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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(四川卷)解析试题(1)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数
参考公式: 如果事件互斥,那么
P( A + B) = P( A) + P( B)

学(供文科考生使用)
球的表面积公式
S = 4p R 2

如果事件相互独立,那么 P( A ?B) P( A)?P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的

概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn pk (1- p)n- k (k = 0,1,2,…, n)

其中 R 表示球的半径 球的体积公式

V=

4 3 pR 3 其中 R 表示球的半径

第一部分

(选择题 共 60 分)

注意事项: 1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、设集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,则 A ? B ? ( A、 {b} B、 {b, c, d} C、 {a, c, d} ) D、 {a, b, c, d}

[答案]D [解析]集合 A 中包含 a,b 两个元素,集合 B 中包含 b,c,d 三个元素,共有 a,b,c,d 四个元素, 所以 A ? B ? {a、b、c、d } [点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不 大,重点是掌握好课本的基础知识. 2、 (1 ? x)7 的展开式中 x 的系数是(
2

) C、35 D、42

A、21 [答案]A

B、28

k 2 [解析]二项式 (1 ? x) 展开式的通项公式为 Tk ?1 = C7 x k ,令 k=2,则 T3 ? C7、 2 x
7
2 ? x 2的系数为C7 ? 21

[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开 式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 3、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、 丁四个社区做分层抽样调查。 假设四个社区驾驶员的总人数为 N , 其中甲社区有驾驶员 96 人。 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的 总人数 N 为( ) A、101 B、808 C、1212 D、2012 [答案]B

-1-

[解析]N= 96 ? 21 ?

96 96 96 ? 25 ? ? 43 ? ? 808 12 12 12


[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体. 4、函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(

[答案]C [解析]采用特殊值验证法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0) ,只有 C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. 5、 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 , 延长 BA 至 E , AE ? 1 , 使 连接 EC 、ED 则 sin ?CED ? ( ) D C A、

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15
E
2 2

[答案]B

A

B

[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为? ED ? 1
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD
2 2 2

2 ED ? EC

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?
2 2

10 10

[点评]注意恒等式 sin α +cos α =1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负情况. 6、下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 [答案]C [解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可 能相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平 面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;故选 项 C 正确.

-2-

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基 础知识的定义、定理及公式.

? ? ? ? a b 7、设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的充分条件是( |a| |b|
A、 | a |?| b | 且 a // b [答案]D



?

?

? ?

B、 a ? ?b

?

?

C、 a // b

? ?

D、 a ? 2b

?

?

? ? a b [解析]若使 ? ? ? 成立,则 a与b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 D. |a| |b|
[点评]本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零 向量,其模为 0 且方向任意.

? x ? y ? ?3, ? x ? 2 y ? 12, ? ? 8、若变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 12 ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是( ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
A、12 [答案]C B、26 C、28 D、33



[解析]目标函数 z ? 3x ? 4 y 可以变形为

3 z 3 y ? ? x ? ,做函数 y ? ? x 的平行线, 4 4 4
当其经过点 B(4,4)时截距最大时, 即 z 有最大值为 z ? 3x ? 4 y = 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 28 . [点评]解决线性规划题目的常规步骤: 一列(列出约束条件) 、 二画(画出可行域) 、 三作(作目标函数变形式的平行线) 、 四求(求出最优解). 9、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O , 并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 [答案]B [解析]设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为(
2



B、 2 3

C、 4

D、 2 5

p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

-3-

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y 0 ? (2 ? ) ? 3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的距离). 10、如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作
A

平面 ? 的垂线交半球面于点 A , 过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45

?

B D P α C O

角的平面与半球面相交,所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为

B ,该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60? ,则 A 、 P 两点间的球
面距离为( A、 R arccos )

2 4

B、

?R
4

C、 R arccos

3 3

D、

?R
3

[答案]A [解析]以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴,则

? COS?AOP ?

