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(解析版)天津市滨海新区五所重点学校2013届高三毕业班联考数学试卷(文科)


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(解析版)天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三毕业班联考

数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。考试结束后,将答题纸和

答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题,共 40 分)
注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再填涂其它答案,不能答在试卷上。

一. 选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,有且 只有一个是正确的)

1.已知 i 是虚数单位,则复数

-3?i ? 1? i
D. 2 ? i ?

A. 1 ? 2i ?

B. 2 ? i ?

C. 1 ? 2i ?

? y ? 0, ? 2.已知 x、y 满足约束条件 ? y ? x, 则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 6 ? 0. ?
A.0 B.3

C. 4

6 D.

3.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 是

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A. 21

B. 39

C. 81

D. 102

4. a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? “

ex a ? 是奇函数”的 a ex
B. 必要不充分条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件
5.设 a ? 4
0.7

既不充分也不必要条件 D.
0.5

, b ? 0.3

, c ? log 2 3 ,则 a、b、c 的大小关系是

A.b ? a ? c C.a ? b ? c
6.函数 y ? 2 sin(

B.b ? c ? a

a D. ? c ? b

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是

A.[0,

? ] 3
2

? 7? B. , [ ] 12 12

? 5? C.[ , ] 3 6

D. [

5? , ?] 6

7.若抛物线 y ? 16 x 的准线与双曲线 标 为 8 ,则这个双曲线的离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线交点的纵坐 a 2 b2

A.2
8.已知函数 f ( x) ? ?

B.3

C. 2

D.5

? 1? | x ? 1|, x ?[?2,0] ,若方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个 ?2 f ( x ? 2), x ? (0, ??)

不等实根,则实数 a 的取值范围是

A. a | ?2 ? a ? 0} {
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{ B.a | ?2 ? a ? 0}

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C .{a | ?2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2}

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D.a | ?2 ? a ? 0 或 a ? 1} {

2013 天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

数学试卷(文科)

第Ⅱ卷
注意事项:

(非选择题,共 110 分)

1.第Ⅱ卷共 3 页,用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上。 2.答卷前,请将密封线内的项目填写清楚。

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在试题的相应的横线上.
2 9.设全集 U 是实数集 R , M ? {x | x ? 4} , N ? {x || x ? 2 |? 1} ,则图中阴影部分表示的



合等于____________.(结果用区间形式作答) 10. 如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 , AC 是圆 O 的直径,

PC 与 圆 O 交 于 点 B , PB ? 1 , 则 圆 O 的 半 径 R 等 于

________. 11.一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部

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分边长如图所示,则此五面体的体积为



12.已知 x ? 1 , y ? 1 ,且

1 1 ln x , , ln y 成等比数列,则 xy 的最小值是_______. 4 4

13.在矩形 ABCD 中, AB ? 3, AD ? 1 . 若 M , N 分别在边 BC , CD 上运动(包括端点),

且满足

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________. ? | BC | | CD |

14.定义: ? m ? 表示大于或等于 ? m ? 的最小整数( m 是实数) .若函数

1 1 ax f ( x) ? x (a ? 0, a ? 1) ,则函数 g ( x) ?? f ( x) ? ? ? ? f (? x) ? ? 的值域为 2 2 a ?1
____. 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数分别为 36,24,12,现采 用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学习活动现状”的调查. (Ⅰ)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (Ⅱ)若从抽取的 6 名干事中随机再选 2 名,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率.

16. (本题满分 13 分)

?ABC 中角 A, B, C 所对的边之长依次为 a, b, c ,且 cos A ?

2 5 , 5

5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab.
(Ⅰ)求 cos 2C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? c ? 2 ?1, 求 ?ABC 的面积.
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17.(本题满分 13 分) 在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF // BC ,

BC ? 2 AD ? 4 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BCFE 所成角的正切值; (Ⅲ)求证: BD ? EG .
B E
F

A

D

G

C

18.(本题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , 且 bn?1 ? bn ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式,并求数列 {an ? bn } 的前 n 项的和 Dn ; (Ⅱ)设 cn ? an ? sin
2

n? n? ? bn ? cos 2 (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项的和 T2n . 2 2

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 m ?1 2 1 x ? x , g ( x ) ? ? mx , m 是实数. 3 2 3

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 (2, ??) 为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 是 F (?2 2,0), F2 (2 2,0) , 其 上 的 动 点 P 满 足 1

PF1 ? PF2 ? 4 3 .点 O 为坐标原点,椭圆 C 的下顶点为 R .
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(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

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(Ⅱ)设直线 l1 : y ? x ? 2 与椭圆 C 的交于 A , B 两点,求过 O, A, B 三点的圆的方程; (Ⅲ)设过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l2 交椭圆 C 于 M , N 两点, 试证明:无论 k 取何值时, RM ? RN 恒为定值.

