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文数试题


成都七中高 2014 届高三二诊数学模拟考试(文科)
考试时间:120 分钟 命题人:陈中根 总分:150 分 审题人:郭虹

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知复数 z ? A. 1 ? i

2i ,则 z 的共轭复数 z 是() 1? i B. 1 ? i C. i
N

D. ? i

2.设全集是实数集 R, M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 (CR M ) ? N ? () A. {x| x ? ?2} B. {x|?2 ? x ? 1} C. {x| x ? 1} D. {x|?2 ? x ? 1}

3.正项等比数列 ?a n ?中,若 log 2 (a2 a98 ) ? 4 ,则 a40 a60 等于() A.-16 B. 10 C. 16 D.256

4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是 () A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? e x B. f ( x) ?

1 x

D. f ( x) ? sin x

5.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 ?ABF2 是 正三角形,则这个椭圆的离心率是() A.

2 2

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 2

? x ? 1, y ?1 ? 6. 实数 x 、 y 满足 ? y ? 0, 则z = 的取值范围是() x ? x ? y ? 0, ?
A. [-1,0] B. ( -∞,0] C. [-1,+∞ ) D. [-1,1 )

7.已知 m, n 是不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m ? ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ; ②若 m ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? ;

第 1 页 共 8 页

③若 ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 m ∥ ? 且 m ∥ ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? 其中真命题的个数是 A.0 B.1 () C.2 D.3 ()
3 2

8.设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是 .... A. (a ? b)( ? ) ? 4 C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
2 2

1 a

1 b

B. a ? b ? 2ab
3

D. | a ? b | ?

a? b

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) 为奇函数,函数 f ( x ? 3) 关于直线 x ? 1 对称,则 函数 f ( x) 的周期为() A.4 B.8 C. 12 D.16

10.在平面直角坐标系中,已知三点 A(m, n), B(n, t ), C (t , m) ,直线 AC 的斜率与倾斜角为钝角的直

5 2 ,而直线 AB 恰好经过抛物线 x ? 2 p( y ? q), ( p ? 0 )的焦点 F 并且与抛 3 PF ? () 物线交于 P、Q 两点(P 在 Y 轴左侧) 。则 QF
线 AB 的斜率之和为 A.9 B. 4 C.

173 2

D.

21 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11、把命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 ”的否定写在横线上 12、 12、一个空间几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、 俯视图均为等腰直角三角形,且直角边长都为 1,则这个几 何体的体积是
2

正视图

侧视图

?4 x ? 4 , 13. 设函数 f ( x) ? ? 2 ?x ? 4x ? 3 ,

x ? 1, x ? 1,

俯视图 则函数 g ( x) ? f ( x) ? log 4 x 的零点个数为 个

14. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于

第 2 页 共 8 页

15、O 是面 ? 上一定点, A、B、C 是面 ? 上 ?ABC 的三个顶点,?B, ?C 分别是边 AC, AB 对应 的角。以下命题正确的序号是 ①动点 P 满足 OP ? OA ? PB ? PC ,则 ?ABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中。 ②动点 P 满足 OP ? OA ?

?(

AB AB

?

AC AC

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中。

③动点 P 满足 OP ? OA ? 点集合中。 ④动点 P 满足 OP ? OA ? P 点集合中。

?(

AB AB sin B AB

?

AC AC sin C AC

则 ?A )(? ? 0) , B C 的重心一定在满足条件的 P

?(

AB cos B

?

AC cosC

)(? ? 0) ,则 ?ABC 的垂心一定在满足条件的

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。
w.w.w.k.s. 5.u.c. o.m

17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x) ( ? 为常数且 ? ? 0 ) , 函数 f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

[0, ] 上为增函数,求 ? 取最大值时的 g(x)单调增区间. 4

?

? 个单位,可得函数 y ? g ( x) 的图象,若 y ? g ( x) 在 6?

第 3 页 共 8 页

18、如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 . (Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

C
6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

C1 B1 A1

B A

19、从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1).根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2).用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有 几个? (3).在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

20、 (本题满分 13 分)已知椭圆 C:

2 x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的短轴长为 2,离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程 (2)若过点 M(2,0)的引斜率为 k 的直线与椭圆 C 相交于两点 G、H,设 P 为椭圆 C 上一点,且满 足 OG ? OH ? t OP (O 为坐标原点) ,当 PG ? PH ?

