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并联机器人机构运动与动力分析研究现状及展望


并联机器人机构运动与动力分析研究现状及展望 —— — 冯志友   李永刚     张 策等

并联机器人机构运动与动力分析研究现状及展望
冯志友1 ,2   李永刚1     1   张 策 杨廷力1 ,3
1. 天津大学 ,天津 ,300072   佳木斯大学 ,佳木斯 ,154007 2. 3. 中国石化集团金陵石化公司 ,南京 ,21

0096
摘要 :对并联机器人机构运动 、 动力分析理论的国内外研究现状进行了综述 ,对现代数学在 并联机器人机构理论研究中的应用这一发展新趋势予以展望 ,指出了并联机器人机构运动 、 动力 分析研究领域有待深入开展的研究方向。 关键词 :并联机器人 ;机构 ;运动分析 ;动力分析 中图分类号 : TH112     文章编号 :1004 — 132X (2006) 09 — 0979 — 06
Present State and Perspectives of R esearch on Kinematics and Dynamics of Parallel Manipulators Feng Zhiyou1 ,2   Yonggang1   Li Zhang Ce1  Yang Tingli1 ,3 1. Tianjin University , Tianjin , 300072   Jiamusi University , Jiamusi , Heilongjiang ,154007 2. 3.Jinling Petrochemical Corporation ,Nanjing ,210096 Abstract : With the development of parallel manipulators , the study of parallel mechanisms has become the hot - point in mechanical fields. The researches of kinematic and dynamic analysis for parallel manipula2 tors at home and abroad were summarized. The development trends about applications of modern mathematics and the direction of research in this field were pointed out . K words : parallel manipulator ; mechanism ; kinematic analysis ; dynamic analysis ey

0  引言

并联机器人机构的研究可追溯到 20 世纪 ,

1965 年 Stewart [ 1 ] 提出的 Stewart 平台由上下平台

及 6 根驱动杆构成 ,驱动杆可以独立地伸缩 ,且分 别由球铰与上下平台连接 ,这样 ,上平台就具有 6 个自由度[ 2 ] 。随着对这种并联机构研究的不断深 入 ,人们将凡是上下平台由两个或两个以上分支相 连 ,机构具有两个或两个以上自由度 ,且以并联方 式驱动的机构统称为并联机构。并联机构与串联 机构相比 ,具有刚度大、 结构稳定 、 承载能力强、 精 度高、 运动惯性小、 运动学反解易求和便于实时控 制等优点 ,具有广阔的应用前景。因此 ,并联机构 学理论已成为机构学研究领域的研究热点之一。

1  国内外研究现状综述
1. 1   并联机构运动分析 1. 1. 1   位置分析

并联机构位置分析中有两个基本问题 ,即机构

位置的正解 、 反解问题 。已知并联机构各输入关节 的位置参数 ,求解输出件上平台的位置参数称之为 机构位置的正解 ; 已知输出件上平台的位置参数 , 求解各输入关节的位置参数称之为机构位置的反 解。反解问题比较简单 ,而正解问题是并联机构运

收稿日期 :2005 — — 03 29

基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50275070)

