A

?→ ?→

{

x + 1= 2 , . y + 2= 7

解得点 D的坐标为( 1 , 5 ) . 点拨: 本题也可利用平行四边形的对角线互相平分, 用A 、 C和 B 、 D的中点重合来解题. 可启发通过多种途径解题.

?→

?O → ?A → 4 . A= ( 1 , 1 ) , B= (- 2 , 4 ) .

( 2 ) 对于任意向量 O P= x e y e , x 、 y 都是唯一确定的, 所 1+ 2 以向量的坐标表示的规定合理.

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练习( P ) 1 0 6 1 . p ·q = 2 4 . 2 . a ·b < 0时, B C为钝角三角形; a · b= 0时, B C为 △A △A 直角三角形. , 0 , - 3 . 图略. 3 . a 在e 方向上的投影分别为 3 2 2 槡 槡 练习( P ) 1 0 7 , a ·b =- 7 . 1 . | a | = 5 , | b | =槡 2 9 2 . a · b=8 , ( a+b ) ·( a-b )= -7 , a ·( b+c )=0 , ( a + b )= 4 9 . 3 . a ·b = 1 , | a | =槡 , | b | =槡 , 8 ° . 1 3 7 4 θ ≈8 习题 2 . 4  A组( P ) 1 0 8
2 2 2 =| a | +2 a · b+| b | =2 5- , ( a+b ) 1 . a · b= -6槡 3 2

2 2 ,| a - b |= 3 .| a + b |= 槡 =槡 + 2 a ·b + b 2 3 a

. 2 a ·b + b =槡 3 5 a- 槡 4 . 证法一: 设a 与b 的夹角为 θ . ( 1 ) 当 λ= 0时, 等式显然成立; ( 2 ) 当 λ> 0时 λ a 与b , a 与λ b 的夹角都是 θ , 所以 ( a ) ·b =| a | | b | c o s = | a | | b | c o s , λ λ θ λ θ ( a ·b )= | a | | b | c o s , λ λ θ a ·( b )=| a | | b | c o s = | a | | b | c o s , λ λ θ λ θ 所以, ( a ) ·b = ( a ·b )= a ·( b ) . λ λ λ ( 3 ) 当 λ< 0时, a 与b , a 与λ b 的夹角都为 1 8 0 ° - , 则 λ θ ( a ) ·b =| a | | b | c o s ( 1 8 0 ° - )=-| | | a | | b | c o s , λ λ θ λ θ ( a ·b )= | a | | b | c o s =-| | | a | | b | c o s , λ λ θ λ θ a ·( b )=| a | | b | c o s ( 1 8 0 ° - )=-| | | a | | b | c o s , λ λ θ λ θ 所以, ( a ) ·b = ( a ·b )= a ·( b ) . λ λ λ 综上所述, 等式成立.





, | a + b | =槡 . 1 2 3 2 5- 1 2 3 槡 槡

2 . B C与C A 的夹角为 1 2 0 ° , B C ·C A=- 2 0 .

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?→

?→ ?→

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证法二: 设a = ( x , y ) , b = ( x , y ) , 那么 1 1 2 2 , y ) ·( x , y )= x x y y ,   ( a ) ·b = ( x λ λ λ λ λ 1 1 2 2 1 2+ 1 2 ( a ·b )= ( x , y ) ·( x , y ) λ λ 1 1 2 2 x y y )= x x y y , = ( x λ λ λ 1 2+ 1 2 1 2+ 1 2 , y ) ·( x , y )= x x y y , a ·( b )= ( x λ λ λ λ λ 1 1 2 2 1 2+ 1 2 所以( a ) ·b = ( a ·b )= a ·( b ) . λ λ λ 5 . ( 1 ) 直角三角形, ∠B为直角. 证明: B A= (- 6 ,- 6 ) , B C=(- 2 , 2 ) , 由B C ·B A= 0 , 得 B C A , B C为直角三角形. ⊥B ∠B为直角, △A ( 2 ) 直角三角形, ∠A为直角. 证明: A B= ( 2 1 , 7 ) , A C=( 1 ,- 3 ) , A B ·A C= 0 , 同( 1 ) 可 得结论. ( 3 ) 直角三角形, ∠B为直角. 证明: B A= (- 3 , 3 ) , B C= ( 5 , 5 ) , B A ·B C= 0 , 同( 1 ) 可得 结论. 2 2 a ·b - 5 4 槡 槡 6 . ∵c o s = = =- , ∴θ = 1 3 5 ° . θ | a | ·| b | 1 0 8 2
2 2 - 4 a · b- 3 b = 6 1 , 于是可得 7 . ( 2 a - 3 b ) ·( 2 a+b )= 4 a

?→

?→

?→ ?→

?→

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?→ ?→

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?→ ?→

由a ·b = a ·c 得 x y y x x y y , x 1 2+ 1 2= 1 3+ 1 3 ( x - x ) + y ( y - y ) = 0 , 即 x 1 2 3 1 2 3 而b - c = ( x - x , y - y ) , 2 3 2 3 所以 a ·( b - c )= 0 , 再证 a b - c ) ·b = a ·c . ⊥( ?a 由a ·( b - c )= 0得 ( x x )+ y ( y y )= 0 , x 1 2- 3 1 2- 3 即 x x y y x x y y . 1 2+ 1 2= 1 3+ 1 3 因此, a ·b = a ·c . 点拨: 这里给出了两种不同的证明方法, 证法一是利用向 量数量积的运算律进行证明, 而证法二是利用向量的坐标 运算进行证明. 实际上, 学习了向量的坐标运算后, 会遇到 是否需要选用坐标进行证明的问题, 在学习中需要对不同 的问题加以分析引导, 体会两种不同方法的特点. ?O → ?→ A ·O B c o s c o s + s i nα s i nβ . 2 . c o s O B= ?→ ?→ = α β ∠A | O A | | O B | 点拨: 本题是为后面章节中两角差的余弦公式的学习作准 备, 同时也体会向量在三角中的运用. 3 . 证明: 构造向量 u= ( a , b ) , v = ( c , d ) , u ·v =| u | | v | c o s ( 其中 θ 为向量 u , v 的夹角) , θ
2 2 2 2 c o s . 所以 a c + b d =槡 + b c + d a θ 槡 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 故( a c + b d )= ( a+ b) ( c+ d) c o s + b ) ( c + d ) . θ ≤( 点拨: 不等式中等号成立的条件是 u , v 同向. ?→ ?→ 4 . A B ·A C的值只与弦 A B的长有关, 与圆 的半径无关. 证明: 如图 2- 4- 1 6 , 取A B的中点 M, 连 1?→ ? → A M= A B . 接C M, 则C M⊥A B , 2 ?→ ?→ ?→ ?→ 图 2- 4- 1 6 又A B ·A C=| A B | | A C | c o s A C , ∠B ? → | A M| 而c o s A C= ?→ , ∠B A C | | 1 ?→ 2 ?→ ?→ ?→ ?A → 所以A B ·A C=| A B | | M| = | A B | . 2 ?→ 2 ?→2 ?→2 A + C B= A B. 5 . ( 1 ) 勾股定理: R t B C中, 9 0 ° , 则C △A ∠C= ? → ? → ? → B= C B- C A , 证明: 因为A ?→ ?C → ?→ ?C → ?→ ?C → ?→ ?→ ?→ 2 2 2 B = ( B- C A ) ( B- C A )= B - 2C A ·C B+ C A . 所以A ? → ? → 由∠C= 9 0 ° , 有C A B , 于是C A ·C B= 0 . ⊥C ?→ 2 ?→2 ?→2 A + C B= A B. 所以C ( 2 ) 菱形 A B C D中, 求证: A C D . ⊥B ?→ ?→ ?A → ?D → ?→ ?A → C= A B+ D , B= A B- D . 证明: 因为A ? → ? → ? → ? → ? → ? → ?→ 2 ?→2 C ·D B= ( A B+ A D ) ·( A B- A D )= A B - A D. 所以A ? → 2 ?→2 B- A D= 0 . 因为 A B C D是菱形, 所以 A B= A D , 所以A ?→ ?→ C ·D B= 0 , 所以 A C D . 因此A ⊥B ( 3 ) 长方形 A B C D中, 求证: A C= B D . 证明:因 为 A B C D 是 长 方 形,所 以 A B⊥ A D ,所 以 ?→ ?→ A B ·A D= 0 . ?→ ?→ ?→ ?A → ?→ ?→ ?A → 2 2 ?→2 2 B + 2A B ·A D+ D = A B- 2A B ·A D+ D . 所以A ? → ? → ? → ? → 2 2 所以( A B+ A D )= ( A B- A D ). ?→ ?B → 2 2 A C | =| D| . 所以 | 所以 A C= B D . ( 4 ) 正方体的对角线垂直平分. 综合以上( 2 ) ( 3 ) 的证明即可.

a ·b =- 6 , 1 a ·b =- , 所以 θ = 1 2 0 ° . c o s = θ | 2 | a | | b 2 3 = 5 5 ° . 8 . c o s = , θ θ 4 0

