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【高考领航】2015北师大数学(理)总复习 第2章-第1课时 函数及其表示Word版含解析]


【A 级】

基础训练 )

1.(2013· 高考江西卷)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1]

?x≥0 解析:由? ,解得 0≤x<1,故选 B. ?1-x>0 答案:B 2.(2013· 高考全国大纲卷)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),

则函数 f(2x+1)的定 义域为( A.(-1,1) C.(-1,0) ) 1? ? B.?-1,-2? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ?

解析:已知函数 f(x)的定义域为[a,b],求函数 f(g(x))的定义域,是求满足不等式 a≤g(x)≤b 的 x 的取值集合. 要使函数有意义,需满足-1<2x+1<0, 1 解得-1<x<-2, 1? ? 即所求函数的定义域为?-1,-2?. ? ? 答案:B
2 ?x +bx+c x≤0, 3.(2014· 吉林模拟)设函数 f(x)=? 若 f(-2)=f(0),f(-1)= x>0, ?2

-3,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4

)

2 ??-2? -2b+c=c, 解析:由已知得? 2 ??-1? -b+c=-3,

2 ?b=2, ?x +2x-2,x≤0, ? ? 解得 ∴f(x)= x>0, ?c=-2, ?2,

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x,得 x=-2 或 x=1,又 x≤0,故 x=1 舍去, 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, 所以方程 f(x)=x 有两个解. 答案:B ?2 ? 4.已知 f? x+1?=lg x,则 f(21)=________. ? ? 2 2 解析:令 x+1=t(t>1),则 x= , t -1 ∴f(t)=lg 2 2 ,f(x)=lg (x>1),∴f(21)=-1. t-1 x-1

答案:-1

?3x -4?x>0?, 5.(2014· 西宁模拟)若函数 f(x)=?π?x=0?, ?0?x<0?,
解析:∵f(0)=π,f(π)=3π2-4 ∴f(f(0))=f(π)=3π2-4. 答案:3π2-4

2

则 f(f(0))=________.

6.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________. 解析:∵f(x)是一次函数, ∴设 f(x)=ax+b(a≠0), 又∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 即 ax+5a+b=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7. 答案:2x+7 7.已知函数 y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的 解析式.

解:根据图像,设左侧的射线对应的解析式为 y=kx+b(x≤1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上, ?k+b=1, ?k=-1, ∴? 解得? ?b=2, ?b=2. ∴左侧射线对应函数的解析式为 y=-x+2(x≤1); 同理,x≥3 时,函数的解析式为 y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0), ∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,a=-1, ∴1≤x≤3 时,函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3), -x+2,x<1 ? ?-x2+4x-2,1≤x≤3 综上,函数的解析式为 y=? ? ?x-2,x>3

.

?x-1,x>0 8.(2014· 深圳模拟)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? . ?2-x,x<0 (1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x)2-1=x2-4x+3;
2 ?x -2x,x>0, ∴f(g(x))=? 2 ?x -4x+3,x<0,

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0,

故 g(f(x))=f(x)-1=x2-2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x2,
2 ?x -2,x>1或x<-1, ∴g(f(x))=? 2 ?3-x ,-1<x<1.

【B 级】

能力提升

1.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函 数 y=f(x)的图像可能是( )

解析:(筛选法)根据函数的定义,观察得出选项 B. 答案:B 2.(2014· 衡水模拟)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都 有 f(x1)≤f(x2), 则称函数 f(x)在 D 上为非减函数. 设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数, ?x? 1 ?1? ?1? 且满足以下三个条件: ①f(0)=0; ②f?3?=2f(x); ③f(1-x)=1-f(x), 则 f?3?+f?8? ? ? ? ? ? ? 等于( 3 A.4 C.1 解析:∵f(0)=0,f(1-x)=1-f(x), ?1? 1 ∴f(1)=1,又 f?3?=2f(1), ? ? ?1? 1 ∴f?3?=2, ? ? 又∵f(1-x)+f(x)=1, ?1? ?1? ?1? 1 ∴f?2?+f?2?=1,∴f?2?=2, ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? f?9?≤f?8?≤f?6?, ? ? ? ? ? ? ) 1 B.2 2 D.3

?1? 1 ?1? 1 f?9?=2f?3?=4, ? ? ? ? ?1? 1 ?1? 1 f?6?=2f?2?=4. ? ? ? ? 1 ?1? 1 ?1? 1 ∴4≤f?8?≤4,∴f?8?=4. ? ? ? ? ?1? ?1? 1 1 3 ∴f?3?+f?8?=2+4=4. ? ? ? ? 答案:A ?-x-1?-1≤x<0? 3.(2014· 武汉模拟)已知函数 f(x)=? ,则 f(x)-f(-x)>-1 的 ?-x+1?0<x≤1? 解集为( ) 1? ? B.?-1,-2?∪(0,1] ? ? 1? ? D.?-1,-2?∪(0,1) ? ?

