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§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)


§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§2.1.2数列的概念与简单表示法(二)

一、复习提问: ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果 组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就 是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同 一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2 项,…,第n 项,…. ⒊数列的一般形式:a1 , a2 , a3 ,?an ,?,
或简记为 ?an ? ,其中
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an

是数列的第n项
2

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⒋ 数列的通项公式:如果数列的第n项与n之间的关系可 以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式. 5.数列的图像都是一群孤立的点.

6.数列有三种表示形式:列举法,通项公式法和图象法.
7.有穷数列:项数有限的数列.

8.无穷数列:项数无限的数列.

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20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
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an ? n( n ? 1)的图象
是些孤立点

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
4

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5 4

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做出常数数列:,4,4,?图象 4,4

3
做出摆动数列:1 - 1 1 ?图象 -1 , , , ,

2

1
0 -1 1 2 3 4 5

我们好孤单! 我们好孤单!

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二、讲解新课: 知识都来源于实践,最后还要应用于生活用其来 解决一些实际问题. 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.

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模型一:自上而下: 第1层钢管数为4;即:1 ?4=1+3 第2层钢管数为5;即:2 ?5=2+3 第3层钢管数为6;即:3 ?6=3+3 第4层钢管数为7;即:4 ?7=4+3 第5层钢管数为8;即:5 ?8=5+3 第6层钢管数为9;即:6 ?9=6+3 第7层钢管数为10;即:7 ?10=7+3

若用an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢 管数为一数列,且 an ? n ? 3(1 ? n ? 7)
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运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建 立了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出每一 层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让 同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?
模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1即 a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1依此类推: an=an-1+1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其 他项,看来,这一关系也较为重要.

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1.递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项), 且任一项an与它的前一项an-1(或前n-1项)间的关系可 以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式. 说明:递推公式也是给出数列的一种方法. 如下数字排列的一个数列:1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55,89

递推公式为: 1 ? 1, a2 ? 1, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) a

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2.数列的前n项和:

数列{an}中,a1+a2+…+an称为数列的前n项和,记为Sn.
S1表示前1项之和:S1=a1

S2表示前2项之和:S2=a1+a2
…… Sn-1表示前n-1项之和:Sn-1=a1+a2+…+an-1 Sn表示前n项之和:Sn=a1+a2+…+an. ∴当n≥1时Sn才有意义; 当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.
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3.Sn与an之间的关系(相关关系): 由的定义可知,当n=1时,S1=a1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1,

? S1 (n ? 1) 即an ? ? ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
说明:数列的前n项和公式也是给出数列的一 种方法.
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三、例题讲解
例1.已知数列 {an } 的第1项是1,以后的各项由 1 公式an ? 1 ? 给出,写出这个数列的前5项. an?1

分析:题中已给出 {an } 的第1项即 a1 ? 1 , 1 递推公式: an ? 1 ? an?1

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例1.已知数列 {an } 的第1项是1,以后的各项由 1 公式an ? 1 ? 给出,写出这个数列的前5项. an?1 解:据题意可知:

1 1 3 a1 ? 1, a2 ? 1 ? ? 2, a3 ? 1 ? ? a1 a2 2 1 5 8 a4 ? 1 ? ? , a5 ? a3 3 5

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a 例2.已知数列 ?an ?中, 1

? 1, a2 ? 2, an ? 3an?1 ? an?2 (n ? 3)

试写出数列的前4项.
解:由已知得: a1 ? 1, a2 ? 2,

a3 ? 3a2 ? a1 ? 7, a4 ? 3a3 ? a2 ? 23
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例3.已知a1

a ? 2 , n?1 ? 2an 写出前5项,并猜想an.
a2 ? 2 ? 2 ? 2
2 3

解法一: a1 ? 2

2

a3 ? 2 ? 2 ? 2
观察可得: n a

?2

n

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例3.已知a1

a ? 2 , n?1 ? 2an 写出前5项,并猜想an.
n ?1

解法二:由a

? 2an 得an ? 2an?1

an ? ?2 an ?1 an an?1 an?2 a2 n ?1 ? ? ? ???? ? 2 an?1 an?2 an?3 a1

an ? a1 ? 2
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n?1

?2

n
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例4.已知数列的前n项和,求数列的通项公式: ⑴ Sn=n2+2n; ⑵ Sn=n2-2n-1. 解:⑴①当n=1时,a1=S1=12+2×1=3;

②当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1; ③经检验,当n=1时,2n+1=2×1+1=3, ∴an=2n+1为所求.
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例4.已知数列的前n项和,求数列的通项公式: ⑴ Sn=n2+2n; ⑵ Sn=n2-2n-1. ⑵①当n=1时,a1=S1=12-2×1-1=-2; ②当n≥2时,an=Sn-Sn-1

=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]
=2n-3; ③经检验,当n=1时,2n-3=2×1-3=-1≠-2,

??2(n ? 1) 为所求. ? an ? ? ?2n ? 3(n ? 2)

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四、练习: 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它 的前五项,并归纳出通项公式

(1) a1=0, an+1=an+(2n-1)

2an (2)a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 (3)a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 2

(1)an ? (n ? 1) 2 (2)an ? n ?1 n ?1 (3)an ? 1 ? 2 ? 3
2

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2.已知数列的前n项和,求数列的通项公式: ⑴ Sn=2n2-3n;

(1)an ? 4n ? 5
n ?1 ? 1 (2)an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3

⑵ Sn=3n-2.

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小结: 本节课学习的主要内容有:
1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系, 而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间 的关系.

3.Sn的定义及与an之间的关系

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课堂练习 <<教材>> P.31

练习3.4

书面作业
<<教材>> P.33-34 习题2.1 A组4.6B组3

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