9 . 证明: ∵A B= ( 4 , - 2 ) , B C= ( 3 , 6 ) , D C= ( 4 , - 2 ) , ∴A 、 B 、 C 、 D为顶点的四边形是矩形. 1 0 . 设a = ( x , y ) , 则 35 35 2 2 =- 槡 , x = 槡, x + y = 9 , x 5 5 或 解得 y x = , 65 65 2 y = 槡, y =- 槡 . 5 5

?→ ?→ ?→ ?D → ?→ ?→ B= C , A B ·B C= 0 . ∴A

?→

{

{ {
) (

56 5 5 6 5 3 槡 槡 = - 于是 a = 3 ,槡 或 a , - 槡 . 5 5 5 5 点拨: 在解方程的过程中, 要注意 x 与y 同号. 1 1 . 设与 a 垂直的单位向量 e = ( x , y ) , 则 5 槡 , x = 5 5 槡 , x =- 5

(

)

{

2 2 + y = 1 , x 解得 4 x + 2 y = 0 ,

{

或 2 25 5 槡 y =- = 槡. , y 5 5

{

5 2 5 52 5 槡 = - e = 槡 , - 槡 或e ,槡 . 5 5 5 5 点拨: 方程 4 x + 2 y = 0中隐含了条件: x 与y 异号. B组( P ) 1 0 8 1 . 证法一: a ·b = a ·c ·b - a ·c = 0 ?a ·( b - c )= 0 ?a b - c ) . ?a ⊥( 证法二: 设a ( x , y ) , b = ( x , y ) , c = ( x , y ) . 1 1 2 2 3 3 先证 a ·b = a ·c b - c ) , ?a ⊥( x y y ,    a ·b = x 1 2+ 1 2    a ·c = x x y y . 1 3+ 1 3

(

)

(

)

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习题 2 . 5  A组( P ) 1 1 3 , y ) , 1 . 设P ( x , y ) , R ( x 1 1 则R A= ( 1- x , - y ) , A P= ( x - 1 , y ) . 1 1 A= 2 A P得( 1- x , - y )= 2 ( x - 1 , y ) , 由R 1 1 x 2 x + 3 , 1 =- 即    代入直线 l 的方程得 y = 2 x . 2 y . y 1 =- ( 2 ) 由O E=

?→

1?→ 2?→ 2 1 ?→ A E 可得A O= A E= · ( a+b )= 3 3 3 2

?→ ?→

?→

?→

1 ( a + b ) . 3 点拨: 本题的目的是要证明三角形的三条中线相交于一 点, 为了降低证明的难度, 将问题分成了两个小题, 教学 中, 可以通过本题让学生思考证明三线共点的方法: 可以 是先得出其中两条线的交点, 然后证明第三条线经过这一 点. 本题也可以利用向量的坐标来求解. 3 . ( 1 ) s = s s (- 2 , 7 ) ; B- A= ( 2 ) s 在s A 方向上的投影为 图 2- 5- 2 3 | s ·s 3 A| 1 = . | s | 5 A

{

所以, 点 P的轨迹方程为 y = 2 x . 点拨: 本题实际上是利用向量进行图形 变换, 目的是加强学生的应用向量意识. 2 . ( 1 ) 如图 2- 5- 2 3所示, 易知 △O F D B C , D F= △O 1 B O C O B C B C , 则 = = = 2 O F O D D F

, F 4 . 如图 2- 5- 2 4所示, 设F 1 2 的合 力为 F , F与 F , 则 1 的夹角为 θ | F| =

2 F . 2 , 所以 B O= B 3 2?→ 1?→ ?O → ?O → ?B → E= B+ E= F B+ B C 3 2 =

( 槡

2 2 槡 F +槡 | | F| + | F| 1| 2 2 2 2

) (



)



图 2- 5- 2 4

1 2 1 a - b + b - a 3 2 2

(

)

(

)

| F 2| = + 1 , ∴s i nθ = , 得θ = 3 0 ° , 3 槡 | F | = 5 0 ° . 1 , F ∴| F 3+ 3| 3与 F 1 的夹角为 1 槡 B组( P ) 1 1 3 v , 竖直方向的速度的 1 . 设v 0 在水平方向的速度大小为 | x| v 大小为 | , 则| v =| v c o s , | v =| v s i nθ . θ y| x| 0| y| 0|

1 1 a + b ) = · ( 3 2 1?→ E . = A 3 因此 A 、 O 、 E三点在同一直线上, 且 O C O A O B = = . 所以 O E O F O D A O = 2 . O E

设在时刻 t 时的上升高度为 h , 抛掷距离为 s , 则 1 , h =| v t s i nθ - g ( g 为重力加速度) t 0| s =| v t c o s . θ 0| ① ②

s i nθ | v 0| 时, 将此式代入①得 当t = g s i nθ | v 0| h . m a x= g s i nθ | v 0| 当h = 0 ( 末状态) 时, 由①②得 s . m a x= g 所以, 最大高度为
2 2 | v | v s i nθ s i n 2 θ 0| 0| , 最大投掷距离为 . g g 2 2

方向 旋 转

7 7 7 π π π ?→ ?→ c o s +2 s i n , 到 A P , 于是 A P= 槡 2 2 槡 4 4 4

(

7 7 π π s i n - c o s 2 = (- 1 , - 3 ) . 2 2 槡 槡 4 4 所以

)

{

x - 1=- 1 , 解得 x = 0 , y =- 1 . , y - 2=- 3

( 2 ) 解: 设曲线 C上任一点 P的坐标为( x , y ) , O P绕 O逆 时针旋转 π 后, 点 P的坐标为( x ′ , y ′ ) , 则 4

?→

2 . 如图 2- 5- 2 5所示, 设v , 合速度为 v , 1与 v 2 的夹角为 θ 的夹角为 α , 行驶距离为 s , 则 v 2与 v

{


π π x ′ = x c o s - y s i n , 4 4 y ′ = x s i n π π + y c o s , 4 4

图 2- 5- 2 5 | v s i nθ 1 0 | v | 0 s i nθ d 5 1| s i nα= = . = , s = | | i nθ s i nα s | v | v 0 d 5 . = | s i nθ | v 所以当 θ = 9 0 ° , 即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3 . ( 1 ) 解: 设P ( x , y ) , 则A , - 2 ) . P= ( x - 1 , y - 2 ) , A B= ( 2 2 槡 槡 将A B 绕点 A沿顺时针方向旋转

{

2 槡 ( x - y ) , x ′ = 2 2 槡 ( x + y ) y ′ = . 2 1 1 2 2 - ( = 3 , ( x - y ) x + y ) 2 2

2 2 - y ′ = 3 , 所以 又因为 x ′

→ ?

→ ?

3 化简得  y =- . 2 x 点拨: 本题希望学生能运用题目中给出的法则进行运算, 同时也体现向量的作用.

?→

π ?→ P , 相当于沿逆时针 到A 4

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复习参考题 A组( P ) 1 1 8 A B 与B A 是相反的向量, 它们的和为零向量 . 1 . ( 1 ) √ 点拨: ( 2 ) 当第一个向量的终点是第二个向量的起点 √ 点拨: 时, 这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量. ( 3 )×  点拨: 当两个向量有共同的起点时, 那么这两个 向量的差等于被减向量的终点指向减向量的终点的向量. ( 4 )×   点拨: 实数 0与任意向量的数乘结果都是零向 量, 而不是实数 0 . 2 . ( 1 ) D  点拨: 两个单位向量的长度是相等的, 因而长度的 平方也是相等的. A选项不正确是因为两个向量相等, 必须长度相等, 而且 方向相同, 两个单位向量 尽 管 长 度 相 等, 但方向不一定 相同.

B选项不正确. 两个单位向量的数量积只有当它们同向 ( 或夹角为 0 ) 时, 它们的数量积才为 1 .
2 2 C选项不正确, 因为 a , b 表示向量 a和向量 b的长度的

?→ ?→

平方, 而| a | =| b | , 所以它们应该相等. ( 2 ) B  点拨: 可利用三角形两边之和与第三边的关系来 解题. ( 3 ) D  点拨: 这是向量加法的平行四边形法则, 它只能保 证四边形 A B C D是平行四边形, 不能保证它是矩形、 菱形、 正方形. ( 4 ) C  点拨: 当 λ> 0时, a 与- a 的方向相反; 0时, λ λ< a 与- a 的方向相同. λ ( 5 ) D  点拨: O A+ O C= 2O M, O B+ O D= 2O M. ( 6 ) B  点拨: 两个不共线的非零向量构成一组基底.