动学的难点之一 , 且在实际应用 中具 有重 要意 义[ 3 ] 。例如 ,如何用最小的机构尺寸获得必要的工 作空间 ,如何避开机构运动的奇异位置 ,以及分析 机构末端输出误差及实际运动轨迹等问题都需要 机构位置正解。位置正解的核心是求解一组非线 性约 束方程 。目前 , 位 置正 解方 法主 要有 数 值 法[ 4~12 ] 和解析法[ 13~19 ] 。 数值法的优点是建立数学模型简单 ,没有繁琐 的数学推导 ,可求解任何并联机构 ,缺点是计算速 度较慢 ,当机构接近奇异位形时不易收敛 ,很难求 得全部位置解 ,结果与初值选取有直接关系。对数 值法的研究主要集中在两个方面 :一是如何对方程 组降维 ,以提高求解速度 ; 二是如何得到所有可能 解 。黄真[ 12 ] 早在 1985 年就巧妙地以三棱锥法将 三角平台的并联机构六维问题一次降为一维 ,有很 高的求解效率。文献 [ 5 ] 利用三维搜索法将 6 SPS 机构的 非线 性方 程 组 的 未 知 数 降 为 3 个。 Innocenti等[ 6 ] 提出用一维搜索的方法求解 6 - SPS 机构全部实数解 , 具有独创性 , 但计算量非常大。 沈辉等[ 8 ] 提出一种基于区间对分搜索法的数值迭 代方法 ,该方法的收敛性不依赖于初始条件的选 取 ,并且能够一次得到问题的所有近似解 ,但增加 了运算量 ,影响了求解速度。文献 [ 9 ] 提出了一种 求解并联机器人位置正解的逐次逼近法 ,该方法以 瞬时速度方向为每一次逼近的运动方向 ,因此能够 快速地以任意精度逼近所求的位姿 。杨廷力[ 4 ] 提
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出了基于机构拓扑结构特征的迭代法 —— — 序单开 链 ( SOC) 法 ,并应用于求解平面并联机器人机构位 置正解 ,该方法可使方程组的维数降至最少 ,且恰 等于机构耦合度 。该方法具有推广到空间并联机 构应用的价值 。文献 [ 7 ] 用零单开链 ( SOCC) 法对 并联机器人机构进行了位置分析 , 即将正单开链 ( SOC + ) 通过增设虚拟输入变成零单开链 ,这一思 想和序单开链法是一致的 ;通过增设虚拟运动副将 负单开链 ( SOC - ) 转化为零单开链。数值法中的同 伦连续法无需将位置正解的非线性方程组消元至 一元代数方程 ,也不需选取初值就可求得所有可能 解 ,缺点是求解速度很低 。文献 [ 10 ] 用连续法求出 了上下平台均不为平面的最一般 6 - SPS 机构全部 40 组位置正解。 解析法主要是通过消元法消去机构方程中的 未知数 ,从而使得机构的输入输出方程为仅含有一 个未知数的高次方程。其特点是可求出位置正解 的所有可能解 ,可以避开奇异问题 ,不需初值 ,但数 学推导极为复杂 ,当所求解的一元代数方程的次数 不大于 4 时 ,求解速度较快 ,反之 ,求解速度较低 。 目前 ,一般形式的 6 - SPS 并联机构的解析位置正 解问题还没有解决。梁崇高等[ 14 ] 提出了三角平台 型并联机构的位置封闭解 。文福安等[ 16 ] 得到了一 般 6 - 6 型平台机构的位置正解 ,标志着平台型机 构位置正解得到解决 。文献 [ 15 ] 应用 Dixon 法对 一种 5 - 5 型台体并联机构进行了位置分析 ,得到 了其一元四十次方程 , 求得全部位置正解。近年 来 ,少自由度并联机器人机构成为新研究热点 ,在 其机构位置正解分析中解析法被广泛采用[ 18 ,19 ] 。 文献 [20 ] 将数字 — 符号法引入并联机构的位 置正解中 ,由于结构参数以数字量形式出现在方程 推导中 ,降低了推导方程的复杂性。