???? ???? ?

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答案详解

1. 【答案】A 2. 【答案】C

?3 ? i (?3 ? i)(1 ? i) ?2 ? 4i ? ? ? ?1 ? 2i ,选 A. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z 。做出可行域

,平移直线 y ? ? x ? z ,由

图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 B 时,直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时 z 最大。由

? y ? x, ?x ? 2 ,解得 ? ,即 B (2,2) ,代入直线 z ? x ? y 得 z ? x ? y ? 4 ,所以目标 ? 2 x ? y ? 6 ? 0. y?2 ? ?
函数 z ? x ? y 的最大值为 4,选 C. 3. 【答案】D 第一次循环, S ? 3, n ? 2 ;第二次循环, S ? 3 ? 2 ? 32 ? 21, n ? 3 ; 第 三 次 循 环 , S ? 21 ? 3? 3 ? 102, n ? 4 ; 第 四 次 循 环 , 不 满 足 条 件 , 输 出
3

S ? 21 ? 3 ? 33 ? 102 ,选 D.
4. 【答案】A 因为函数 f ( x) ?

1 ex a f (0) ? ? a ? 0 ? x R f (0) ? 0 a a e 的定义域为 所以 ,即 ,

解得

a ? ?1

? 是奇函数”的充分不必要条件,选 A. “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? a ex ,所以
0.7

ex

a

5. 【答案】B a ? 4

? 1, 0 ? 0.30.5 ? 1, c ? log2 3 ? 1 ,所以 b ? c ? a ,选 B.

6. 【答案】C y ? 2sin(

? ? ? 3? ? 2 x) ? ?2sin(2 x ? ) ,由 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ,得 6 6 2 6 2 ? 5? ? 5? ], ? k? ? x ? ? k? ,因为 x ? [0, ? ] ,所以当 k ? 0 时,得函数的增区间为 [ , 3 6 3 6

?

选 C. 7. 【答案】D

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b x ,当 x ? ?4 , y ? 8 ,即 a

抛物线的准线方程为 x ? ?4 ,双曲线的一条渐近线为 y ? ?

b 8 ? ? ? ( ?4) ,所以 b ? 2a, b2 ? 4a2 ,即 c2 ? a 2 ? 4a 2 ,所以 c 2 ? 5a 2 ,即 c ? 5a ,所 a c 以双曲线的离心率为 e ? ? 5 ,选 D. a ?1? | x ? 1|, x ? [?2, 0] ? f ( x) ? ?2 ? 2 x ? 1 , x ? (0, 2) 8. 【答案】D 当 ?2 ? x ? 4 时,函数 ?4 ? 4 x ? 3 , x ? [2, 4] ,做出函数 f ( x) 的图 ?

象如图

设 y ? x ? a ,由图象可知要使方程

f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个不等实根, 则直线经过点 B, C 或 E , F 时, 3 个交点。 有
过 H , G 时,有 2 个交点。所以实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 0 或 a ? 1 ,即选 D. 9. 【答案】 2] M ? {x | x ? 4} ? {x x ? 2或x ? ?2} ,N ? {x || x ? 2 |? 1} ? {x 1 ? x ? 3} , [1,
2

阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 N ? (? M ) , 所 以 (? M ) ? U U

{ ? 2 x ? ,} 以 x ? 2 所

N ? (? M ) ? {x 1 ? x ? 2} ? [1,2] 。 U
10. 【 答 案 】

3 由 切 割 线 定 理 可 得 PA2 ? PB ? PC , , 即 PC ?