?→ ?→

?→ ?→ ?→

?→

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2 2 -| b | , 又| a | =| b | , 所以c ·d = c ·d = ( a + b ) ·( a - b )=| a |

1 1 ?→ ?A → a - b ) , a + b ) . 3 . A B= ( D= ( 2 2 4 . 如图 2- 1 7 . 1 2 ?D → ?→ ?M → ?M → + b , E= B A= A- B=- a 3 3 2 ?→ 1 1 2 ?A → + b , + b , D= a B C= a 3 3 3 3 1 1 ?→ ?→ 1 2 ?E → F=- a F A= D C= a - b , - b , 3 3 3 3 1 2 ?→ 2 1 ?C → D=- a A B= a + b , - b , 3 3 3 3

0 , 所以 c . ⊥d 再证 c a | =| b | . ⊥d ?| 由c 得c ·d = 0 , ⊥d
2 2 -| b | = 即( a + b ) ·( a- b )=| a |

0 , 所以 | a | =| b | . 几何意 义 为 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直, 如图 2 - 1 9 所示. 1 ?A → ?→ ?B → ?C → . D= A B+ C+ D= a 4 + b . 2 图 2- 1 7 1 3 ?→ 1 1 ?→ ?→ A E= a F= a E M= a + b , 而E , , 4 2 4 4 1 1 1 1 ?→ ?→ ?E → M= A E+ M= a + b + a = ( a + b ) . 所以A 4 2 5 . 证明: 如 图 2-2 0所 示, 设O D =O P 1+ 4 2 图 2- 1 9

?C → E=- a + b .
; 5 . ( 1 ) A B= ( 8 , - 8 ) , | A B | = 8 2 槡

?→ ?→ ?O → ?O → ( 2 ) C= ( 2 , - 1 6 ) , D= (- 8 , 8 ) ; ? → ? → O A ·O B= 3 3 . ( 3 ) ?→ ?→ ?→ ?C → A B 与C D共线. 证明: 因为 A B=( 1 ,- 1 ) , D=( 1 , - 1 ) , 6 . ? → ? → ? → ? → 所以A B= C D , 所以A B 与C D 共线.

?→

?→

7 . D (- 2 , 0 ) .  8 . n = 2 .  9 . 1 , 0 . λ=- μ= 4 3 c o s B= 0 , c o s C= . 1 0 . c o s A= , 5 5
2 1 1 . 证明: ( 2 n-m) · m =2 n · m -m =

?O → ?→ ?O → ?O → P , 由于 O P P P 0 . 2 1+ 2+ 3= ? → ? → ? → P O D , | O D| = 1 . 所以 O 3 =- ? → ? → ? → O D| =| O P| =| P D| . 所以 |
1 1

所以∠O P P 3 0 ° , 1 2= P 3 0 ° . 同理可得∠O P 1 3= P P 6 0 ° , 同理可得∠P P P 所以∠P 3 1 2= 1 2 3= P P 6 0 ° . 6 0 ° , ∠P 2 3 1= 所以△P P P 2 1 3 为正三角形 . 6 . 连接 A B . 图 2- 1 8 由对 称 性 可 知, A B 是 △S M N的 中 位 线 ( 如图 2- 2 1 ) . 图 2- 2 0

2 c o s 6 0 ° - 1= 0 , 所以, ( 2 n- m) ⊥m. 几何意义如图 2- 1 8所示. 1 2 . 1 . λ=- 1 3 . | a + b | =槡 , | a - b | = 1 . 1 3 1 9 5 c o s = . 1 4 . c o s = , β θ 8 2 0 B组( P ) 1 1 9 1 . ( 1 ) A  ( 2 ) D  ( 3 ) B  ( 4 ) C  ( 5 ) C  ( 6 ) C  ( 7 ) D 2 π 点拨: ( 6 ) 中向量的夹角可以是 0或 . 3 2 . 证明: 先证 a a + b | =| a - b | . ⊥b ?|
2 2 2 . | a + b | =槡 =槡| +| b | + 2 a ·b ( a + b ) a | 2 2 2 | a - b | =槡 =槡| . ( a - b ) a | +| b | - 2 a ·b

? → ?→ M N= 2A B= 2 b - 2 a .

N 与 点拨: 本题可以运用信息技术观察 M

?→

?M → → ? B N 与A 的关系.

点 M的选取无关, 进而引导学生发现向量

图 2- 2 1

2 2 = 8 ( 千米 / 时) , 沿 7 . ( 1 ) 实际前进速度大小为 槡 + ( 4 3 ) 4 槡

与水流方向成 6 0 ° 的方向前进. ( 2 ) 实际前进速度大小为 4 千米 / 时, 沿与水流方向成 2 槡 6 槡 9 0 ° + a r c c o s 的方向前进. 3

因为 a , 所以 a ·b = 0 , 于是 ⊥b
2 2 | a + b | =槡| =| a - b | . a | +| b |

A ·O B= O B ·O C , 所以O B ·( O A- O C )= 0 , 所以O B · 8 . 因为O 垂心 . 9 . ( 1 ) a x - a y + a y a x 0 ; ( 2 ) 垂直; 2 1 1 0- 2 0= B A B 0时, l ; 当A A B B 0时, ( 3 ) 当A 1 2- 2 1= 1∥ l 2 1 2+ 1 2= l , 夹角 θ 的余弦 c o s = θ ⊥l 1 2 B y C | | A x 0+ 0+ ( 4 ) d = . 2 2 A+ B 槡 A B B | A 1 2+ 1 2|
2 2 2

→ ?→ ?→ ?→ ?→ → ?→ ?→ → ?C → → ?O → → ? B= A= 0 . 同理, O A ·B C= 0 , C ·A 0 , 所以点 O为△A B C的

再证 | a + b | =| a - b | . ?a ⊥b
2 2 ,| a - b|= 由于 | a + b|= 槡| + 2 a ·b +| b | a |

a |- 2 a ·b +| b |, 槡| 所以, 由| a + b | =| a - b | 可得 a ·b = 0 , 于是 a , ⊥b 所以 | a + b | =| a - b | . ?a ⊥b 几何意义是矩形的两条对角线相等. 3 . 证明: 先证 | a | =| b | . ?c ⊥d





A B A B 1+ 2+ 1槡 2 槡





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练习( P ) 1 2 7 π π π )= c o s c o s s i n s i nα= s i nα ; 1 . ( 1 ) c o s ( - α α+ 2 2 2 ( 2 ) c o s ( 2 )= c o s 2 c o s s i n 2 s i n c o s . π- α π α+ π α= α 点拨: 本题运用公式 C 证明了诱导公式 . ( ) α- β 4 3 π , ∴s i nα= . 2 . ∵c o s π, α=- , α ∈ 2 5 5

点拨: 利用两角和与差的三角公式可以将 1 5 ° 和7 5 ° 的三 角值化归为 3 0 ° 和4 5 ° 的三角值, 更准确. 3 4 π , 2 . ∵c o s =- , ∴s i nθ = . π, θ θ ∈ 2 5 5

(

)

(

)

∴c o s

2 π π 槡 - o s s i n s i nα= . o s c α α+ (π ) =c 4 4 4 1 0

3 3 π π π 4- 槡 = s i nθ c o s + c o s s i n = . θ 3 3 3 1 0 1 2 5 3 . ∵s i nθ =- , 且θ 是第三象限角, ∴c o s =- . θ 1 3 1 3 + 于是 s i nθ

(

)

1 5 8 3 . ∵s i nθ = , 是第二象限角, ∴c o s =- . θ θ 1 7 1 7 8 5 3- π π 1 π - s i nθ s i n = 槡 . ∴c o sθ = c o s c o s + θ 3 3 3 3 4 3 2 5 π 槡 , , 4 . ∵s i nα=- , ∴c o s . α=- α ∈ π 2 3 3 3 3 7 π 槡 , 2 . ∴s i nβ =- 又c o s = , π, β ∈ β 2 4 4 3 5 + 槡 ∴c o s ( )=c o sβ c o sα+s i nβ s i nα= × - β-α 4 3 2 7- 3 5 7 × -2 = 槡 槡 槡 . - 3 1 2 4 在展开式 点拨: 第2 , 3 , 4题都是公式 C ( )的直接应用, α- β 中, 缺哪一项就先求出哪一项. 练习( P ) 1 3 1

∴c o s

3 1 2- 5 π π 槡 + c o s c o s - s i n s i nθ = . θ= θ (π 6 ) 6 6 2 6

(

)

(

(

) )

(

)

π t a nα+ t a n 4 3+ 1 π =- 2 . = 4 . t a n α+ = 4 3 π 1- 1- t a nα t a n 4 点拨: 第2 , 3 , 4题要特别注意角的范围. 5 . ( 1 ) 原式 = s i n ( 7 2 ° + 1 8 ° )= s i n9 0 ° = 1 ; 1 ( 2 ) 原式 = c o s ( 7 2 ° - 1 2 ° )= c o s 6 0 ° = ; 2 ( 3 ) 原式 = t a n ( 1 2 ° + 3 3 ° )= t a n4 5 ° = 1 ;

(

)

(

) (

)