AO ? PO 2 ? 2 R 4

A(

2 2 1 3 R,0, R), P( R, R,0) 2 2 2 2

? ?AOP ? arccos

2 4

? 2 ? AP ? R ? arccos 4
[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数 等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学 基本功. 11、方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在所有这些方程所表
2 2

示的曲线中,不同的抛物线共有( A、28 条 B、32 条

) C、36 条 D、48 条

-4-

[答案]B [解析]方程 ay ? b2 x2 ? c 变形得 x ?
2

a c y ? 2 ,若表示抛物线,则 a ? 0, b ? 0 2 b b

所以,分 b=-2,1,2,3 四种情况:

?a ? 1, c ? 0, 或2, 或3 ? (1)若 b=-2, ?a ? 2, c ? 0, 或1, 或3 ; (2)若 b=2, ?a ? 3,c ? 0, 或1, 或2 ?

?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1 ?

以上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条; 同理 若 b=1,共有 9 条; 若 b=3 时,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是 解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12 、 设 函 数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 , {an } 是 公 差 不 为
3

0

的 等 差 数 列 ,

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? (
A、0 [答案]D B、7 C、14

) D、21

[解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ∴ [(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14 ∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 [点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应 用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.

-5-

第二部分 注意事项:

(非选择题 共 90 分)

(1)必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 (2)本部分共 10 个小题,共 90 分。 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。 ) 13、函数 f ( x) ? [答案]( - ?, ) [解析]由分母部分的 1-2x>0,得到 x∈( - ?, ). [点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母 不为 0;偶次根下的式子大于等于 0;对数函数的真数大于 0;0 的 0 次方没有意义. 14、如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的 1 中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是____________。 [答案]90? [解析]方法一:连接 D1M,易得 DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以,DN⊥平面 A1MD1, 又 A1M ? 平面 A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为 90? 方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐 标系 D—xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, DN ? 0,2,1 MA ? 2, 1,2) ( ), 1 ( ? 所以,cos< ? DN, 1 ? ? MA
A D M B A1 D1 B1 N C C1

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x

1 2

1 2

DN ? MA1 = 0,故 DN⊥D1M,所以夹角为 90? | DN || MA1 |

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中 借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.

x2 y 2 ? 1(a 为定值, a ? 5) 的的左焦点为 F , 15、 椭圆 2 ? 且 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a 5 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 2 [答案] 3
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5
2 2

? c ? 2,? e ?

c 2 ? a 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、设 a , b 为正实数,现有下列命题: ①若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2

-6-

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ; ④若 | a3 ? b3 |? 1 ,则 | a ? b |? 1 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) [答案] ①④ [解析]若 a,b 都小于 1,则 a-b<1 若 a,b 中至少有一个大于等于 1, 则 a+b>1, 由 a -b =(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确. 对于|a -b |=|(a-b)(a +ab+b )|=1, 若 a,b 中至少又一个大于等于 1,则 a +ab+b >1,则|a-b|<1 若 a,b 都小于 1,则|a-b|<1,所以④正确. 综上,真命题有 ① ④ . [点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的 数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 17、(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,
2 2 3 3 2 2 2 2

1 和p。 10 49 (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (Ⅱ)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P(C)=1-

1 49 P= 10 50

,解得 P=

1 ????????????6 分 5

(2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件 D,
2 那么 P(D)= C3

1 1 1 972 243 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 3 ? ? 10 10 10 1000 250 243 . ??????12 分. 250

答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运 用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域;
2

x x x 1 ? sin cos ? 。 2 2 2 2

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10 x x 1 2 x ? sin cos ? [解析](1)由已知,f(x)= cos 2 2 2 2
(Ⅱ)若 f (? ) ?
-7-

1 1 1 ? ( ? cosx ) sinx ? 1 ? 2 2 2

?

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ? 。???????6 分 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

所以 sin 2? ? ?cos (

) 4 ? 18 7 2 ? 1 ? 2cos(? ? ) 1 ? ? ? ,???????12 分 4 25 25 2

?

3 ) 。 5 ? 2?) ?cos (? ? ? 2

?

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考 查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 19、(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, P

?APB ? 90? , ?PAB ? 60? , AB ? BC ? CA ,点 P 在平 面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。 (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。

C

A

B

[解析](1)连接 OC. 由已知, ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角 设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 , AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD2 ? CD 2 ? 1 ? 12 ? 13 . 在 Rt ?OCP中, ?OPC ? tan

OP 3 39 .??????????6 分 ? ? OC 13 13

(2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? 平面 PAB. 据三垂线定理可知,CE⊥PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角. 由(1)知,DE= 3
-8-

在 Rt△CDE 中,tan ?CED ?

