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河北省保定市2016届高三11月摸底考试 数学理


保定市 2016 届高三高考摸底考试 数学理试题
2015.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ) 1.设集合 M= ? x || x |? 2? ,N={一 1,1} ,则集合 A.3 2. B.2 C、1 D.0 中整数的个数为

|1 ? i |

1 ? i ? = 1 ? i |1 ? i |
B.2
x

A. 2

C. 2 + 2 i D. 2 - 2 i

?1? 3·命题“ ?x ? R, ? ? >0”的否定是 ?2?
A. ?x0 ? R, ?

?1? ? >0 ?2?
x

x0

B. ?x0 ? R, ?

?1? ? ≤0 ?2?
x

x0

?1? C、 ?x ? R, ? ? <0 ?2?

?1? D、 ?x ? R, ? ? ≤0 ?2?

4、设向量 a ? (1, 0), b ? ( , ) ,则下列选项正确的是

?

?

1 1 2 2

A、 | a |?| b |

?

?

B、 ( a ? b ) ? b

? ?

?

C、 a ? b

? ?

D、 a ? b?

? ?

2 2

5、下列函数是偶函数,且在[0,1]上单调递增的是 A、 y ? sin( x ?

?
2

)

B、 y ? 1 ? 2 cos x
2

C、 y ? ? x

2

D、 y ?| sin(? ? x) |

6· “ sin ? ?

1 1 ”是“ cos 2? ? ”的 2 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7·已知{ an }为等比数列,若 a2 ?a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项为
·1·

5 ,则其前 5 项和为 4

A.35

B.33

C.31

D.29

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°, c ? A.a>b C.a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,则

9.已知 1>a>b>c>0,且 a,b,c 依次成等比数列,设 m=logab,n= log b c, p ? log c a ,则 m,n,P 的大小关系为 A、p>n>m B.m>p>n C.p>m>n D.m>n>p

10.已知 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ,则 (a ? b ? c)? c 的最大值是 A.1 一 3 B、-1 C.1 D.l+ 2

? ? ?

?

?

? ? ? ?

11.下列命题:①函数 f(x)=sin2x 一 cos2x 的最小正周期是 ? ; ②在等比数列〔 an }中,若 a1 ? 1, a5 ? 4 ,则 a3=士 2; ③设函数 f(x)=

x?m 2t ? 1 (m ? 1) ,若 f ( ) 有意义,则 t ? 0 x ?1 t
??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ????

④平面四边形 ABCD 中, AB ? CD ? 0, ( AB ? AD )?AC ? 0 ,则四边形 ABCD 是 菱形. 其中所有的真命题是: A,①②④ B.①④

C.③④

D.①②③

?0, 0 ? x ? 1 ? 12.已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)= ? 1 2 .则方程 f(x)一 g(x)一 1=0 实 | x ? 9 |, x ? 1 ? ?8
根的个数为 A.1 C.3 D.4 第 II 卷非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13、若 B、2

?

e

1

1 dx =1(a>1) ,则 a= x
?2, x ? 0 ( ) 则不等式 2 一 x≥(2x 一 1)f x 的解集为 ?0, x ? 0

14,已知函数 f(x)= ?

15.设等差数列{ an }满足:公差 d ? N * , an ? N * ,且{ an }中任意两项之和也是该数列中的 一项.若 al=9,则 d 的所有可能取值为
·2·

16.函数 f(x)= x ? bx ? cx ? d 在区间[一 1,2]上是减函数,则 b 一 c 的最小值为
3 2

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 设数列{ an }满的前 n 项和为 Sn,且 S n ? an ? 2 , n ? N * · (1)求数列{ an }满的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,求数列{ }的前 n 项和 Tn. log 2 an ?1 log 2 an ? 2 nbn

18. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cos B ? (1)若 A=30°,求 a; (2)求△ABC 面积的最大值.

4 ,b ? 2 . 5

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x-1)3+m. (1)若 f(1)=1,求函数 f(x)的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间[1,2〕上有解,求 m 的取值范围; (3)设 f '( x) 是函数 f(x)的导函数, f ''( x) 是函数 f '( x) 的导函数,若函数 f ''( x) 的零点 为 x0,则点(x0,f(x0) )恰好就是该函数 f(x)的对称中心.若 m=1,试求
·3·

1 2 2014 2015 f( )? f ( )+?+f ( )+f ( )的值。 1008 1008 1008 1008

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= ?