2 5 时,求实数 t 的取值范围? 3

21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值. (注:可能会用到的导数公式: (e ) ? ?e
?x / ?x

; ( xe ) ? ( x ? 1)e )
x / x

第 4 页 共 8 页

成都七中高 2014 届高三二诊数学模拟考试答案(文科)
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. A A C D C D B B B A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. ?x ? R, x 2 ? 2x ? 1 ? 0 12、

1 6

13.3

14.8

15.②③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2 ,所以 an ? 2 ??????(5 分)
3

n

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n ???(12 分) 2

17.解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ?

?

6

) ? a ? 1 ???????(3 分)

因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 ???????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(? x ? 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
6

)

?
6

) 的图象向右平移

? 个单位, 6?

可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x ???????(7 分)

? 2? y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数? g ( x) 的周期 T ? ? ? 即? ? 2 4 ? 所以 ? 的最大值为 2 ???????(10 分)
又 此时单调增区间为 [ k? ?

?

4

, k? ?

?

4

], k ? Z ???????(12 分)

18、解:(I)取 AB 的中点 O ,连接 OC O 、 OA 、A 1O 1B , 因为 CA=CB,所以 OC ? AB ,由于 AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 ,故 ?AA1B 为等边三角形,

第 5 页 共 8 页

所以 OA 1 ? AB , 因为 OC ? OA 1 ? O, 所以 AB ? 平面 OA1C .又 A1C ? 面OA 1C ,故 AB ? AC. ????(6 分) (II)由题设知

?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形,

AA1 B都是边长为2的等边三角形,所以
2 OC ? OA1 ? 3, 又AC ? 6,则AC ? OA12,故OA1 ? OC. 1 1

因为OC

AB ? O, 所以OA1 ? 平面ABC,OA1为棱柱ABC-A1B1C1的高,
ABC

又?ABC的面积S

? 3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V =S

ABC

? OA1 ? 3. ??(12 分)

19、解:(1)重量在 ?90,95? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; ????(3 分) 50

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,则重量在 ?80,85? 的 个数 ?

5 ? 4 ? 1 ; ????(6 分) 5 ? 15

(3)设在 ?80,85? 中抽取的一个苹果为 x ,在 ?95,100? 中抽取的三个苹果分别为 a, b, c ,从抽出的 4 个苹果中,任取 2 个共有 ( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c),(b, c) 6 种情况,其中符合“重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c) 种;设“抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重 量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”为事件 A ,则事件 A 的概率 P ( A) ?

3 1 ? ;???? (12 分) 6 2

x2 ? y 2 ? 1 ?????????(3 分) 20、解: (1) 2 1 (2)设直线 y ? k ( x ? 2) ,联立椭圆, ? ? 0, 得 k 2 ? ,?????????(5 分) 2 2 5 2 5 1 条件 PG ? PH ? 转换一下一下就是 GH ? ,根据弦长公式,得到 k 2 ? 。??(7 分) 3 3 4 然后把 OG ? OH ? t OP 把 P 点的横纵坐标用 t , x1 , x2 表示出来,设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,其中要把

y1 , y2 分别用直线代换, 最后还要根据根系关系把 x1 , x2 消成 k , 得 P(
然后代入椭圆,得到关系式 t ?
2

8k 2 ? 4k , )(9 分) 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k 2 )

16k 2 ,?????????(11 分) 1 ? 2k 2
第 6 页 共 8 页

1 1 2 6 2 6 16 2 )?( ,2) ???(13 分) ,根据 ? k ? 利用已经解的范围得到 (?2,? 1 4 2 3 3 ?2 k2 a a 21.解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ? x ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . e e
所以 t 2 ? 又曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴, 得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ?

?

?

a ? 0 ,解得 a ? e . e

a , ex

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ?? ? 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值. ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a .

x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值; 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ?

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断 , 由零点存在定理 , 可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解 , 与“方程

g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 .
又 k ? 1 时, g ? x ? ?

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. ex

所以 k 的最大值为 1 . 解法二:
第 7 页 共 8 页

(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 . ex

直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex

? k ? 1? x ?

1 ex

(*)

在 R 上没有实数解.

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 ? xe x . k ?1
①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 令 g ? x ? ? xe ,则有 g ? ? x ? ? ?1 ? x ? e .
x x

令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况 如下表:

x
g? ? x?
g ? x?
当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ?

? ??, ?1?
?

?1

? ?1, ?? ?
?

0
? 1 e

1 ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , e

从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? , ?? ? .

? 1 ? e

? ?

所以当

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解, 解得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1? . k ?1 ? e?

综上,得 k 的最大值为 1 .

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