CD 2 3 ? ?2 DE 3
?????????????12 分

故 二面角B — AP — C的大小为arctan2

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力, 进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面 角的平面角) 、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角) 、三求(有 了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值). 20、(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对 一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg [解析]取 n=1,得 ?a 1 ? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0 若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

1 } 的前 n 项和最大? an

2

?

,

2 当 n ? 2时,a n ?

2

?

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

则a n ? 0
2n

若 a1 ? 0,则a n ?

?

????????????????7 分

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2 100 100 ? lg1 ? 0 当 n≥7 时,bn≤b7= lg 7 ? lg 128 2
则 b1>b2>b3>?>b6= lg 故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大. ??????????12 分 an

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数 列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第 三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

B 21、 (本小题满分 12 分) 如图, 动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 (1, 0)
构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率之积为 4,设动点 M 的轨 迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交

y

M

A

O B

x

-9-

于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求

| PR | 的取值范围。 | PQ |

[解析](1)设 M 的坐标为(x,y) ,当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在。 于是 x≠1 且 x≠-1.此时,MA 的斜率为 由题意,有

y y ,MB 的斜率为 . X ?1 x ?1

y y · =4 X ?1 x ?1
2 2

化简可得,4x -y -4=0 2 2 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x≠1 且 x≠-1)??????????4 分 (2)由 ?

?y ? x ? m ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

消去 y,可得 3x -2mx-m -4=0. (﹡)

2

2

对于方程(﹡),其判别式

?

=(-2m) -4×3(-m -4)=16m +48>0

2

2

2

而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1 设 Q、R 的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根. 因为 PQ ? PR ,所以

X

Q

?

X
2

R



X

? Q

m?2

m
3

2

?3

,XP?

m?2

m
3

2

?3

2 1? PR 所以 ? PQ

3

X X
2

P R

?

m

?1 ? 1? 2 1? 2 3

2

3 2 1? 2 ?1 m
3 ?2

m

?1

此时 1 ?

3

m

? 1, 且 1 ?

m

2

所以 1 ? 1 ?

2 2 1? 3

? 3, 且1 ?
2

2 2 1? 3

?
2

m
R P

?1
PR PQ

m
?

?1

5 3

所以 1 ?

PR PQ

?

X X

? 3, 且

?

X X

R P

5 3

综上所述,

5 5 的取值范围是(,)( , ??????????12 分 1 ? 3) PQ 3 3

PR

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能 力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。

22、(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴 2
- 10 -

相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 与 ? ? ??? ? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由。 f (0) ? f (1)

? ? [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?
则抛物线在点 A 处的切线方程为:

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 2 2 ? ? ?
n

y ? ?2 x

'

y ? ? 2 a (x ?
n

a

n

2

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a
n n

n

??????4 分

(2)由(1)知 f(n)=
n

a

n

,则

f ( n) ? 1 n n ? 成立的充要条件是a ? 2n ? 1 f ( n) ? 1 n ? 1

即知, a

? 2n ? 1

对于所有的 n 成立,

特别地,当 n=1 时,得到 a≥3 当 a=3,n≥1 时,

a ? 3 ? (1? 2)
n n

n

? 1 ? C n .2 ? ? ? 2n ? 1
1

当 n=0 时,

a

n

f ( n) ? 1 n ? =2n+1.故 a=3 时 f ( n) ? 1 n ? 1 对所有自然数 n 均成立.

所以满足条件的 a 的最小值为 3. ??????????????????8 分 (3)由(1)知 f(k)= a 下面证明:
k

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) ? ? ?? ? 6. f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n ) ? f ( 2n ) f (0) ? f (1)

首先证明 0<x<1 时,

1 x?x
2

? 6x
2 3

2 设函数 g(x)=6x(x -x)+1,0<x<1, 则 g ' ( x) ? 18 x( x ? ) .

2 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 3 2 1 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g ( x) ? g ( ) ? ? 0 min 3 9
当0 ? x ? 当

2 时,g'(x)<0; 3

- 11 -

所以,当 0<x<1 时,g(x)>0,即得

1 x?x
k
2

? 6x

由 0<a<1 知 0 ?

a

k

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f (1) ? f (n ? 1) ??????14分 f (0) ? f (1)

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力. 主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题 与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等 数学思维方法。

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