1 . ( 1 ) s i n 1 5 ° = s i n ( 4 5 ° - 3 0 ° )= s i n 4 5 ° c o s 3 0 ° - c o s 4 5 ° s i n 3 0 ° = 6 - 2 槡 槡 ; 4 ( 2 ) c o s 7 5 ° = c o s ( 4 5 ° + 3 0 ° )= c o s 4 5 ° c o s 3 0 ° - s i n 4 5 ° s i n 3 0 ° = 6 - 2 槡 槡 ; 4 ( 3 ) s i n 7 5 ° = s i n ( 4 5 ° + 3 0 ° )= s i n 4 5 ° c o s 3 0 ° + c o s 4 5 ° s i n 3 0 ° = 6+ 2 槡 槡 ; 4 3 槡 1 - 3 t a n 4 5 ° - t a n 3 0 ° = ( 4 ) t a n1 5 ° =t a n ( 4 5 ° - 3 0 ° )= = 1 + t a n 4 5 ° t a n 3 0 ° 3 槡 1 + 3 . 2- 3 槡

3 槡 ( 4 ) 原式 = s i n ( 1 4 ° - 7 4 ° )=- s i n6 0 ° =- ; 2 1 ( 5 ) 原式 =- c o s ( 3 4 ° + 2 6 ° )=- c o s 6 0 ° =- ; 2 ( 6 ) 原式 = s i n2 0 ° (- c o s 7 0 ° )+ (- c o s 2 0 ° ) s i n7 0 ° =- ( s i n 2 0 ° c o s 7 0 ° + c o s 2 0 ° s i n 7 0 ° )=- s i n9 0 ° =- 1 . 点拨: 本题是公式的逆用, 要熟悉公式的结构, 才能正确地 解题. π π π x; - 6 . ( 1 ) 原式 = s i n c o s x - c o s s i nx = s i n 6 6 6

(

)

( ) ( ) 2 2 槡 i n ; ( 3 ) 原式 = 2 x s i nx - c o s ( x-π (槡 ) =2s 4) 2 2 3 槡 - x. i n ( 4 ) 原式 = 2 2 c o s x - s i nx 槡 (π (1 ) =2槡2s 6 ) 2 2
π 3 1 + ; ( 2 ) 原式 = 2槡 2 s i nx x= s i nx + c o s 6 2 2 点拨: 将a s i nx + b c o s x 转化为 A s i n ( x + ) 或A c o s ( x + ) φ φ 的形式, 关键在于“ 凑” 和( 或差) 角公式.

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3 可得 7 . 由s i n ( ) c o s c o s ( - ) s i nα= , α- β α- β α 5 s i n ( ) c o sα-c o s ( ) s i nα=s i n ( )= α-β α-β α-β-α 3 - s i nβ = , 5 3 ∴s i nβ =- , 又β 是第三象限角, 5 4 5 5 ∴c o sβ= - , i nβ c o s π+ ∴s i n β+ π =s 5 4 4

(

)

72 5 c o s s i n π= 槡 . β 4 1 0 点拨: 本题的解题原则仍然是“ 先化简, 再求值” . 首先逆用公 式S , 再正用公式 S , 考查对公式的熟练掌握程度 . ( ) ( ) α- β α+ β 练习( P ) 1 3 5 π α 3 α 3 , 1 . ∵8 1 2 , ∴2 π π< < . π< α< π π< < 4 8 2 4 3 α α 又c o s =- , ∴s i n =- . 8 5 8 5 4 7 α α 2 α α 2 α 2 s i n c o s = , c o s = 2 c o s - 1= , ∴s i n = 4 8 8 2 5 4 8 2 5 4 α 2 t a n = . 4 7 α α 2 · 可知角为二倍的关系. 点拨: 本题关键在于由 = 4 8 3 3 2 . ∵s i n ( )= , ∴s i nα=- . α- π 5 5 7 2 于是 c o s 2 1- 2 s i n α= . α= 2 5 点拨: 先化简, 再求值, 是解这类题的一般思路. 3 . ∵s i n2 s i nα , ∴2 s i nα c o s s i nα . α=- α=- 1 π , 又α ∴s i nα , 从而有 c o s π, ∈ ≠0 α=- . 2 2 3 槡 . t a nα=- ∴s i nα= , 3 槡 2

(

)

点拨: 方 程 两 边 约 分, 消 去 一 个 式 子, 这个式子必须不 为零 . 2 t a nα 1 , 4 . ∵t a n2 α= 2 = 1- t a n α 3 2 ∴t a n 6 t a nα- 1= 0 , ∴t a nα=- 3±槡 . 1 0 α+ 或- 3-槡 . ∴t a nα=- 3+槡 1 0 1 0 点拨: 由2 , 必然要用二倍角公式列方程, 解关于 α α求 α 的方程. 1 1 5 . ( 1 ) s i n1 5 ° c o s 1 5 ° = s i n3 0 ° = ; 2 4 2 π 槡 2 π 2 π - s i n = c o s = ; ( 2 ) c o s 8 8 4 2 1 1 t a n2 2 . 5 ° = t a n4 5 ° = ; ( 3 ) 2 2 2 2 . 5 ° 2 1- t a n 2 2 槡 . ( 4 ) 2 c o s 2 2 . 5 ° - 1= c o s 4 5 ° = 2 点拨: 要熟悉二倍角公式的结构特征, 在解题中才能“ 凑” 出二倍角公式并加以使用 . 习题 3 . 1  A组( P ) 1 3 7 3 3 3 π π π - c o s c 1 . ( 1 ) c o s o s s i n s i nα=- s i nα ; α= α+ 2 2 2 3 3 3 π π π - o s c o s s i nα=- c o s ; ( 2 ) s i n s i n c α= α- α 2 2 2 ( 3 ) c o s ( )= c o s c o s s i n s i nα=- c o s ; π- α π α+ π α ( 4 ) s i n ( )= s i n c o s c o s s i nα= s i nα . π- α π α- π 3 4 2 . ∵c o s 且 0< , ∴s i nα= , α= , α< π 5 5

( (

) )

3 3 π π π 4+ 槡 = c o s c o s + s i nα s i n = . α 6 6 6 1 0 点拨: 本题直接利用两角差的余弦公式展开求值. 3 2 3 π π , , , 3 . ∵s i nα= , c o s =- , π, β ∈ π β α ∈ 2 2 3 4 5 7 槡 槡 , s i nβ =- , ∴c o s α=- 3 4 ∴c o s ( )= c o s c o s + s i nα s i nβ = α- β α β 3 5- 7 2 3 5 7 槡 槡 + × - 槡 = 槡 2 - × - . 4 3 1 2 3 4 公式求值时, 要注意 α 、 的范围. 点拨: 利用 C β ( ) α- β 4 . ∵α 、 都是锐角, ∴0< < . β α+ β π 1 1 1 又c o s c o s ( )=- , α= , α+ β 7 1 4 4 3 3 5 槡 槡 ∴s i nα= , s i n ( )= . α+ β 7 1 4 ∴c o s c o s [ ( )- ]= c o s ( ) c o s s i n ( ) · β= α+ β α α+ β α+ α+ β 3 3 5 1 1 1 1 4 s i nα=- × + 槡 × 槡 = . 1 4 7 7 1 4 2 点拨: 解三角函数题, 从“ 角” 的关系入手, 例如 β = ( )- α+ β , 是一种常用的解题思路, 本题就是一道很典型的题目. α 5 . ∵6 0 ° < 1 5 0 ° , ∴9 0 ° < 3 0 ° < 1 8 0 ° , α< α+ 3 4 又s i n ( 3 0 ° )= , ∴c o s ( 3 0 ° )=- . α+ α+ 5 5 于是 c o s c o s [ ( 3 0 ° )- 3 0 ° ] α= α+ = c o s ( 3 0 ° ) c o s 3 0 ° + s i n ( 3 0 ° ) s i n3 0 ° α+ α+ 3- 4 3 槡 = . 1 0 点拨: 本题已知 s i n ( 3 0 ° + ) , 其中 3 0 ° 为特殊角, α α为所求 角, 利用“ 角” 的关系 α= ( 3 0 ° + )- 3 0 ° , 将3 0 ° +α视为 α 一个整体, 从而求解. 7 7 π π π π + s i n =- s i n =- 6 . ( 1 ) s i n - 1 2 4 3 1 2 π π π π o s - c o s s i n =- s i n c 4 3 4 3 6+ 2 槡 槡. =- 4 6 1 6 1 π π π π = c o s =- c o s = ( 2 ) c o s- = c o s5 π+ 1 2 1 2 1 2 1 2 π π π π π π - = -c o s c -c o s o s -s i n s i n = 3 4 3 4 3 4 6+ 2 槡 槡 - . 4 3 5 π π π π π - = t a n3 t a n =- t a n =- = ( 3 ) t a n π- 1 2 3 4 1 2 1 2 π π t a n - t a n 3 4 = 3- 2 . - π 槡 π a n 1+ t a n t 3 4 π π π π π π7 这是常 点拨: 先化简, 再求值, = - , = + , 1 2 3 4 1 2 3 4 用的化未知为已知的方法. 2 π , 7 . ∵α 是第三象限角, 又知 s i nα= , π, ∈ β 2 3 3 c o s =- , β 4 5 7 槡 槡 ∴c o s , s i nβ =- . α=- 3 4 3 5+ 2 7 槡 ∴c o s ( )= c o s c o s - s i nα s i nβ = 槡 . α+ β α β 1 2 3 5 6+槡 . s i n ( )= s i nα c o s - c o s s i nβ =- α- β β α 1 2 ∴c o s α-