? cos 2 x ? ? 1??(sin x ? cos x) . ? sin x ? 1 ?

(l)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的值域.

21. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,公差 d>0,且 a2 a3 ? 40, , a1 ? a4 ? 13 ,公比为 q(0<q <1)的等比数列{ bn }中, b1 , b3 , b5 ? {

1 1 1 1 1 , , , , } 60 32 20 8 2

(1)求数列{ an },{ bn }的通项公式 an , bn ; (2)若数列{ cn }满足 c2 n ?1 ? an , c2 n ? bn ,求数列{ cn }的前 n 项和 Tn。

22, (本小题满分 12 分) 己知函数 f(x)=lnx-x+1. (1)求函数 f(x)的图象在点 x=2 处的切线方程; (2)设 g ( x) ?

x 2 ? 2kx ? k (k>0) ,对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0),使得 x f(x1)≤g(x2)成立,求 k 的取值范围;
n f (n ? 1) ? n bi ? 1(n ? 2, n ? N *) . ,证明: ? n3 i ?2

(3)设 bn ?

·4·

2015 年保定市高三摸底考试 数学试题答案(理科)
一.选择题:CABBD ACADD BC 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. e 14.

? ??,1?

15. 1,3,9

16.

9 2

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)[] 解:(1) n ? 1, S1 ? a1 ? 2 ,? a1 ? 1 , ……………………1 分

n ? 2, S n ? an ? S n ?1 ? an ?1 ? 0, ? 2an ? an ?1 ,……………………3 分
? a1 ? 1 ? 0,?
?1? ? ?2?

an 1 1 ? ,所以数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 的等比数列. an ?1 2 2
.…………5 分

n ?1

所以 an ? ?

? 2 ? bn ?
?

1 ?1? ?1? l o g2 ? ? ? l o g2 ? ? ?2? ?2?
n n ?1

?

1 ????????7分 n ? n ? 1?

1 ? n ? 1????????????????????8分 nbn

?Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ?
18.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 cos B ?

n(n ? 3) …………………………………………10 分 2

4 3 ,所以 sin B ? . 5 5

---------------2 分

a b 5 可得 a ? ………………5 分 ? sin A sin B 3 1 3 (2)因为 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? ---------------6 分 ac , 2 10 8 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a 2 ? c 2 ? ac . ----------------8 分 5 8 因为 a 2 ? c 2 ? 2ac ,所以 2ac ? ac ? 4 , ----------------10 分 5
因为 A ? 30 o , b ? 2 ,由正弦定理
·5·

所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 ,
3 3 2

-----------------12 分

……………………1 分

则 f ( x) ? ? x ? 1? ? 1 ? x ? 3 x ? 3 x , 而

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) 2 ? 0 恒成立,

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . …………………4 分 (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解,即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即 不 等 式 m ? 3x 2 ? 3x 在 区 间 [1, 2] 上 有 解 , 即 m 不 小 于 3x 2 ? 3x 在 区 间 [1, 2] 上 的 最 小 值. …………………………………………………………………6 分
2 2 因为 x ? [1, 2] 时, 3 x ? 3 x ? 3( x ? ) ?

1 2

3 ? ? 0, 6? , 4

所以的取值范围是 [0, ??) .…………………… 8 分 (3)由题意可得 f ? ? x ?=3(x ? 1) 2 ,所以 f ? ? x ?=6(x-1) .令 f ? ? x ?=0 可得 x ? 1 , 所以函数 f ( x)的对称中心为 (1, m) , 即如果 x1+x2=2 ,则 f ? x1 ?+f ? x2 ?=2m =2, …………………………………………10 分 所以 f (

1 2 2014 2015 2014 ? 2 )? f ( )+?+f ( )+f ( )= +1 ? 2015 .……………………12 分 1008 1008 1008 1008 2