为了克服非线 性方程组解法的复杂性 ,文献 [ 21 ,22 ] 探索了应用 神经网络求位置正解问题 。神经网络通过利用逆 解结果训练学习 ,实现从关节变量空间到机器人工 作空间的复杂非线性映射关系 ,避免了求解位置正 解时公式推导和编程计算等繁杂的过程 ,其求解计 算简单 ,可达到更高的求解速度 ,但其多解性、 奇异 性等问题还没有解决 ,有待进一步研究 。文献 [ 23 , 24 ]采用冗余传感器直接获得几个位置和姿态参 数 ,减少未知数的个数来解决并联机构的位置正解 问题。 1. 1. 2   速度 、 加速度分析 空间机构速度 、 加速度分析常用方法有矢量 法、 张量法 、 旋量法和网络分析法等 。在并联机器 人机构速度 、 加速度分析中 ,模型化的技术和分析
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还未有效建立起来 。在理论上 ,一般是对位置运动 方程进行求导从而得到速度 、 加速度方程 ,但由于 位置运动方程本身就很复杂 ,要想求其一阶 、 二阶 微分方程有时很难实现 。目前 ,并联机器人机构运 动分析中应用较为有效的方法是运动影响系数 法[ 11 ,12 ,24~30 ] 。并联机器人机构速度、 加速度都可 由一阶 、 二阶运动影响系数显式表达 ,而运动影响 系数与机构的速度 、 加速度等运动参数无关 ,只与 机构的运动学尺寸、 机构的类型及机构的位置有 关 ,即与机构的位形有关 ,计算比较简单。根据并 联机器人机构结构特征求影响系数一般不需要求 导 。常用的求影响系数方法有[ 3 ] : ① 求导法 ; ② 支 [ 25 ] 链逆解法 ; ③ 环路方程法 ; ④ 虚设机构法。黄真 [ 26 ] 首先发展了 Tesar 等 的影响系数原理 ,首次建立 了 6 - 6R 机构的一阶、 二阶影响系数矩阵 ,进行了 速度 、 加速度分析。此后 ,又成功地将影响系数法 用于具有冗余自由度的并联机构[ 27 ] 、 含螺旋副机 [3 ] [ 28 ,30 ] 构 及少自由度并联机构 的速度 、 加速度分析 中 ,形成至今有生命力的影响系数系统理论。文献 [7 ]将零单开链拆为串开链后 ,采用运动影响系数 法对并联机器人机构的速度、 加速度进行分析 。文 献 [31 ]采用有限元法进行并联机构运动分析 ,机构 各坐标点的速度及加速度由一阶和二阶传递函数 确定 ,不仅可分析刚性机构 , 还可分析柔性机构。 文献 [ 32 ] 提出了求机构速度 、 加速度的网络分析 法 ,将空间闭合运动链的拓扑约束抽象为两类网 络 :线速度网络和角速度网络。 1. 2   动力分析 机构动力学主要内容可分为两方面 : ① 逆动力 学 (动态静力分析) ; ② 正动力学 ( 动力学响应) 。由 于并联机器人机构由多个关节和多个连杆组成 ,具 有多个输入和输出 ,通常是一个多自由度 、 高度非 线性 、 多参数耦合的复杂系统。目前 ,并联机器人 机构的研究内容大都涉及结构学和运动学的各方 面 ,对动力学研究相对较少 ,有限的研究也只着重 于动力学模型的建立方法和动态静力分析方法 ,而 动力学响应方面鲜见文献发表。 1. 2. 1   动力学模型的建立 机构动力学模型的建立是并联机器人机构研 究的一个重要方面 ,是并联机器人机构进行动力学 模拟 、 动态分析、 动力学优化设计及控制的基础。 机构动力学模型主要有两种形式 :一类是不含运动 副约束反力的纯微分型动力学方程 ,其维数等于机 构的自由度数目 ;另一类是含运动副约束反力的代 数与微分混合型方程 ,其维数大于机构的自由度数 目 。建立动力学模型的常用力学方法有牛顿 - 欧