(

)

(

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点拨: 由于已知 α , 因此用 C , S β的三角函数值, ( ) ( ) α+ β α- β 求值. 5 6 1 6 8 . 或- . 6 5 6 5 点拨: 三角形中的问题, 一定要注意隐含条件 A+B+C= π的使用. 3 π , 且s i nθ = , 9 . ∵θ π, ∈ 2 5 3 4 , t a n =- . ∴c o s =- θ θ 5 4 1 t a nθ + t a n 2 φ 又t a n ∴t a n ( + )= =- . φ= , θ φ 2 1 1 1- t a nθ t a n φ t a nθ - t a n φ =- 2 . t a n ( - )= θ φ 1+ t a nθ t a n φ 点拨: 注 意 解 题 的 方 向 性— — —首 先 “ 弦 化 切” , 其次用 公式. 3 7 1 0 . 由韦达定理, t a nα+ t a n =- , t a nα t a n =- . β β 2 2 1 t a nα+ t a n β =- . 于是 t a n ( )= α+ β 1- t a nα t a n 3 β 中, 出现的式子 t a nα+ t a n , t a nα t a n , 点拨: 在公式 T β β ( ) α+ β 和根与系数的关系 x x , x x 要注意 1+ 2 1 2 有着密切的联系, 类比联想. 1 1 . 由于 t a n ( )= 3 , t a n ( )= 5 , α+ β α- β 于是 t a n2 t a n [ ( )+ ( ) ]= α= α+ β α- β t a n ( )+ t a n ( ) 4 α+ β α- β =- . 1- t a n ( ) t a n ( ) 7 α+ β α- β 1 t a n2 = t a n [ ( )- ( ) ]=- . β α+ β α- β 8 点拨: 从“ 角” 的方面找联系, 可观察出 2 )+ α=( α+β ( ) , 2 = ( )- ( ) , 要熟悉这种变形. α- β β α+ β α- β 1 2 . 由题意知 B D∶ A D= 1∶ 3 , D C∶ A D= 1∶ 2 , 设 ∠B A D= , α D C 1 B D 1 t a n = = , A C= , 则t a nα= = , β ∠D β A D 3 A D 2 ∴t a n A C =t a n ( )=1 , 又0 °<∠B A C <1 8 0 ° , ∠B α+β ∴∠B A C= 4 5 ° . 1 3 . ( 1 ) 6 s i n ( x + 3 0 ° ) ;  ( 2 ) c o s ( x + 3 0 ° ) ; 5 3 槡 槡 x 2 π 槡c + 3 0 - ; °; o sx  ( 4 ) ( 3 ) 2 s i n 2 1 2 2 点拨: 化三角函数式为一个角的三角函数式的关键在于 一个“ 凑” 字, 凑出和角公式或差角公式. 1 2 槡;  ( 6 ) ;  ( 7 ) s i n ( ) ;  ( 8 )- c o s ( ) ; ( 5 ) α+ γ α- γ 2 2 ( 9 )- ;  ( 1 0 ) t a n ( - ) . 3 β α 槡 点拨: 当式子结构与两角和与差的公式相类似时, 要掌握 公式的“ 逆用” . 4 3 π , , 1 4 . ∵s i nα= 0 . 8 0= , ∴c o s α= , α ∈ 0 2 5 5 2 4 0 . 9 6 , ∴s i n2 2 s i nα c o s α= α= = 2 5 2 1=- 0 . 2 8 . c o s 2 2 c o sα- α= 3 6 槡, 槡 1 5 . ∵c o s 1 8 0 ° < 2 7 0 ° , ∴s i n , φ=- φ< φ=- 3 3 22 ∴s i n2 2 s i n c o s φ= φ φ= 槡 , 3 1 2 , c o s 2 = 2 c o s - 1=- φ φ 3 s i n2 φ =- 2 t a n2 . 2 φ= 槡 c o s 2 φ 5 1 6 . 设底角为 α , 顶角为 β , 则2 = , 且s i nα= . α+ β π 1 3 1 2 π ∴c o s ∵α为等腰三角形的底角, ∴0< α= . α< , 2 1 3 1 2 0 ∴s i nβ = s i n ( 2 )= s i n2 2 s i nα c o s π- α α= α= . 1 6 9 1 1 9 2 c o s = c o s ( 2 )=- c o s 2 1+ 2 s i nα=- . β π- α α=- 1 6 9 s i nβ 1 2 0 t a n = =- . β c o s 1 1 9 β 点拨: 以上三题都是二倍角公式的直接应用, 同样, 也要 注意各角的范围. 3 2 t a n 1 1 β ∴t a n2 = , 又t a nα= , 1 7 . ∵t a n = , β β 2 = 3 7 1- t a n β 4 t a nα+ t a n2 β = 1 . ∴t a n ( 2 )= α+ β 1- t a nα t a n2 β 点拨: 本题分两步走, 第一步求 t a n2 , 第二步求 t a n ( β α+ 2 ) . β 1 8 . ∵c o s ( ) c o s + s i n ( ) s i nβ = c o s [ ( )- ]= α+ β β α+ β α+ β β 3 1 2 2 π , 2 c o s 又α ∴s i nα=- 槡 . π, α= , ∈ 2 3 3 7 2 4 2 1 =- . ∴s i n 2 2 s i nα c o s c o s 2 2 c o s α- α= α=- 槡, α= 9 9 π π π = c o s 2 c o s - s i n2 s i n = ∴c o s2 α+ α α 4 4 4 2 2 7 7 4 2 8- 槡 槡 . - + 槡 = 2 1 8 9 9 点拨: 本题还是 “ 先化简, 再求值” , 将已知条件化简得 1 π 肯定要先求出 s i n2 c o s 再求 c o s2 α+ , α与 α= , 4 3 c o s 2 . α 2 2 1 9 . ( 1 ) 原式 = s i n c o s s i n2 1+ s i n2 . α+ α+ α= α 2 2 2 2 - s i n ) ( c o s + s i n )= c o s 2 . ( 2 ) 原式 = ( c o sθ θ θ θ θ 2 s i nx c o s x c o s 2 x s i n2 x c o s 2 x s i n4 x ( 3 ) 原式 = = = . 2 2 4 t a nθ 1+ t a nθ - ( 1- t a nθ ) 2 = t a n2 . ( 4 ) 原式 = θ 2 2 = 1- t a n 1- t a n θ θ 点拨: 本题关键在于利用多项式的性质进行化简, 再逆用 二倍角公式. B组( P ) 1 3 8 1 . ( 1 ) s i n3 s i n ( 2 ) α= α+ α = s i nα c o s 2 c o s s i n2 α+ α α 2 )+ c o s ·2 s i nα c o s = s i nα ( 1- 2 s i n α α α 3 2 = s i nα- 2 s i n 2 s i nα ( 1- s i n ) α+ α 3 = 3 s i nα- 4 s i n . α ( 2 ) c o s 3 = c o s ( + 2 ) α α α = c o s c o s 2 s i nα s i n2 α α- α 2 2 1 )- 2 s i n c o s = c o s ( 2 c o s α- α α α 3 2 = 2 c o sα- c o s 2 ( 1- c o s ) c o s α- α α 3 = 4 c o s 3 c o s . α- α 3 3 , c o s3 c o s 点拨: 式子 s i n3 s i nα-4 s i n α α=4 α- α=3 3 c o s , 又称为三倍角公式, 仅供同学们了解. α 2 . 由题意可得 t a nA+ t a nB=- p , t a nA ·t a nB= 1+ p . t a nA+ t a nB ∴t a n ( A+ B )= = 1 , ∴A+ B= 4 5 ° . 1- t a nA t a nB 又 A+ B+ C= 1 8 0 ° , ∴C= 1 3 5 ° . 3 2 2 3 0 ° )+ s i nα c o s ( 3 0 ° )= . c o s( 3 . s i nα+ α+ α+ 4 2 2 证明: 左边 = s i n + s i nα · ( c o s c o s 3 0 ° - s i nα s i n3 0 ° ) α+ α 2 2 i n 3 c o sα s α 2 + - ( c o s c o s 3 0 °-s i nα s i n3 0 ° )=s i nα+ α 4 4 3 3 3 1 2 槡 槡 s i nα c o s s i nα c o s i nα= . α+ α- s 2 2 2 4 点拨: 本题关键在于将各角转化为特殊角, 从中找出规律. 还可以是:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2 2 s i n ( 3 0 ° ) c o s s i n ( 3 0 ° )+ c o s α+ α- α= ; α- 4 3 1 5 ° ) + c o s ( 1 5 ° ) + s i n ( 1 5 ° ) c o s ( 1 5 ° ) = ; s i n( α- α+ α- α+ 4 3 2 2 s i n c o s + s i nα c o s = ( 其中 β - 3 0 ° ) 等. α+ β β α= 4
2 2

2 2 P , 则[ c o s ( )- 1 ] +s i n ( )= 4 . 因为 | P A | =| P α+ β α+β 1 2| 2 2 ( c o s c o s ) + ( s i nα+s i nβ ) , 即 2- 2 c o s ( )= α- β α+β

2 - 2 c o s c o s + 2 s i nα s i nβ , 所以 c o s ( )= c o s c o s - α β α+ β α β s i nα s i nβ .

