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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题04


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分.

3 1.已知三个数 、log16 82、log 27 124 ,

则它们的大小关系是______________ 2
2.已知两点 A (1, 2) 、 B (3, 1) 到直线 l 的距离分别是 2、 5 ? 2 ,则满足条件的直线 l 一共有 _______条. 3.设 f (n) 为正整数 n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 f (123) ? 12 ? 22 ? 32 ? 14 ; 记 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? 1, 2, 3, ??? ,则 f 2014 (2014) ? _____________. 4.在 xOy 平面上, 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1所围成图形的面积为
N ? {( x, y) || y |? x2 ? 1} 的交集 M

1 ,则 M ? {( x, y) || y | ? | x |? 1} , 3

N 所表示的图形面积为______________

5.在正 2014 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为______________ 6.设函数 f ( x) ?

? sin x ? cos x tan x ? cot x sin x ? cos x tan x ? cot x ,在 x ? (0, ) 时的最小值 ? ? ? 2 sin x ? tan x cos x ? tan x cos x ? cot x sin x ? cot x

为______________ 7.设手表的表面在一平面上;整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为

2 的圆周上; 2

从整点 i 到整点 (i ? 1) 的向量记作 ti t i ?1 ,则 t1t2 ? t2t3 ? t2t3 ? t3t4 ? ??? ? t12t1 ? t1t2 ? ___________ 8.在 1, 2, ??? , 2014 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是______________ 9.设 a、b 是非零常数, x ? R ,若

sin 4 x cos4 x 1 sin 2012 x cos2012 x ,则 2014 ? ? 2 ? 2 ? ___________ 2 2 a b a ?b a b2014

10.已知 A ? {( x, y) x2 ? y 2 ? 2x cos ? ? 2(1 ? sin ? )(1 ? y) ? 0, ? ? R} , B ? {( x, y) y ? kx ? 3, k ? R} , 若A
B 为单元素集,则 k ? _____________

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

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二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b2 ? 0 外切 (a、b ? N , a ? 0) ,且 动圆 C1 与 x 轴相切, (1)求动圆 C1 的圆心轨迹方程 l ; (2)若直线 4( 7 ?1)abx ? 4ay ? b2 ? a2 ? 6958a ? 0 与曲线 l 有且仅有一个公共点,求 a、b 的值.

12.若数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2n , (n ? 1, 2, 3, ??? ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ?
(n ? 1, 2, 3, ??? ) ,求证:
n 1 1 ?? ? 1. 2 k ?1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k

2 bn , n

2

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

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13.锐角 ?ABC 中, A1、B1、C1 分别是边 BC、CA 、AB 的中点, ?ABC 的垂心、外心分别为 H、O , 射线 HA1、HB1、HC1 分别与 ?ABC 的外接圆交于点 A0、B0、C0 ,设 H 0 是 ?A0 B0C0 的垂心; 求证: O、H、H 0 三点共线.
A

C0 C1 H0 O A1 H

B1

B0

B

C

A0

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

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14.六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子;问: (1)共有多少种不同的骰子; (2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V ; 在所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值.

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四答案
一、填空题:

3 1.已知三个数 、log16 82、log 27 124 ,则它们的大小关系是______________ 2 解:因为 log16 82 ? log16 81 ? log 24 34 ? log 2 3 ; log27 124 ? log27 125 ? log33 53 ? log3 5 ; 3 ; 2 3 3 3 再令 y ? log 3 5 ,则 3 y ? 5 ,而 32 ? 27 ? 5 ? 3y ,所以 y ? ;综上, log 27 124 ? ? log16 82 . 2 2 2.已知两点 A (1, 2) 、 B (3, 1) 到直线 l 的距离分别是 2、 5 ? 2 ,则满足条件的直线 l 一共有
令 x ? log 2 3 ,则 2 x ? 3 ;又因为 2 2 ? 8 ? 3 ? 2 x ,所以 x ? _______条. 解:由 AB ? 5 ,分别以 A 、 B 为圆心, 2 和 5 为半径作两个圆,则两圆外切,共有 3 条公切线. 3.设 f (n) 为正整数 n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 f (123) ? 12 ? 22 ? 32 ? 14 ; 记 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? 1, 2, 3, ??? ,则 f 2014 (2014) ? _____________. 解:将 f (2014) ? 21 ,记作: 2014 ? 21 ,于是有: 2014 ? 21 ? 5 ? 25 ? 29 ?85 ?89 ?145 ? 42 ? 20 ? 4 ?16 ? 37 ? 58 ?89 ???? 从 89 开始, f n 是周期为 8 的周期数列.故 f 2014 (2014) ? f 2008 (89) ? f 251?8 (89) ? 89 .
3