PA2 4 ? ? 4 ,所以 PB 1

0 2 B C ? P C? P B 3 ,因为 AC 是圆 O 的直径, ? 所以 ?ABC ? 90 , 所以 AB ? BC ? BP ? 3 ,

所以 AC ? BC ? AB ? 9 ? 3 ? 12 ,即 AC ? 12 ? 2 3 ,所以 2R ? 2 3 ,即 R ? 3 。
2 2 2

11. 【答案】 2 由三视图可知,该几何体时底面是直角梯形侧棱垂直底面的一个四棱锥。四棱锥的高为 2,

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1 (1 ? 2) ? 2 ? 3 ,所以 2

底面梯形的上底是 1,下底为 2,梯形的高是 2,所以梯形的面积为 该几何体的体积为 ? 3 ? 2 ? 2 。 12. 【答案】 e 因为 x ? 1 , y ? 1 , ,所以 等 比 数 列 , 所 以

1 3

1 ln x 4

1 1 1 ln x ? 0 , ln y ? 0 ,因为 ln x , , ln y 成 4 4 4 1 1 。 因 为 ln y ? ( ) 2 , 所 以 ln x ln y ? 4 4

ln x ? ln y ? ln xy ? 2 ln x ? ln y ? 2

1 1 ? 1 , 即 x y ? e, 当 且 仅 当 ln x ? ln y ? , 即 2 4

x ? y?

e取等号,所以 xy 的最小值是 e 。

) 13. 【答案】[1,9] 将矩形 ABCD 放入坐标系如图,则 A(0,0), B(3,0), C (3,1) 。设 M (3, b , N ( x,1) , 0 ? b ? 1 ,因为 | BM | ? | CN | ,所以 b ? ,即 x ? 3 ? 3b ,所以 N (3 ? 3b,1) , 3 | BC | | CD |
即 AN ? (3 ? 3b,1) , AM ? (3, b) , 所 以 A N? A M?( 3 ? 3 b 1) ( 3, ? , ? b )

3? x

????

???? ?

???? ?????

? ,因为 9 b8

???? ???? ? 0 ? b ? 1 ,所以 1 ? 9 ? 8b ? 9 ,即 AN ? AM 的范围是 [1,9] 。
14. 【 答 案 】 {0,1} 因 为

f ( x) ?

1 ax 1 ax ? 1 1 1 , ? x ? ? ? ? x x 2 a ? 1 2 2(a ? 1) 2 a ? 1

f ( ? x) ?
x

1 a? x 1 1? ax 1 1 ? ?x ? ? ? x ? 。 x 2 a ? 1 2 2(a ? 1) a ? 1 2
f (x ? )

1 1 1 1 1 1 ? ?0 , 此 时 ? ? x ? 0 f (? x) ? ? x , 2 a ?1 2 2 2 a ? 1 1 1 1 1 ? f ( x) ? ?? 0, ? f (? x) ? ?? 0 ,即 g ( x) ?? f ( x) ? ? ? ? f (? x) ? ?? 0 。 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x ? , ? ,? ? ? x ? 0 ,所以 0 ? ? x 若 a ? 1 ,则 a ? 1 ? 2 , 0 ? x 2 a ?1 2 a ?1 2 2 a ?1 1 1 1 1 1 ? ? x ? ? 0 。 此 时 ? f ( x) ? ?? 1 , ? f (? x) ? ?? 0 , 所 以 2 a ?1 2 2 2 1 1 g ( x) ?? f ( x) ? ? ? ? f (? x) ? ?? 1 ? 0 ? 1 。 2 2
若 a ?1 , 则
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x

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1 1 1 1 ? x ? 1 , ?1 ? ? x ?? , 所 以 2 a ?1 a ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?x 0? 0 ? x ? ? 。此时 ? f ( x) ? ?? 0 , ? f (? x) ? ?? 1 ,所 , 2 2 a ? 1 a ?1 2 2 2 2 1 1 以 g ( x) ?? f ( x) ? ? ? ? f (? x) ? ?? 1 ? 0 ? 1 。 综 上 g ( x) ? 0 或 g ( x) ? 1 , 所 以 2 2 1 1 g ( x) ?? f ( x) ? ? ? ? f (? x) ? ? 的值域为 {0,1} 。 2 2
若 0 ? a ? 1 , 则 1 ? ax ?1 ? 2 , 15. (本题满分 13 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数分别为 36,24,12,现采 用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学习活动现状”的调查. (Ⅰ)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (Ⅱ)若从抽取的 6 名干事中随机再选 2 名,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率. 15.解: (I)抽样比为

6 1 ? 36 ? 24 ? 12 12

??????2 分 ??????4 分

故应从 M , N , S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1

(II)在抽取到的 6 名干事中,来自高校 M 的 3 名分别记为 1、2、3; 来自高校 N 的 2 名分别记为 a、b;来自高校 S 的 1 名记为 c 则选出 2 名干事的所有可能结果为: {1,2},{1,3}, ,{1,a},{1,b},{1,c};{2,3}, {2,a}, {2,b},{2,c}; {3,a},{3,b},{3,c};{a,b},{a,c};{b,c}, ?8 分 共 15 种 设 A={所选 2 名干事来自同一高校}, 事件 A 的所有可能结果为{1,2},{1,3}, {2,3},{a,b} 共 4 种, ??????10 分 ??????11 分 ??????13 分 ??????9 分 ?????5 分

? P ( A) ?