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练习( P ) 1 4 2 α α α 2 c o s ·s i n s i n s i nα 2 2 2 α = = 1 . 证明: t a n = , 1+ c o s 2 α α 2 α c o s 2 c o s 2 2 α 2 s i n 1- c o s 2 α α = 再有: t a n = . s i nα 2 α α o s 2 s i n c 2 2


+ - θ φ θ φ 即c o s - c o s 2 s i n s i n . θ φ=- 2 2 4 . ( 1 )y= 1 π s i n4 x . 最小正周期为 , 递增区间为 2 2

k 1 π π k π + , + ( k ) , 最大值为 ; ∈Z [ -π 8 2 8 2] 2 ( 2 ) y = c o s x + 2 . 最小正周期为 2 , 递增区间为[ 2 k , π π+ π 2 2 k ] ( k ) , 最大值为 3 ; π+ π ∈Z x + ( 3 ) y=2 s i n4

∴成立. 1 s i nα c o s + c o s s i nβ - s i nα c o s + 2 . 证明: ( 1 ) 右边 = [ β α β 2 c o s s i nβ ]= α 1 × 2 c o s s i nβ = c o s s i nβ = 左边. α α 2

) π k π π k π + , + ]( k ) , 最大值为 2 . ∈Z [ -5 2 4 2 2 4 2

(

π π 递增区间为 . 最小正周期为 , 3 2

习题 3 . 2  A组( P ) 1 4 3
2 2 1 . ( 1 ) 左边 = s i n 2 c o s 2 2 s i n2 c o s 2 α+ α- α α = 1- s i n4 右边; α= 2 θ 2 θ - 1 1 - t a n t a n 2 2 2 = 右边; =- 2 × =- ( 2 ) 左边 = t a nθ θ θ t a n 2 t a n 2 2 x x x 1 t 1 4 t a n + a n - t a n 2 2 2 ( 3 ) 左边 = + = x x 2 x 1- t a n 1+ t a n 1- t a n 2 2 2 = 2 t a n x= 右边; 2 2 s i n 2 s i n c o s c o s φ+ φ φ+ φ ( 4 ) 左边 = = s i n c o s 右边; φ+ φ= c o s s i n φ+ φ 2 2 c o sα- 2 s i nα c o s s i nα+ α ( 5 ) 左边 = 2 2 c o s s i n α- α t a nα c o s s i nα 1- α- = = 右边; = t a nα c o s s i nα 1+ α+ 2 2 ( 6 ) 左边 = 1+ 1- 2 s i nθ + 2 s i nθ = 2= 右边; 2 ) 1- ( 1- 2 s i n θ 2 = t a nθ ( 7 ) 左边 = = 右边; 2 1+ 2 c o s - 1 θ 2 + 2 s i nθ c o s 1- c o s 2 + s i n2 s i n θ θ θ θ 2 ( 8 ) 左边 = = 2 1+ c o s 2 + s i n2 θ θ 2 + 2 s i nθ c o s c o s θ θ s i nθ ( s i nθ + c o s ) θ = = t a nθ = 右边. c o s ( s i nθ + c o s ) θ θ 1 2 . ∵s i n ( )= s i nα c o s + c o s s i nβ = , α+ β β α 2 1 s i n ( )= s i nα c o s - c o s s i nβ = , α- β β α 3 1 5 c o s s i nβ = . ∴s i nα c o s = , α β 1 2 1 2

1 ( 2 ) 右边 = [ c o s c o s - s i n s i n + c o s c o s + s i n s i n ] α β α β α β α β 2 = 1 × 2 c o s c o s = c o s c o s = 左边. α β α β 2 1 [ c o sα c o sβ-s i nα s i nβ-c o sα c o sβ- 2 1 × (- 2 s i nα s i nβ )= s i nα s i nβ = 左边. 2

( 3 ) 右边 =-

s i nα s i nβ ]=-

3 . ( 1 ) 令题中 α+ = , = , β θ α- β φ + - θ φ θ φ 则 α= , = . β 2 2 从而有 + - 1 θ φ θ φ ( s i nθ - s i n )= c o s s i n , φ 2 2 2

+ - θ φ θ φ 即s i nθ - s i n 2 c o s s i n . φ= 2 2 ( 2 ) 令题中 α+ = , = , β θ α- β φ + - θ φ θ φ 则 α= , = . β 2 2 - + φ 1 θ φ θ c o s = ( c o s + c o s ) , 从而有 c o s θ φ 2 2 2 - + φ θ φ θ c o s . 即c o s + c o s 2 c o s θ φ= 2 2 ( 3 ) 令题中 α+ = , = , β θ α- β φ + - θ φ θ φ 则 α= , = . β 2 2 - 1 + φ θ φ θ s i n =- ( c o s - c o s ) , 从而有 s i n θ φ 2 2 2

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( 1 ) 由上述两式可得 s i nα c o s = 5 c o s s i nβ ; β α ( 2 ) 上式两边同除以 c o s c o s , 得t a nα= 5 t a n . α β β 1 1- t a nθ = 1 , ∴t a nθ =- . 3 . ∵ 2 2+ t a nθ 2 t a nθ - 1 4 从而 t a n2 = =- , θ 2 = 3 1- t a n θ 1- 1 4 1 1 - + t a nθ + 1 2 4 π + - 4 t a nθ =- 4 × =- 4 × =- , 4 1 - t a nθ 1 3 1 - - 2

π π 检验 α= , = 是符合题意的两个锐角. β 6 4 4 . 线段 A B的中点 M的坐标为 1 ( c o s c o s ) , ( s i nα+ α+ β (1 2 2

) . 过 M作 M M 轴, s i nβ 1 垂直于 x 如 图 3-2-1 ) . 交 x轴 于 M 1( O M ∠M 1 = 1 ( ) +α = β-α 2

)

(

)

(

)

∴等式成立. π π i nθ c o s + c o s s i n 4 . ∵x + y = = s i nθ + c o s , 2s θ θ 槡 4 4

1 ( ) . α+ β 2 在 R t M A 中,O M =O A· △O - β α α- β . = c o s c o s 2 2 在R t M1M 中 , O M1 =O M· △O α+ β α- β c o s M= c o s O M c o s , M ∠M 1= 1 2 2 β α+ β α- c o s . O Ms i n O M s i n ∠M 1= 2 2 于是有 1 α+ β α- β ( c o s c o s )= c o s c o s , α+ β 2 2 2 图3 - 2 - 1

(

)

π π c o s s i n i nθ c o s - = s i nθ - c o s , x - y = 2s θ θ 槡 4 4

(

)

y= 1 . ∴x = s i nθ , y = c o s , ∴x + θ x + 5 . f ( x )=2 s i n4





(

π π , 最小正周期是 , 递减区间为 3 2

)

[

π k π7 π k π + , + ( k ) . ∈Z 2 4 2 2 4 2

]

B组( P ) 1 4 3
2 2 2 1- 4 ( 1- 2 s i n ) 1 . ( 1 ) 左边 = 3+ 2 c o s α- α 2 2 2 - 5+ 8 s i n = 3+ 2 ( 1- 2 s i n ) α α 4 2 2 4 s i n )+ 8 s i n =- 2+ 2 ( 1+ 4 s i n α- α α 4 = 8 s i n α

1 α+ β α- β ( s i nα+ s i nβ )= s i n c o s . 2 2 2
2 2 5 . 当x = 2时, f ( )= s i n c o s 1 ; α α+ α= 4 4 2 2 2 - o s s i n o s ) 当x =4时 , f ( )=s i n α+c α=( α+c α α

= 右边. i n2 s i nα s α · o s 2 c o s α c α c o s 2 ( 2 ) 左边 = -3 α s i n2 i nα 槡 α s - c o s 2 o s α c α s i nα s i n2 α = c o s 2 -3 α s i n2 c o s c o s 2 s i nα 槡 α α- α = s i n2 c o s 2 2 s i n2 3 α- α- α= 槡 2 . ∵s i n7 6 ° = m , 即c o s 1 4 ° = m , 从而
2 7 ° - 1= c o s 1 4 ° = m , 2 c o s