1 ,则 M ? {( x, y) || y | ? | x |? 1} , 3 N ? {( x, y) || y |? x2 ? 1} 的交集 M N 所表示的图形面积为______________ 解: M N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M N 的图形面积只要算出在第一象 限的图形面积乘以 4 即得;为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了; 1 1 1 2 由题意可得 M N 的图形在第一象限的面积为 A ? ? ? ;∴总面积为 . 2 3 6 3 5.在正 2014 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为______________ 1 解:正 2n 边形 A1 A2 ??? A2 n ,对角线共有 ? 2n ? (2n ? 3) ? n(2n ? 3) 条;计算与一边 A1 A2 平行的对角线 2 条数,因 A1 A2 // An ?1 An ? 2 ,与 A1 A2 平行的对角线的端点只能取自 2n ? 4 个点,平行线共 n ? 2 条; 故与某一边平行的对角线共 n(n ? 2) 条;由此可得与任何边都不平行的对角线共有: n(2n ? 3) ? n(n ? 2) ? n(n ? 1) 条,故条数为 1007 ?1006 ? 1013042 .
4.在 xOy 平面上, 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1所围成图形的面积为 6.设函数 f ( x) ?

? sin x ? cos x tan x ? cot x sin x ? cos x tan x ? cot x ,在 x ? (0, ) 时的最小值 ? ? ? 2 sin x ? tan x cos x ? tan x cos x ? cot x sin x ? cot x 为______________
1 1 1 1 ? ) ? (tan x ? cot x)( ? ) sin x ? tan x cos x ? cot x cos x ? tan x sin x ? cot x 4 4 ? (sin x ? cos x)( ) ? (tan x ? cot x)( ) sin x ? tan x ? cos x ? cot x sin x ? tan x ? cos x ? cot x ?4 ?sin x ? tan x ? cos x ? cot x (1) 要使上式等号成立,当且仅当: ? ? tan x ? cos x ? cot x ? sin x (2) f ( x) ? (sin x ? cos x)(
5

解:原表达式变形为: (由调和平均值不等式处理其中的不等号)

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

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(1) ? (2) 得到 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ,即得 sin x ? cos x ;

因为 x ? (0,

?
2

) ,所以当 x ?

?
4

时, f ( x) ? f ( ) ? 4 ,所以 min f ( x) ? 4 . 4

?

7.设手表的表面在一平面上;整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为

2 的圆周上; 2 从整点 i 到整点 (i ? 1) 的向量记作 ti t i ?1 ,则 t1t2 ? t2t3 ? t2t3 ? t3t4 ? ??? ? t12t1 ? t1t2 ? ___________ 2 的圆内接正 12 边形; 2 相邻两个边向量的夹角即为正 12 边形外角为 30? ;
各边向量的长为 2 ?
2 ? 2? 3 2? 3 2 ? 2? 3 3 ? sin ? 2 ) cos ? 2 ,则 t1t2 ? t2t3 ? ( 2 ; 2 12 4 4 6 4 2

解:连接相邻刻度的线段构成半径为

共有 12 个相等项;所以求得数量积之和为 6 3 ? 9 . 8.在 1, 2, ??? , 2014 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是______________ 解:三个数成递增等差数列,设为 a, a ? d , a ? 2d ,按题意必须满足 a ? 2d ? 2014 且 d ? 1006 ; 对于给定的 d , a 可以取 1,2,……, 2014 ? 2 d ; 故三数成递增等差数列的个数为: ? (2014 ? 2d ) ? 1007 ?1006 ;
d ?1 1006