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构的动力学方程 ,省去了机构真实运动分析过程 。 基于同样的方法 ,文献 [ 40 ] 对一种 3 - DOF 并联机 构建立了动力学方程 ,得出了机构驱动力显式解 。 Lagrange 法是以系统的动能和势能为基础建立动 力学方程的 ,免去了机构真实运动分析部分 ,其推 导过程比较简便 ,且总能得到形式较为简洁的动力 学方程。Lagrange 法能用于系统动力学分析 ,又能 用于动力学控制 ,且能清楚地表示出各构件的耦合 特性 ,其缺点是不能直接求出运动副的约束反力 。 文献 [7 ]基于零单开链单元 ,用运动影响系数法求 得构件等效力 ,应用达朗伯原理给出了建立并联机 器人机构动力学方程的方法 ,实际上是拉格朗日法 的变形。文献 [4 ,41 ~ 43 ] 用虚功原理法建立了并 联机构动力学模型 。Wang 等[ 41 ] 提出了连杆雅可 比矩阵的概念 。利用虚功原理法既可建立不含运

拉 ( Newton - Euler ) 法[ 4 ,12 ,33~38 ] 、 格 朗 日 ( La2 拉 [ 30 ,39 ,40 ] [ 4 ,41~43 ] grange) 法 、 虚功原理法 、 凯恩 ( Kane) 法、 旋量法和 R - W 法等。Fichter [ 33 ] 根据动平台 的力及力矩平衡方程推导出 Stewart 平台的动力学 方程 ,但忽略了连杆及铰链的质量 ,把各驱动杆当 作理 想 的 二 力 杆 来 处 理 。Dasgupta[ 34 ] 给 出 了 Stewart 平台机构的动力学模型的牛顿 - 欧拉方 法 ,但动力学模型假定动力平台端的铰链是球面 副 ,对于用回转轴共点的 3 个回转副构成的等效球 面副无能为力 。孔令富等[ 35 ] 采用牛顿 - 欧拉方法 分别建立了 6 - U PS 和 6 - PUS 机构的动力学方 程 ,考虑了所有构件的重力和惯性力 ,并给出了机 构的逆动力学分析 。文献 [ 36 ,37 ] 探讨了少自由度 3 TPS - TP 、 - RSR机构动力学问题 ,根据支链结 3 构特征建立了动平台的运动约束方程。牛顿 - 欧 拉方法建立动力学模型的特点是 :虽然推导过程复 杂 ,但概念清晰 ; 模型中冗余信息少 ,计算速度快 , 且很容易求解各运动副约束反力 。文献 [ 30 ] 通过 机构的一阶 、 二阶运动影响系数来表达系统的动 能 ,用 Lagrange 法建立了 6 - DOF 并联机器人机 对偶四元素法、 × 螺旋矩阵法 、 × 螺旋矩阵 3 3 4 4 法、 示力副法、 网络分析法和影响系数法。前 3 种 方法对 N 杆空间机构都需要联立求解 6 ( N - 1) 个 方程 ;4 × 螺旋矩阵法、 4 示力副法可以单独求解某 一运动副的约束反力 ,但 4 × 螺旋矩阵法只适用 4 于单环空间机构 ; 影响系数法[ 44 ] 在空间多环机构

的受力分析中 ,每次联立求解的方程数都不超过 6 个 ,但仅限于系统含一个主刚体情形。网络分析 法[ 45 ] 将受力自由体抽象为静力网络和静力矩网 络 ,规模化程度及求解规模较高 。 1. 3   结构学 、 运动学和动力学模型的统一性 在并联机器人机构运动及动力分析的诸多方 法中 ,大多数在建立数学模型时互无联系 ,不能体 现结构学、 运动学和动力学模型的统一性 。目前 , 能较好地体现结构学 、 运动学和动力学模型的统一 性的方法有影响系数法、 网络分析法及序单开链 法 。影响系数法规模化程度较高 ,用其进行运动分 析高效 、 实用 ,但进行力分析时求解规模较小 ,仅限 于系统含一个主刚体情形 ,对非对称结构还需增加 虚拟刚体和虚拟铰 ;网络分析法规模化程度及求解 规模均较高 ,但涉及较深的图论等数学知识 ; 序单 开链法能充分体现结构学 、 运动学和动力学模型的 统一性 , 位置 、 速度 、 加速度和动力分析均采用同 一结构分解线路 , 并始终贯穿耦合度 K 算法原理 , 但目前仅应用于平面并联机构分析 ,具有拓展应用 到空间并联机构的价值 。