1 1 2 2 2 2 s i n i n2 ( ) . , 此时有 ≤f c o s 1- s α ≤1 α α α= 2 2
6 6 2 2 3 当x =6时, f ( )=s i n - o s s i n o s ) α α+c α=( α+c α 2 2 2 2 c o s ( s i n o s )=1- 3 s i n α α α+c α

1 3 2 , 此时 有 ≤ s i n2 α 4 4

f ( ) . α ≤1 1 ? 由此猜想, 当x = 2 k , k 时, k-1≤f ( ) . ∈N α ≤1 2 6 . ( 1 ) y = 5 4 x s i nx + c o s s i n ( x +φ ) , 其中 c o s φ= (3 ) =5 5 5

(

π = 右边. 3

)

∴c o s 7 ° =



m+ 1 1 = 槡 . 2 ( m+ 1 ) 2 2

4 3 , s i n φ= . 5 5 所以, y 的最大值为 5 , 最小值为 - 5 .
2 2 ( 2 )y= 槡 s i n ( x+φ ) , 其中 c o s a + b φ=

2 α π π 所以 +β= , 3 . 设存 在 锐 角 α 、 β使 α +2 β= , 3 2 3 t a n α α + , 又t a n t , 于是有 t a n + a n 2- 3 β =3 β= 槡 (α 2 ) 槡 2 2


2 2 a + b 槡



s i n φ=


2 2 a + b 槡



π π . 由此可解得 t a n = 1 , = . t a n = 3- 所以 α= , 经 3 β β β 槡 4 6

2 2 2 2 , 最小值为 -槡 . 所以, y 的最大值为 槡 a + b + b a

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复习参考题 A组( P ) 1 4 6 5 4 c o s ( )= , 1 . ∵α 、 都是锐角, 且s i nα= , α+ β β 5 1 3 3 1 2 ∴c o s s i n ( )= , α= , α+ β 5 1 3 ∴s i nβ = s i n [ ( + ) - ] = s i n ( ) c o s c o s ( ) · α β α α+ β α- α+ β 1 2 3 5 4 1 6 s i nα= × - × = . 1 3 5 1 3 5 6 5 π3 π π π , , , , 2 . ∵α ∴ - ∈ β ∈ 0 α ∈ 4 4 4 4

s i n4 0 ° s i n ( 1 0 ° - 6 0 ° ) = 2 ° c o s 1 0 s i n8 0 ° 2 s i n4 0 ° c o s 4 0 ° =- =- 1 . =- ° c o s 1 0 ° c o s 1 0 t a n2 0 ° - 1 ) ( 3 ) 原式 = c o t 2 0 ° c o s 1 0 ° ( 3 槡 = c o s 1 0 ° - c o t 2 0 ° c o s 1 0 ° 3 槡 c o s 2 0 ° c o s 1 0 ° c o s 2 0 ° = = c o s 1 0 ° - c o s 1 0 ° - 3 3 槡 槡 ° ° s i n 2 0 2 s i n 1 0 3 s i n2 0 ° - c o s 2 0 ° s i n ( 2 0 ° - 3 0 ° ) 槡 = = =- 1 . 2 s i n1 0 ° s i n1 0 ° 3 s i n1 0 ° s i n4 0 ° c o s 1 0 ° + 槡 = 2 s i n5 0 ° ( 4 ) 原式 = s i n5 0 ° c o s 1 0 c o s 1 0 ° ° s i n8 0 ° = = 1 . c o s 1 0 ° 4 6 . ( 1 ) 由题意得 s i nθ =- , 5 2 4 9 θ θ θ θ i n - c o s ∴ s = 1 - 2 s i n ·c o s = 1 + = . 2 2 2 2 5 5 2 1 2 4 α α c o s i n - = 1- s i nα= , ∴s i nα= . ( 2 )s 2 2 2 5 2 5 2 2 2 4 4 2 ( 3 ) ( s i n + c o s ) + c o s + 2 ( s i nθ c o s ) = s i n = θ θ θ θ θ 2 s i n2 5 θ = 1 , + 2 2 9

(

)

(

)

5 , 0 , π+ ( -π 2 ) 4

β ∈

π π3 , . (5 4 2) 2 π - + 又c o s , s i n , α β (π ) =3 (5 ) =-1 4 4 5 1 3 4 5 π - + , c o s . ∴s i n α β (π ) =-5 (5 ) =-1 4 4 3 π + - 由于 s i n ( )= s i n β α π+ α+ β [ (5 ) -( π )] 4 4 π π + - + - = s i n o s o s i n β α β α (5 )c (π ) -c (5 )s (π ) 4 4 4 4 4 5 1 2 3 =- × -( - ) ×( - ) 1 3 5 1 3 5 5 6 =- , 6 5 5 6 ∴s i n ( )=- s i n ( )= . α+ β π+ α+ β 6 5

(

)

(

)

(

)

1 1 0 1 3 . ∵α 、 都是锐角, t a nα= , s i nβ =槡 , ∴t a n = , β β 7 1 0 3 1 1 + 1 t a nα+ t a n 7 3 β = = . ∴t a n ( )= α+ β 1 1 2 1- t a nα t a n β 1- × 7 3 1 1 + t a n ( )+ t a n 2 3 α+ β β ∴t a n ( 2 )= = = 1 . α+ β 1- t a n ( ) ·t a n 1 α+ β β 1- 6 4 . ( 1 ) 右边 = t a n ( ) ( 1- t a nα t a n ) α+ β β = t a nα+ t a n β = 左边. t a n2 0 ° + t a n4 0 ° =3 ( 2 ) ∵t a n6 0 ° = , ° 槡 1- t a n2 0 t a n4 0 t a n2 0 ° t a n4 0 ° , ∴t a n2 0 ° + t a n4 0 ° = 3- 3 槡 槡 ∴t a n2 0 ° + t a n4 0 ° + t a n2 0 ° t a n4 0 ° = . 3 3 槡 槡 t a nα+ t a n 3 β π ( 3 ) t a n ( )= 1 , = t a n =- α+ β 1- t a nα t a n 4 β ∴t a nα+ t a n - t a nα t a n + 1= 0 , β β 即( 1 - t a nα ) ( 1 - t a n )= 1 - ( t a nα+ t a n )+ t a nα t a n = 2 . β β β 3 t a n6 0 ° ( 1- t a n2 0 ° t a n4 0 ° )- 槡 . =- ( 4 ) 原式 = 3 槡 t a n2 0 ° t a n4 0 ° 3 s i n1 0 ° 4 s i n2 0 ° c o s 1 0 ° - 槡 = = 4 . 5 . ( 1 ) 原式 = s i n1 0 ° c o s 1 0 ° ° s i n2 0 s i n1 0 ° - 3 c o s 1 0 ° 槡 ( 2 ) 原式 = s i n4 0 ° ° c o s 1 0

22 ∴s i n2 =± 槡 . θ 3 4 3 ∴s i n2 =± , ( 4 ) ∵c o s 2 = , θ θ 5 5 2 s i n2 7 θ 1 4 4 ∴s i nθ + c o sθ = 1- 2 = . 2 2 5 1 c o s c o s - s i nα s i nβ = , α β 5 7 . 由题意得 3 c o s c o s + s i nα s i nβ = . α β 5 1 1 2 s i nα s i nβ = . ∴t a nα t a n = . ∴c o s c o s = , β α β 5 5 2 2 2 8 . ( 1 ) 左 边 =2 c o s 2 c o s2 ( c o s2 ) = α+2+4 α=2 α+1 2 2 4 8 c o sα= )= 右边. 2 ( 2 c o sα 2 ( s i nα+ c o s ) a nα s i nα+ c o s α α t ( 2 ) 左边 = = = + 2 c o s ( s i nα+ c o s ) 2 c o s 2 α α α 1 = 右边. 2 s i n c o s ( + ) + s i n ( + ) c o s - 2 s i n c o s ( + ) α α β α β α α α β ( 3 ) 左边 = = s i n α s i n ( - ) s i nβ α+ β α = = 右边. s i nα s i nα 2 2 2 A - 2 s i n o s 2 A - 12 2 A - 4 c o s 2 A + 2 c 2 c o s = = = ( 4 ) 左边 = 2 2 o s 2 A + 1 2 c o s A 2 A + 4 c o s 2 A + 2 c 2 c o s

(

)

{

(

) (

)

右边. t a nA= 2 2 9 . y= ( s i nx + c o s x ) + 2 c o s x 2 2 2 + c o sx + 2 s i nx c o s x + 2 c o s x - 1+ 1 = s i nx π x + = s i n2 x + c o s 2 x + 2= s i n2 + 2 . 2 槡 4 π ( 1 ) 设y = s i n t + 2 , 则t = 2 x + , 2 槡 4



(

)