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析:①当-1≤x<0 时,0<-x≤1,此时 f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x +1, ∴f(x)-f(-x)>-1 化为-2x-2>-1, 1 1 得 x<-2,则-1≤x<-2. ②当 0<x≤1 时,-1≤-x<0, 此时,f(x)=-x+1, f(-x)=-(-x)-1=x-1, ∴f(x)-f(-x)>-1 化为-x+1-(x-1)>-1, 3 解得 x<2,则 0<x≤1. 1? ? 故所求不等式的解集为?-1,-2?∪(0,1]. ? ? 答案:B 4.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出: x f(x) 1 1 2 3 3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则 f(g(1))的值为________;满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 的值是________. 解析:f(g(1))=f(3)=1. x f(g(x)) g(f(x)) 故 f(g(x))>g(f(x))的解为 x=2. 答案:1 2 1 1 3 2 3 1 3 1 3

?ax+y?xy>0? 5. 对于实数 x, y, 定义运算 x*y=? , 已知 1]2)的序号为________. (填 ?x+by?xy<0? 写所有正确结果的序号) ① 2* 2 ②- 2* 2 ④3 2*(-2 2)

③-3 2*2 2

?2x+y?xy>0? 解析:∵1]∴x*y=? ?x+3y?xy<0? ∴① 2* 2=2 2+ 2=3 2 ②- 2* 2=- 2+3 2=2 2 ③-3 2*2 2=-3 2+3×2 2=3 2 ④3 2*(-2 2)=3 2+3×(-2 2)=-3 2. 答案:①③ 6.已知:对于给定的 q∈N+及映射 f:A→B,B?N+.集合 C?A.(1)若 C 中所有 元素对应的像之和大于或等于 q,则称 C 为集合 A 的好子集. 对于 q=2,A={a,b,c},映射 f:x→1,x∈A,那么集合 A 的所有好子集的个 数为________; (2)对于给定的 q,A={1,2,3,4,5,6,π},映射 f:A→B 的对应关系如下表: x f(x) 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 y π z

若当且仅当 C 中含有 π 和至少 A 中 2 个整数或者 C 中至少含有 A 中 5 个整数时, C 为集合 A 的好子集.写出所有满足条件的数组(q,y,z):________.

解析:(1)依题意得集合 C 中的所有元素的像都是 1,且要求 C 中的所有元素的 像之和不小于 2,因此集合 C 中的元素个数可以是 2 或 3,满足题意的集合 C 的
3 个数是 C2 3+C3=4.(2)依题意知当 C 中恰好含有 A 中 5 个整数时,C 为集合 A 的

好子集,因此 q≤5;当 C 中仅含有 A 中 4 个整数时,C 不是集合 A 的好子集, 因此 q>4.又 q∈N+,于是 q=5.当 C 中恰好含有 π 和 A 中 2 个整数时,C 为集合 A 的好子集,因此 z+y+1≥5,z+2≥5;当 C 中恰好含有 π 和 A 中 1 个整数时, C 不是集合 A 的好子集,因此 5>1+z,5>y+z,3≤z<4,又 z∈N+,故 z=3,y≥1 且 y<2,又 y∈N+,于是 y=1,所有满足条件的数组(q,y,z)=(5,1,3). 答案:(1)4 (2)(5,1,3)

7.(创新题)某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示曲 线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一 天中第一次服药的时间为 7∶00,问之后的 10 小时中应怎样安排服药时间? 1? ? 0≤t≤2? ? ?12t ? ? ? 解:(1)由题意知 y=? 4 32 1 ? ?2<t≤8? ?-5t+ 5 ? ? ? ?

.

?1 ? (2)设第二次服药是在第一次服药后 t1?2<t1<8?小时, ? ? 4 32 则-5t1+ 5 =4,解得 t1=3(小时).因而第二次服药应在 10:00.设第三次服药 在第一次服药后 t2(3<t2<8)小时,则此时血液中含药量应为两次服药后的含药量 的和. 4 32 4 32 -5t2+ 5 -5(t2-3)+ 5 =4,

解得 t2=7(小时),即第三次服药应在 14:00. 设第四次服药应在第一次服药后 t3 小时(t3>8), 则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次的和. 32? 4 32 ? 4 -5(t3-3)+ 5 +?-5?t3-7?+ 5 ?=4, ? ? 解得 t3=10.5(小时)>10 小时故舍去.


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