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竖直平面内的圆周运动学案


竖直平面内的圆周运动学案
编写人 学习目标: 1、了解竖直平面内圆周运动的特点。 2、掌握杆、绳约束的物体在竖直平面内做圆周运动的特点。 3、利用临界特点及能量守恒解决竖直平面内的圆周运动。 基础导引: 一、竖直平面内的圆周运动的特点 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动,其合外力一般不指向圆心, 它产生两个方向的效果: 审核人 审批人 使用时间

>③当 mg>m

v

2

,即 v<

gR ,小球不能过圆周的最高点,小球在达到最高点之前就已经脱

R

离了圆轨道.小球脱离圆周的临界条件是弹力为零. 【例题 1】如图所示,一质量为 0.5kg 的小球,用 0.4m 长的细线拴住在竖 直面内作圆周运动,求:(1)当小球在圆上最高点速度为 4m/s 时,细线的 拉力是多少?(2)当小球在圆上最低点的速度为 4m/s 时,细线的拉力是多 少?判定这种情况下小球能否过最高点。(g=10m/s )
2

因此变速圆周运动的合外力不等于向心力, 只是在半径方 向的分力 F1 提供向心力.但在最高点和最低点时合外力沿半 径指向圆心,全部提供向力,这类问题经常出现临界状态. 二、圆周运动的临界问题 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物,其合外力一般不指向圆心,但在最高点和最 低点时合外力沿半径指向圆心,全部提供向力,这类问题经常出现临界状态,下面对临界状态 进行分析: 1. 没有物体支撑的小球(绳类约束) 讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,如图所示: C ①临界速度 v 0 :小球运动在最高点时,受的重力和弹力方向都向下, 当弹力等于零时,向心力最小,仅由重力提供.由牛顿运动定律知 mg=m
v
2

练 1、把盛水的水桶拴在长为 L 的绳子一端,使这水桶在竖直平面做圆周运动,要使水在水桶转 到最高点时不从桶里流出来,这时水桶的线速度至少应该是 ( A.
2 gl

)

B.

gl / 2

C.

gl

D. 0

练 2、 用长为 l 的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动, 当球通过圆周 的最高点时,细线受到的拉力等于球重的 2 倍,已知重力加速度为 g,则球此时的速度大小为 ___ ,角速度大小为_ _,加速度大小为_ __。

A

v

R

O

2. 有物体支撑的小球(杆类约束) 讨论在竖直平面内做圆周运动的情况,如图所示. ①临界速度 v 0 :由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用,因此小球 在最高点的速度可以为零,不存在“掉下来”的情况.小球恰能达到最高点 的临界速度 v 0 =0. ②小球过最高点时,所受弹力情况:

v

R

,得小球过圆周轨道最高点的临界速度为 v 0 =

gR ,它是小球

能过圆周最高点的最小速度. ②当 mg<m 和压力.
v
2

杆 O

,即 v>

gR ,小球能过圆周的最高点,此时绳和轨道分别对小球产生拉力

R

1

A.小球到达最高点的速度 v=0,此时轻杆或管状轨道对小球的弹力 N=mg. B.当小球的实际速度 v>
2

gR 时,产生离心趋势,要维持小球的圆周运动,弹力方向应向

下指向圆心,即轻杆对小球产生竖直向下的拉力,管状轨道对小球产生竖直向下的压力,因此
F N =m
v

-mg,所以弹力的大小随 v 的增大而增大。
gR 时,小球有向心运动的趋势,弹力方向应向上背离圆心,即轻杆或管状轨
v
2

R

C.当 0<v<

道对小球的作用力为竖直向上的支持力,因为 F N =mg-m 小。可以看出 v= 速度.

R

,所以 F N 的数值随 v 的增大而减

gR 是轻杆(或管状轨道)对小球有无弹力和弹力方向向上还是向下的临界

【例题 2】长度为 0.5m 的轻质细杆 OA,A 端有一质量为 3kg 的木球, 点为圆心,在竖直面内作圆周运动,如图所示,小球通过最高点的速度 2m/s,取 g = 10 m/s ,则此时球对轻杆的力大小是 。
2

以O 为 向

课堂练习: 1. 长度均为 L 的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为 m 的小球, 它们各自在 竖直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点时, 杆、绳所受拉力之比为( ) A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2 A A 2、如图 11,轻杆的一端与小球相连接,轻杆另一端过 O 轴在 竖直平面内做圆周运动。当小球达到最高点 A、最低点 B 时, 杆对小球的作用力可能是: O O A. 在 A 处为推力,B 处为推力 B. 在 A 处为拉力,B 处为拉力 图 11 C. 在 A 处为推力,B 处为拉力 B D. 在 A 处作用力为零,在 B 处作用力不为零 3. 长为 L 的轻绳一端系一质量为 m 的物体, 另一端被质量为 M 的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速 度为 v , 则此时人对地面的压力为( ) A. ( M + m )g - C. M g + m v2 L m v2 L B. ( M + m )g + m v2 L m v2 L

,方向

D. ( M - m )g -

练:如图所示,长为 L 的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在 竖直平面内作圆周运动,关于小球在最高点的速度 v0 下列说法中正确的是 A.v 的最小值为
gR

4. 一轻杆一端固定一质量为 m 的小球, 以另一端 O 为圆心, 使小球在竖直平面内做半径为 R 的 圆周运动,以下说法正确的是: [ ] A、小球过最高点时,杆所受的弹力可以为零 B、小球过最高点时最小速度为 gR C、小球过最高点时,杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反, 此时重力一定大于杆对 球的作用力 D、小球过最高点时,杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反 5.长度为 L=0.8m 的轻质细杆,一端有一质量为 m=5kg 的小球,小球以 O 点为圆心在竖直面内 做圆周运动,当小球通过最高点时的速率为 4m/s 时,小球受到细杆的 力(填拉或支 2 持) ,大小为 N,g 取 10m/s 。

B.v 由零逐渐增大,向心力也逐渐增大 C.当 v 由 D.当 v 由
g R 值逐渐增大时,杆对小球的弹力也逐渐增大 g R 值逐渐增小时,杆对小球的弹力也仍然逐渐增大
FN

3.物体在竖直圆周外壁最高点的运动情况,如图所示: ①临界速度 v0:物体在最高点受到竖直向下的重力和竖直 向上的支持力 F N ,根据牛顿第二定律有 mg- F N =m 当 F N =0 时,即重力提供向心力,则有 mg=m 解得临界速度 v0= 的最大速度. ②当 v≥
gR ,物体在最高点将做平抛运动,脱离轨道.
v
2 2

?
mg

v

R

v0 R



gR ,这是物体在最高点不脱离圆周轨道

2


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