20. (本小题满分 12 分) π 解: (1)由 sinx+1≠0 得,x≠- +2kπ (k∈Z), 2 π ∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠- +2kπ ,k∈Z}.………………3 分 2 1-sin2x (2)f(x)=( -1)(sinx-cosx)=(1-sinx-1)(sinx-cosx) 1+sinx =-sinx(sinx-cosx)=sinxcosx-sin2x ……………………6 分 1-cos2x 1 1 1 = sin2x- = (sin2x+cos2x)- 2 2 2 2 = π 2 1 sin(2x+ )- 2 4 2 {x|x≠- π +2kπ ,k∈Z}………9 分 2

π 虽然当 x=- +2kπ (k∈Z)时,f(x)=-1,但是 2
·6·

f(x)=-1 ? {x| x ? ?

?
4

? k? 或 x ? ?

?
2

? k? ,k∈Z} ? {x|x=- 2 +2kπ ,k∈Z}

π

……………………………………………………………………………………10 分 ∴函数 f(x)的值域为 ? ?

? ?

2 ? 1 2 ? 1? , ? …………………………12 分 2 2 ?

21. (本小题满分 12 分)

解: (1)因为 ?a n ? 为等差数列,所以 a1 ? a4 ? a2 ? a3 ? 13 又 a2 a3 ? 40,? a2 , a3是方程x2 -13x+40=0的两实数根. 又公差 d ? 0 ,所以 a2 ? a3 所以 a2 ? 5, a3 ? 8 所以 ?

?a1 ? d ? 5, 解得 a1 ? 2, d ? 3 ?a1 ? 2d ? 8,
……………………………………………………3 分

所以 an ? 3n ? 1,

因为公比为 q (0 ? q ? 1) 的等比数列 ?bn ? 中, b1 , b3 , b5 ? { 所以,当且仅当 b1 ?

1 1 1 1 1 , , , , } 60 32 20 8 2

1 1 1 , b3 ? , b5 ? 时成立. 2 8 32 b 1 1 2 此时公比 q ? 3 ? ,? q ? b1 4 2 1 n 所以 bn ? ( ) . …………………………………………………………6 分 2 n (2)① n 为正偶数时, ?cn ? 的前 n 项和 Tn 中, ?a n ? , ?bn ? 各有前 项,由(1)知 2
n n 1 1 n (2 ? 3 ? ? 1) [1 ? ( ) 2 ] 3n 2 ? 2n ? 8 1 n 2 2 Tn ? 2 ?2 ? ? ( )2 1 2 8 2 1? 2
② n 为正奇数时, Tn 中, ………………9 分

?a n ?, ?bn ?分别有前 n ? 1 项、 n ? 1 项.
2 2
n ?1 2

n ?1 n ?1 1 1 (2 ? 3 ? ? 1) [1 ? ( ) 2 2 Tn ? 2 ?2 1 2 1? 2
22. (本小题满分 12 分) 解: (1)? f ?( x) ?

]

?

?1 3n 2 ? 8n ? 13 1 n2 ? ( ) ………………12 分 8 2

1 1 ? 1,? f ?(2) ? ? ,……………………1 分 x 2
·7·

又切点为(2,ln2-1) ,所以切线方程为 x+2y-2ln2=0……………………3 分 (2) f ?( x) ?

1 ? 1 ? 0,? x ? 1 ,故函数 f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减。 x

于是 ? x1∈(0,+∞),f(x1) ≤f(1)=0,即f(x1)的最大值为0,……………………5 分 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得f(x1)≤g(x2)成立, 只须f(x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ?

k k ? x 2 ? 2kx ? k ? ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ?x ? x x ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得k≥1.??????????????8分 (3)由(2)知 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴ f(x)≤f(1)=0, ∴ lnx≤x-1.……………………10 分 所以当 n≥2 时,

bn ?


f (n ? 1) ? n ln(n ? 1) n 1 1 1 1 ? ? 3 ? 2 ? ? ? , 3 3 n n n ( n ? 1) n ? 1 n n n

?b ? b ? b
i ?2 i
1

n

2

1? ? 1 1? 1? ? 1 ? 1 ? ? ? bn ? b1 ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ?1 2 ? ? 3 ?1 3 ? ? n ?1 n ?

? 1?

1 ? 1 ????????????12 分 n
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·8·


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