2  并 联 机 器 人 机 构 运 动 、 力 分 析 研 动

究展望
2. 1   现代数学工具的应用

近年来 ,随着现代数学理论的不断发展 ,一些 现代数学工具 ,如李群、 李代数、 微分流形和黎曼流 形等开始应用于并联机器人机构理论研究之中。 目前 ,这方面的大部分研究都是针对开链机构的 , 如何将其引入并联机构有待进一步研究 。 2. 1. 1   并联机构的结构学和运动学 根据位移群理论 , Herve 等[ 46 ] 利用位移群的运 算原则 ,对三自由度的并联机构的型综合进行了研 究 。与少自由度并联机构型综合约束螺旋法相比 , 这种方法的优点是不用对综合出的新机构进行瞬 时性判别 ,但由于必须保持群的结构 ,使得其应用 受到一定的限制。为此 ,文献 [ 47 ] 在此基础上给出 了一种改进方法 —— — 位移流形综合法 ,并对五自由 度并联机构构型综合进行了系统研究 ,得出了对称 的五自由度并联机构 。 在运动学方面 ,Brockett [ 48 ] 首先建立了机器人 运动学的指数积公式 ,以指数坐标来表示机器人的 运动 ,建立了现代微分几何在机器人学中应用的基 础 。Here[ 49 ] 用数学理论证明 ,刚体在空间的六维 运动或位移集合是一个李群 { D} , 刚体的任何运动 集合都是这个李群的李子群{ D} 或包括在李群{ D} 中的一个光滑流形 ,并联机构的输出位移空间就是
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动副的约束力的纯微分型系统的动力学方程 ,又可 建立含运动副约束反力的代数与微分混合型系统 动力学方程 。 1. 2. 2   机构动态静力分析 空间机构受力分析研究的方法有矢量代数法 、

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所有分支运动链生成的位移子群或位移流形的交 集 ,这为运用李群和李代数理论来研究并联机器人 提供了理论依据。Paden 等[ 50 ,51 ] 针对描述机器人 运动学的指数积方程 ( POE) 进行了许多卓有成效 的研究 ,揭示了它与刚体运动的经典螺旋理论之间 的关系 ,构建了机器人研究的现代数学几何框架 。 文献 [44~47 ]研究表明 ,用指数积来表示机器人的 运动有以下几个优点 : ① 表达形式紧致 ; ② 有很好 的代数结构 ,容易对时间求微分 ; ③ 只使用两个坐 标系 ,即基础坐标系和工具坐标系 ,并与运动螺旋 的几何特性直观结合 ; ④ 与李群和李代数的联系紧 密 ,便于应用现代数学进行研究。不难看出 ,这些 研究大都集中于现代数学在机器人研究中应用的 基础方面 ,并且相当一部分有成效的研究还只是针 对串联机器人[ 52 ] 。如何运用李群和李代数等现代 数学工具来解决并联机器人现有的问题 ,还需进行 更为广泛深入的研究。 2. 1. 2   在动力学建模及控制中的应用 运用现代数学进行串联机器人动力特性的研 究较多[ 52~56 ] ,并且已取得很多非常有用的成果 ,但 利用现代数学来进行并联机器人动力学特性的研 究相对较少 。文献 [57 ]基于微分几何的理论 ,分析 了用于推导并联机器人动力学方程的几种方法 ,即 Newton - Euler 、 Direct Lagrange 、 Lagrange D’ Alembert 等 ,并用数学方法证明了这几种方法的 等效性。通过选择不同的关节变量子集作为独立 的广义坐标 ,动力学方程即使在参数化奇异处也有 很好的定义 ,即关节空间存在映射从而使位形空间 参数化 ,但位于位形奇异时 ,动力学方程就不成立 了 ,这有助于了解机器人在奇异处的动力学特性 。
Spong[ 58 ] 使用 Hamilton 原理和黎曼几何等工具揭