1007 ? 1006 1007 ?1006 ? 3! 1 ? ? 三数成递增等差数列的概率为: . 3 2014 ? 2013 ? 2012 1342 C2014

sin 4 x cos4 x 1 sin 2012 x cos2012 x ,则 2014 ? ? 2 ? 2 ? ___________ 2 2 a b a ?b a b2014 sin 4 x cos4 x 1 b2 a2 4 4 4 (1) (1) 解:已知: 2 ? 2 ? 2 , ;将 改写成: 1 ? sin x ? cos x ? sin x ? cos4 x ; a b a ? b2 a2 b2 而 1 ? (sin 2 x ? cos2 x)2 ? sin 4 x ? cos4 x ? 2sin 2 x cos2 x ;
9.设 a、b 是非零常数, x ? R ,若

b a b2 a2 4 2 2 sin x ? 2sin x cos x ? cos4 x ? 0 ;即 ( sin 2 x ? cos2 x)2 ? 0 , 2 2 a b a b 4 4 1 1 sin x cos x 即 4 ? ,将该值记为 C ;则由 (1) 知, a 2C ? b2C ? 2 ;即: C ? 2 ; 2 4 (a ? b 2 )2 a ?b a b
所以有: 而
sin 2012 x cos 2012 x 1 503 1 503 1 1 1 1 ? ? 2 C ? 2 C ?( 2 ? 2) 2 ? 2 2 2 . 2014 2014 2 1006 a b a b a b (a ? b ) a b (a ? b 2 )1005

10.已知 A ? {( x, y) x2 ? y 2 ? 2x cos ? ? 2(1 ? sin ? )(1 ? y) ? 0, ? ? R} , B ? {( x, y) y ? kx ? 3, k ? R} , 若 A B 为单元素集,则 k ? _____________ 解:由 x2 ? y 2 ? 2 x cos ? ? 2(1 ? sin ? )(1 ? y) ? 0 ? ( x ? cos ? )2 ? ( y ? 1 ? sin ? )2 ? 0
? x ? cos ? , y ? 1 ? sin ? ? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1
A B 为单元素集,即直线 y ? kx ? 3 与 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 相切,则 k ? ? 3 .

二、解答题: 11.在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b2 ? 0 外切 (a、b ? N , a ? 0) ,且 动圆 C1 与 x 轴相切, (1)求动圆 C1 的圆心轨迹方程 l ; (2)若直线 4( 7 ?1)abx ? 4ay ? b2 ? a2 ? 6958a ? 0 与曲线 l 有且仅有一个公共点,求 a、b 的值. 解: (1)由 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b2 ? 0 ,可得: ( x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? ( )2 ; 2a 4a 4a 由 a、b ? N ,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,
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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

先做后对答案

设动圆圆心坐标为 ( x, y ) ,则有: ( x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? y ? ; 2a 4a 4a

b ) ;……………(5 分) 2a b 1 1 另解:由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 ( , 为准线, ) 为焦点, y ? ? 2a 4a 4a b 且顶点在 ( , 0) 点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程: 2a b 1 b2 b ( x ? )2 ? y ,即 y ? ax2 ? bx ? ( x ? ) …………………(5 分) 2a a 4a 2a 2 ? b 2 b ? y ? ax ? bx ? (x ? ) ; (2)联立方程组: ? 4a 2a ?4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958a ? 0 ?
整理得到动圆圆心轨迹方程: y ? ax2 ? bx ?

b2 4a

(x ?

消去 y 得: 4a2 x2 ? 4 7abx ? (a2 ? 6958a) ? 0 , 由 ? ? 16 ? 7a 2b2 ? 16a 2 (a 2 ? 6958a) ? 0 整理得: 7b 2 ? a 2 ? 6958a ; 从①可知: 7 a ? 7 a ;故令 a ? 7a1 ,代入①可得:
2



b2 ? 7a12 ? 6958a1 ? 7 b2 ? 7 b ;再令 b ? 7b1 ,代入上式得: 7b12 ? a12 ? 994a1 ;…(10 分)

同理可得, 7 a1 , 7 b1 ;可令 a ? 49n, b ? 49m ,代入①可得: 7m 2 ? n 2 ? 142n ; 对②进行配方,可得: (n ? 71)2 ? 7m2 ? 712 ;



