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2.5.3等差数列与等比数列综合问题


等差数列与等比数列 综合应用

学习目标 1.熟练掌握等差数列及其相关性质,并能灵活运用. 2.熟练掌握等比数列及其相关性质,并能灵活运用. 3.能用等差、等比数列的有关知识解决一些简单的综合问题.

复习回顾 等差数列
定义式 通项
a n ? a n?1 ? d ( n ? 2 )

等比数列
an a n?1 ? q(q ? 0, n ? 2)
n?1

a n ? a 1 ? ( n ? 1 )d
a n ? a m ? ( n ? m )d

a n ? a1q
an ? amq

(q ? 0)
(q ? 0)
(q ? 1)

公式
前 n 项 和 公 式

n?m

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2 n(n ? 1) 2

Sn

? a 1 (1 ? q n ) ? ? ? 1? q ? ? na 1

(q ? 1)

S n ? na 1 ?

d

Sn

? a 1 ? qa ? ? ? 1? q ? ? na 1

n

(q ? 1) (q ? 1)

等差数列
(m,n,p,q∈N*),则 am +an=ap+aq.

等比数列
(m,n,p,q∈N*),则 am an=apaq.

(1) 等差数列{an}中,若 m+n=p+q (1) 等比数列{an}中,若 m+n=p+q

常 用 重 要 性 质

(2)等差数列{an}中,若 m+n=2k (m,n,k∈N*),则 am+an=2ak.
(3)若 Sn、Tn 分别为两个等差数列{an} an S2n- 1 和{bn}的前 n 项和,则: = . bn T2n- 1

(2)等比数列{an}中,若 m+n=2k (m,n,k∈N*),则 aman=ak2.

(4)在等差数列{an}中,等距离任取 m 项作 和,则它们仍组成等差数 列.即 Sm ,S2m-Sm ,S3m-S2m ,… 仍组成等差数列.

(3)在等比数列{an}中,若连续 m 项 的和不等于 0,则它们仍组成等比 数列. Sm, 2m-Sm, 3m-S2m, 即 S S … 仍组成等比数列.
3

精讲点拨
例 1.在等比数列{an}中, n>0 (n∈N*), a 公比 q∈(0,1), a1a5 且 +2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和为 Sn .

变式:已知等比数列{an}中,a1=2,a3+2 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=anlog2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

错位相减法求和

5

1 1 1 1 例 2. 求数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和. 2 4 8 16

拆项重组法求和

1 2 1 Sn= (n +n+2)- n 2 2

6

(1 ? a ) ? ( 3 ? a 2 ) ? (5 ? a 3 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? a n ) 变式:求和:

7

达标检测
1.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等( A.12 B.13 C.14 D.15

B)

2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 1 则{an}的公比为________. 3 3.已知等差数列{an}的公差 d≠0 且 a1,a3,a9 成等比数列,则 a1+a3+a9 等于 ( a2+a4+a10

C

)

15 12 13 15 A. B. C. D. 14 13 16 16 4. 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+ 1-an.若 b3=-2,b10=12,则 a8 等于( A.0 B.3

B

) D.11

C.8

归纳延伸
1.通项公式与前 n 项和公式联系着五个基本量:a1、d(q) 、n、 an、Sn.掌握好本部分知识的内在联系、结构,以便灵活运用. 2.用函数观点和方法揭示数列的特征,在分析解决数列的综合 题中有重要的意义. 3. 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比 数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而 得出原数列的和.

课后作业:P61—3、4



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