形式并联机器人机构位置正解的解析解研究 , 从 而进一步完善并联机器人机构位置正解理论 , 通 过对并联机器人机构结构类型研究或求解方法的 改进 ,从而加快位置正解的求解速度 ,以便于并联 机器人的实时误差分析与控制 。 ( 2 ) 运动学 、 动力学模型的研究   利用现代数 学 ( 主要是李群 、 李代数和微分流形) ,系统研究并 联机器人机构运动学 、 动力学建模理论 ,对模型的 简约性 、 统一性进行深入研究 ,建立维数或阶数最 低的并联机器人机构简化运动学 、 动力学模型 ,以 提高求解速度 ,并能充分体现结构学 、 运动学和动 力学模型的统一性 。 ( 3 ) 更广泛深入的动力分析研究   并联机器 人机构动力分析还属起步阶段 , 与传统机构动力 分析相比 ,研究的深度和广度还相差甚远 ,大量的 研究有待开展 。如在动力学模型建立方面 , 要研 究建立与所有构件及关节的质量 、 转动惯量 、 惯性 ( 矩) 、 力 连接方式 、 摩擦 、 阻尼和结构尺寸等诸多 因素有关的精细模型 , 使其分析计算结果精度更 高、 更接近真值 ; 在对精细模型定量分析研究的基 础上 ,要考虑建立满足精度及控制要求的简化模 型 ,追求最快求解速度 ; 开展并联机器人机构动力 学响应的研究以指导动力学控制 ; 研究并联机器 人机构振动 、 [ 59 ] 等问题以保证系统良好的动 平衡 态性能 ; 研究考虑构件的弹性 [ 60 ] 、 运动副间隙 、 制 造及安装误差等因素影响的并联机器人机构高等 动力学分析问题 。总之 , 该方面的研究前景十分 广阔 ,其难度也是不言而喻的 。 ( 4 ) 少自由度并联机器人机构的研究   由于 少自由度并联机器人具有结构简单 、 造价低廉等 特点 ,有着广阔的应用前景 。串联机器人机构在 自由度减少后 ,不仅其运动 、 动力分析方法可以不 变 ,而且分析变得更简单 。 并联机构则不然 ,某些 时候的运动 、 动力分析反而变得更复杂 ,如少自由 度并联机构奇异性分析[ 61~63 ] 有时比多自由度并 联机构的奇异性分析更复杂 , 因此 , 在一定时期 内 ,少自由度并联机器人仍会是研究的热点领域 。
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示了机器人动力学的几个特性 ,研究得出机器人动 力学简化模型存在的条件 ,对于指导机器人控制和 机器人设计大有用处 。Liu 等[ 56 ] 基于李群和李代 数的基本理论 ,利用 Newton - Euler 和 Lagrange 形 式给出了一种通用的坐标不变的刚体动力学建模 数学框架 ,表明机器人动力学建模与控制可以采用 统一的几何框架 。虽然该研究是以串联机器人为 例的 ,但对于并联机器人的动力学建模和控制也有 指导意义。虽然目前利用现代数学进行并联机器 人研究的人还不是很多 ,但现代数学工具突出的优 点 ,必将使更多的人意思到它在并联机器人动力学 研究方面的重要性 。 2. 2  并联机器人机构运动和动力分析研究发 展方向 ( 1) 位置正解问题的深入研究   通过对一般
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制 . 北京 : 机械工业出版社 , 1997

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作者简介 : 冯志友 , 男 ,1964 年生 。天津大学机械工程学院博士 研究生 ,佳木斯大学机械工程学院教授 。主要研究方向为机构学 及机械动力学 。发表论文 26 篇 。李永刚 , 男 ,1975 年生 。天津 大学机械工程学院博士研究生 。张   , 男 ,1942 年生 。天津大 策 中国石化集团金陵石化公司高级工程师 ,天津大学机械工程学院 兼职教授 、 博士研究生导师 。

学机械工程学院教授 、 博士研究生导师 。杨廷力 , 男 ,1940 年生 。

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