4 15

16. (本小题满分 13 分) ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a , b, c ,且

cos A ?

2 5 ,5(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 3 10ab 5

(I)求 cos 2C 和角 B 的值; (II)若 a ? c ? 2 ? 1, 求 ?ABC 的面积. 16.解:(I)由 cos A ?

1 2 , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 5

??????1 分

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3 , 10
??????3 分

由 5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab 得? cos C ?

? 0 ? C ? ? ,? sin C ?

1 4 ,? cos 2C ? 2 cos 2 C ? 1 ? ,??????5 分 10 5

∴ cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin Asin C ? 分 ∴ cos B ? ? cos ? A ? C ? ? ? ∴ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 135? . (II)应用正弦定理

2 3 1 1 2 ??????7 ? ? ? ? 2 5 10 5 10

2 , 2

??????8 分 ??????9 分 ??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

a c ? ,得 a ? 2c , sin A sin C

由条件 a ? c ? 2 ? 1, 得 a ?

2, c ? 1

S?

1 1 2 1 ac sin B ? ? 2 ?1? ? . 2 2 2 2

17. (本题满分 13 分)在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF ,

EF // BC ,
BC ? 2 AD ? 4 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BCFE 所成的角的正切值. (Ⅲ)求证: BD ? EG . 17.解: (Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . ??????1 分
B
G C

A

D

E

F

又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ??????2 分
A

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ??????3 分

D

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . ???4 分
B

E

H

F

(Ⅱ)证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , ??5 分

G

C

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∴ AE ? 平面 BCFE .

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又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ????6 分

过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,连接 BH ,则 DH ? 平面 BCFE ,

? BH 是 BD 在平面 BCFE 内的射影,
故 ?DBH 直线 BD 与平面 BCFE 所成的角. ????7 分 ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形,∴ DH ? AE ? 2 , 在 Rt ?BEH 中, BH ?

BE 2 ? EH 2 ? 2 2 ,
DH 2 ? BH 2 2 .?????9 分 2

在 Rt ?DBH 中, tan ?DBH ?

所以,直线 BD 与平面 BCFE 所成的角的正切值是 (Ⅲ) 解法 1

∵ DH ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG .????10 分

? EH / / BG, EH ? BG, EH ? BE ,
∴四边形 BGHE 为正方形,∴ BH ? EG , ???????11 分 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . ?????????13 分 ???????12 分

解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB ,AE ? 平面 AEB ,BE ? 平面 AEB , EF ? AE ,EF ? BE , ∴ 又 AE ? EB ,∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为
z
A
D

x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系.
由已知得 B (2,0,0) C (2,4,0) , ,
E

F

y

D (0,2,2) G (2,2,0) , . ??? ? ??? ? ∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) . ??? ??? ? ? ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 .∴ BD ? EG .

x

B

G

C

???????13 分

18. (本题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ?2( n ? N)* , 且 数列 {bn }
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满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? 2 .

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(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式,并求数列 {an ? bn } 的前 n 项的和 Dn ; (Ⅱ)设 cn ? an ? sin
2

n? n? ? bn ? cos 2 (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2
??????????1 分 ?????2 分 ???3 分

18.解: (Ⅰ)当 n ? 1 , a1 ? 2 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,∴ an ? 2an?1 ,

∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 ∴ an ? bn ? (2n ?1) ? 2n ∴ Dn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

????????4 分

????????????5 分

① ②?6 分

①×2 得 2Dn ? 1? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ? ?? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ①—②得:

?Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ???7 分
? 2 ? 2? 4(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2
??8 分 ??9 分 ???10 分 ???11 分

? 2n?1 (3 ? 2n) ? 6 ,

Dn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6
(Ⅱ) cn ? ?