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函数的递减区间为 t ∈ 即

3 π + 2 k , + 2 k ( k ) , π π ∈Z [π ], 2 2

π π 3 π + 2 k x + ≤ + 2 k ( k ) , π ≤2 π ∈Z 2 4 2 5 π π k k ( k ) . ∴ + π ≤x ≤ + π ∈Z 8 8 π x + ∴函 数 y=槡 i n 2 +2 的 递 减 区 间 为 2s 4 5 π π + k , + k k ) . π π( ∈Z 8 8 π x + ≤1 2+ 2- , y . , ∴y ( 2 ) ∵- 1 i n2 2 2 ≤s m a x= m i n= 槡 槡 4 4 4 1 0 . f ( x )= c o s x - 2 s i nx c o s x - s i n x 2 2 2 2 + s i nx ) ( c o sx - s i n x )- s i n2 x = ( c o sx = c o s 2 x - s i n2 x π x - . s i n2 =- 2 槡 4 2 π 2 π ( 1 ) T= = = . π ω 2 π π3 π π , , x - ∈ - , . ( 2 ) ∵x ∴ 2 ∈ 0 2 4 4 4

(

)

[

]

(

)

2+ a = 1 . ∴a =- 1 . ( 1 ) 由于 f ( x ) m a x= π + ( 2 ) ∵f ( x ) , ∴2 s i nx - 1 , ≥0 ≥0 6 1 π + ≥ . 即  s i nx 6 2 π 5 π π 2 k + ≤ + 2 k , ∴ + π ≤x π 6 6 6 2 π 即 x2 k 2 k , k π ≤x ≤ + π ∈Z . 3 ∴适合题意的 x 的取值集合为 2 π x2 k k k π ≤x ≤2 π+ , ∈Z . 3 1 3 . 如图 3- 5所示,

(

)

(

)

{

}

{

}

(

)

h h 1 2 ∵A C= , A B= , c o s s i nα α A B= 9 0 ° , ∠C 1 A C ·A B ∴S B C= △A 2 h h h h 1 2 1 2 = = . 2 s i nα c o s i n2 α s α π h h . S ∴当 α= 时, m i n= 1 2 4 B组( P ) 1 4 7 1 . 由已知和平方关系得 图 3- 5

] ( ) [ 2 π 槡 x - ) ≤1 i n ∴- . ≤s (2 4 2 π x - ) ≤1 s i n . ∴- 2 2 ≤- 槡 槡 (2 4 ( )

[

]

∴f ( x ) . 2 m i n =- 槡 π π π x - = 1 , 即2 x - = + 此时 s i n2 2 k π. 4 4 2 3 π k ( k ) . ∴x = + π ∈Z 8 3 π k , k = + ∴f ( x ) 取最小值时, x 的集合为 x x π ∈Z . 8 2 + 2 s i nx c o s x = 1 1 . f ( x )= 2 s i nx ( s i nx + c o s x )= 2 s i nx 2 2 s i n x - 1+ 1+ 2 s i nx c o s x =- c o s 2 x + 1+ s i n2 x = π x - s i n2 + 1 . 2 槡 4 2 π ( 1 ) 最小正周期 T= = . π 2 π x - =1时, f ( x ) 有 最 大 值, 即 f ( x ) 当s i n2 m a x= 4

{

1 s i nα- c o s α= , 5
2 2 s i n c o s 1 . α+ α=

{

}

3 4 i nα=- , s i nα= , s 5 5 或 解得 3 4 c o s c o s α= α=- . 5 5

{
(

{

∵0 , ∴0 i nα . ≤α ≤π ≤s ≤1 2 4 3 s i n2 s i nα=- , α= , 5 2 5 ( 舍去) , ∴ ∴ 4 7 c o s c o s 2 α=- , α=- , 5 2 5

(

)

{ {

{

(

)

∴s i n2 α-

4 2 π π 2 π c o s 2 s i n = ×槡 + = s i n2 c o s - α α 4 4 4 2 5 2

)

1 . 2+ 槡 ( 2 ) 如图 3- 4 .

7 槡 2 3 12 × = 槡. 2 5 2 5 0 1 c o s c o s = , α+ β 2 1 s i nα+ s i nβ = , 3

2 . ∵

平方得 图 3- 4 π π + - 1 2 . f ( x )= s i nx + s i nx + c o s x + a 6 6 π c o s x + a = 2 s i nx c o s + 6

{

1 2 2 c o s + 2 c o s c o s = , c o s α+ β α β 4 1 2 2 s i n s i n + 2 s i nα s i nβ = , α+ β 9

(

)

(

)

1 3 ∴2+ 2 ( c o s c o s + s i nα s i nβ )= . α β 3 6 1 3 - 2 3 6 5 9 =- . ∴c o s ( )= α- β 2 7 2 3 ?由已知 s i n α+

s i nx + c o s x + a = 3 槡 π + + a . = 2 s i nx 6

(

)

(

43 π + s i nα=- 槡 , 3 5

)

?? Foxit PDF Editor ±à?°??¨?ù?? (c) by Foxit Software Company, 2004 ????????????

3 1 4 4 π i nα+ c o s ∴s i n α+ 整理得 槡 s =- . α=- . 6 2 2 5 5

(

)

∴当 2 x +

π π π = 2 k k , 即x = k π- , ∈Z π- 时, 6 2 3

∵-

3 π π π π π < 0 , - < ∴c o s α+ = . α< α+ < , 6 2 3 6 6 5

(

)

2 . f ( x ) m i n= 7 . 设D Q= x , P B= y , ∴△A P Q的周长为:
2 2 ( 1- x )+ ( 1- y )+槡 = 2 . ( 1- x ) + ( 1- y ) 2 2 = x + y . ∴槡 + ( 1- y ) ( 1- x )

] ( ) 4 3 4 1 3 3- π 3 槡 s i n + - )× = 槡 . s i n = × ( α+π 6) 5 6 5 2 ( 2 1 0 - 7 π x- + 4 . ∵2 c o s( 1=- s i n2 x = , 4 ) 2 5 1 7 7 π7 π , , ∵x ∴s i n2 x = . ∈( 1 2 4) 2 5 3 4 = , =- . ∵c o s ∴s i n ( x+π ( x+π 4) 5 4) 5
∴c o sα=c o s α+

[(

π π π π =c o s α+ - c o s + 6 6 6 6

)



∴x + y = 1- x y .
2 2 2 + Q C - P Q P C 由余弦定理得 c o s C Q= , ∠P 2 P C ·C Q 2 2 2 2 + 1+ x - [ ( 1- x ) + ( 1- y ) ] 1+ y ∴c o s C Q= = ∠P 2 2 2槡 ( 1+ x) ( 1+ y)

4 3 , s i nx + c o s x =- 槡 . ∴c o s x - s i nx = 槡 2 2 5 5 ∴ s i n2 x + 2 s i nx 2 s i nx ( s i nx + c o s x ) = = x c o s x - s i nx 1- t a n c o s x


1- x y 1- x y x + y = = . 2 2 2 2 2 2 2 | 1- x y | 2 x y + x + y + 1 y - 4 x y + 2 x 槡 槡 槡 ∵0< x < 1 , 0< y < 1 , ∴x y < 1 . 2 槡 . ∴∠P C Q= 4 5 ° . ∴c o s C Q= ∠P 2 8 . ( 1 )由 已 知 和 平 方 关 系 得 ( 0 , ) , π 3 4 c o s =- , β 5 5 4 得 =- . ∴t a n = β 3 3 4 - s i nβ = . 5 5

4 7 2 × - 槡 5 5 2 8 s i n2 x ( s i nx + c o s x ) 2 =- . = c o s x - s i nx 3 7 5 2 5槡

(

)

2 , 5 . ∵s i nθ + c o s = 2 s i nα , s i nθ ·c o s = s i n β θ θ 2 2 2 ∴( s i nθ + c o s )= + c o sθ + 2 s i nθ c o s , s i nθ θ θ 2 2 ∴( 2 s i nα ) = 1+ 2 s i n , β 2 2 2 2 1+ 2 s i n , ∴2- 4 s i n 1- 2 s i n , 即4 s i n α= β α= β 2 2 2 c o s 2 c o s 2 , 4 c o s 2 c o s 2 . α= β α= β ∴等式成立. π x + s i n2 x + c o s 2 x + m+ 1= 2 s i n2 6 . f ( x )= + m+ 1 . 3 槡 6 π π π π π 7 x + 的最大值为 1 , , ∴ ≤2 . ∴s i n2 x + ≤ . ∵x ∈ 0 2 6 6 6 6

{

1 s i nβ + c o s = , β 5 又 β ∈
2 2 + c o s = 1 . s i n β β

[ ]

( (

)

{

)

( 2 ) 根据所给条件, 可求出仅由 s i nβ , c o s , t a n 表示的三 β β + 角 函 数 式 的 值.例 如,s i n β s i nβ + c o s i nβ - c o s β s β , , 等等. 2 t a n s i nβ + 2 c o s β 3 β

3+ m= 6 . ∴m= 3 . ∴f ( x ) m a x= x + ∴f ( x )= 2 s i n2

(

π ,c o s2 , β+2 3

)

(

π + 4 ( x ) . ∈R 6

)


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