对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶数,所以 7m2 ? 712 ? (n ? 71)2 为 8 的倍数, 所以 4 m ;令 m ? 4r ,则 112r 2 ? 712 ? r 2 ? 45 ; 所以: r ? 0, 1, 2,3, 4,5, 6
2

…………………………………(15 分)

当且仅当 r ? 0, 4 时, 71 ? 112r 2 为完全平方数;
? a ? 6958 ? a ? 6272 ?a ? 686 (不合,舍去) ; ? 于是解得: ? ;? .……(20 分) b ? 0 ? ?b ? 784 ?b ? 784

12.若数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2n , (n ? 1, 2, 3, ??? ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ?
(n ? 1, 2, 3, ??? ) ,求证:
n 1 1 ?? ? 1. 2 k ?1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k

2 bn , n

证明:记: I n ? ?
k ?1

n

1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k

,则 I1 ?

1 ? I 2 ? ??? ? I n ; 2

而 In ? ?
k ?1

n

1 (ak ?1 ? 1)(bk ? k )
n

?

?a
k ?1

n

1 ; ………………………(5 分) k ?1 ? 1 k ?1 bk ? k ??

1

n

因为 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2n ,所以 ak ?1 ? 1 ? k (k ? 1) ;…………………………(10 分) 从而有: ?
1
k ?1 ak ?1 ? 1

??

1 1 ? 1? ?1; k ( k ? 1) n ?1 k ?1

n

(1)

1 k 1 1 bk2 bk (bk ? k ) ? ? ? ,所以 , ? bk ?1 bk (bk ? k ) bk bk ? k k k n 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?1; 即 ;从而有: ? (2) … (15 分) b1 bn ?1 b1 bk ? k bk bk ?1 k ?1 bk ? k

又因为 bk ?1 ? bk ?

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题四

先做后对答案

1 ? In ? 1 ; 2 左边不等式的等号成立当且仅当 n ? 1 时成立.………………………………(20 分) 13.锐角 ?ABC 中, A1、B1、C1 分别是边 BC、CA 、AB 的中点, ?ABC 的垂心、外心分别为 H、O , 射线 HA1、HB1、HC1 分别与 ?ABC 的外接圆交于点 A0、B0、C0 ,设 H 0 是 ?A0 B0C0 的垂心; 求证: O、H、H 0 三点共线.
由(1)和(2)即得: I n ? 1 ;综合可得:
A A

C0 C1 H0 O A1 H

B1

B0

C0 C1 H0 O H

B1

B0

B

C

B

A1

C

A0

A0

证明:连结 HB、HC、A0 B、A0C、A0 A ; 因为 H 是 ?ABC 的垂心,所以 ?BHC ? 180? ? ?BAC ? ?BA0 C ; 又因为 A1 是边 BC 的中点,由同一法可知:四边形 BHCA0 是平行四边形; 所以 ?ACA0 ? 90? ,于是, AA0 是 ?ABC 外接圆的直径; 所以 O 是 ?ABC 与 ?A0 B0C0 的对称中心,即 A ? A0、B ? B0、C ? C0 , 从而 H 0 与 H 关于 O 对称,且 O 为 HH 0 的中点; 即 O、H、H 0 三点共线. 14.六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子;问: (1)共有多少种不同的骰子; (2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V ; 在所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值. 解: (1)设桌面上有一个与骰子的侧面全等的正方形. 把一个骰子放到该正方形上的放法共 6? 4 种,6 指 6 个面,4 指 4 不同方向; 6! 所以不同的骰子共有 ………………… (5 分) ? 30 种. 6? 4 2 ? 15 个, (2)由 1? 6 的六个数字所能产生的变差共有 C6 6 ? 5 ? 1 ; 5 ? 4 ? 1, 6 ? 4 ? 2 ; 4 ? 3 ? 1, 5 ? 3 ? 2, 6 ? 3 ? 3 ;… ∴其总和为: 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 35 ………(10 分) 与之相比,每个骰子的全变差中,所缺的是三个相对面上数字之间的变差, 记其总和为 v ,则 vmax ? (6 ? 5 ? 4) ? (1 ? 2 ? 3) ? 9 ; vmin ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 …………………………… (15 分) 因此 Vmax ? 35 ? vmin ? 32 , Vmin ? 35 ? vmax ? 26 ……………………(20 分)

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