?

n为奇数 ? ?(2n ? 1) n为偶数

2n

Tn ? 2 ? 23 ? ?? 22n?1 ? [3 ? 7 ? ?? (4n ?1)] .
22 n?1 ? 2 ? ? 2n 2 ? n 3
19. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

???12 分 ???13 分

1 3 m ?1 2 1 x ? x , g ( x ) ? ? mx , m 是实数. 3 2 3

(I)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值; (II)若 f ( x ) 在区间 (2, ??) 为增函数,求 m 的取值范围; (III)在(II)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围.
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19.(I)解: f ?( x) ? x 2 ? (m ? 1) x

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?????1分

由 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,得 f ?(1) ? 1 ? (m ? 1) ? 0 ,???????2分 所以 m ? 0 (适合题意). ???????3分

(II) f ?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ,因为 f ( x ) 在区间 (2, ??) 为增函数,所以

x2 ? (m ? 1) x ? x( x ? m ?1) ? 0 在区间 (2, ??) 恒成立, ???????5分
所以 x ? m ? 1 ? 0 恒成立,即 m ? x ? 1 恒成立. 由于 x ? 2 ,得 m ? 1 . m 的取值范围是 m ? 1 . (III) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ??????6分 ???????7分

1 3 m ?1 2 1 x ? x ? mx ? , 3 2 3

故 h?( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? m ? ( x ?1)( x ? m) ? 0 ,得 x ? m 或 x ? 1 .?????8分 当 m ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1) ? 0 , h( x) 在 R 上是增函数,显然不合题意.????9分
2

当 m ? 1 时, h( x) 、 h?( x) 随 x 的变化情况如下表:
x

(??, m)
+ ↗

m

( m,1)
?

1

(1, ??)
+ ↗

h( x )

0 极大值 ? 1 m3 ? 1 m 2 ? 1
6 2

0 极小值 m ? 1
2

h?( x)

3



???????11分 要使 f ( x) ? g ( x) 有三个零点,故需

? 1 3 1 2 1 ?? 6 m ? 2 m ? 3 ? 0 ?(m ? 1)( m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? , ?? ? m ?1 m ?1 ? ? ?0 ? ? 2
解得 m ? 1 ? 3 .所以 m 的取值范围是 m ? 1 ? 3 .

???????13分

???????14分

20. (本题满分 14 分)已知椭圆 C 的焦点是 F (?2 2,0), F2 (2 2,0) ,其上的动点 P 满足 1

PF1 ? PF2 ? 4 3 .点 O 为坐标原点,椭圆 C 的下顶点为 R .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l1 : y ? x ? 2 与椭圆 C 的交于
第 14 页 共 15 页

A , B 两点,求过 O, A, B 三点的圆的方程;

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(Ⅲ)设过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l2 交椭圆 C 于 M , N 两点, 试证明:无论 k 取何值时, RM ? RN 恒为定值。 20.解: (Ⅰ)∵ PF1 ? PF2 ? 4 3 ,?2a ? 4 3, ??1 分, ????3 分 ???????4 分

???? ???? ?

? 2c ? 4 2

∴ a2 ? 12, b2 ? a2 ? c2 ? 4,

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

? x 2 ? 3 y 2 ? 12 ? 0 (Ⅱ)联立方程得 ? ?y ? x ? 2
消 y 得 x2 ? 3x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? ?3

? A(0, 2), B(?3, ?1) ?????6 分

设所求圆的方程为: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 依题有 F ? 0, 4 ? 2E ? F ? 0,10 ? 3D ? E ? F ? 0 ??????8 分

解得 D ? 4, E ? ?2, F ? 0, 所以所求圆的方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 . ???9 分 (Ⅲ)证明:设 l2 : y ? kx ? 1 ,联立方程组 ? 消 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kx ? 9 ? 0

? y ? kx ? 1
2 2 ? x ? 3 y ? 12 ? 0

---------------10 分

?点(0,1) 在椭圆 C 内,?? ? 0 恒成立。设 M ( x1, kx1 ?1), N ( x2 , kx 2 ?1) ,
则 x1 ? x2 ?

?6k ?9 , x1 x2 ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ???? ? ??? ? R(0, ?2) , RM ? ( x1, kx1 ? 3), RN ? ( x2 , kx2 ? 3) ???? ??? ? ? RM ? RN ? x1 ? x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3)

-----------11 分

---------12 分

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? (1 ? k 2 ) ?
? ?9 ? 9k 2 ?18k 2 ? ?9 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?9 ?6k ? 3k ? 2 ?9 2 3k ? 1 3k ? 1
-------------13 分

???? ??? ? ? ?27k 2 ? 9 ? ? 9 ? ?9 ? 9 ? 0 ? RM ? RN ? 0 为定值。 3k 2 ? 1

---------14 分

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