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新人教A版必修4高中数学2.4.2平面向量数量积坐标表示、模、夹角学案


高中数学 2.4.2 平面向量数量积坐标表示、模、夹角学案 新人教 A 版必修 4 【学习目标】 1、 平面向量数量积的坐标表示, 会用向量的坐标表示形式 求数量积、向量模及两向量夹角. 2、 会用两向量的坐标判断它们的垂直关系. 【重点难点】 1、 平面向量数量积的坐标表示, 会用向量的坐标表示形式 求数量积、向量模及两向量夹角. 2、 会用两向量的坐标判断它们的垂直关系. 【学习内容】 问题情境导学 一、向量模的坐标表示 【想一想】 (1)①已知 A(1 , 3) , B( 3 , 1) ,你能求出 OA ? OB 吗? ②求出的结果与 A 、 B 坐标有何关系? (2)若 a ? ( x , y) ,你能用数量积的坐标表示表示出 a 吗? 【填一填】 (1)若 a ? ( x , y) ,则 a ? ________ _______; (2) 如果向量 a 起点与终点坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,那么 ? a ? _______________. ? ? ? ? ? 二、向量垂直的坐标表示 1 【想一想】 已知 a ? ( x1 ,y1 ) ,b ? ( x 2 ,y 2 ) ,若 a ? b ,你能得出 a ,b 坐标关系吗? 【填一填】 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ____________. 三、向量夹角的坐标表示 【想一想】 设 a 、 b 是非零向量, a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) , ? 为 a 与 b 的夹角, 你能利用向量数量积的定义及坐标表示出 cos ? 吗? 【填一填】 ? ? a ?b cos? ? ? ? ? ___________. ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【思考】 a / / b 与 a ? b 的坐标表示有何区别? 课堂互动探究 【类型一】平面向量的坐标运算 例1、已知向量 a ? (1 , 3) , b ? (2 , 5) , c ? (2 , 1) .求: ① a ?b ; ② (a ? b ) ? (2a ? b ) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ (a ? b ) ? c . ? ? ? ? ? 变式训练1-1: 已知非零向量 a 与 b 同向,b ? (1 ,2) , 又 a ? b ? 10 , 2 则 a 的坐标为___________. ? 【类型二】向量的垂直问题 例 2、已知向量 a ? (?3 ,1) ,b ? (1 , ? 2) ,若 (?2a ? b ) ? (a ? ?b ) .试求 实数 ? 的值. ? ? ? ? ? ? 变式训练 2-1: 已知 O 是坐标原点, A 、 B 是坐标平面上两点,且向 量 OA ? ( ?1 , 2) , OB ? (3 , m) . 若 ?A O B 是 直 角 三 角 形 , 则 m ? ___________. 【类型三】两向量的夹角问题 例 3、已知向量 a ? (1 , 2) , b ? (1 , ? ) ,分别确定实数 ? 的取值范围, 使得 ① a 与 b 的夹角为直角; ② a 与 b 的夹角为钝角. ? ? ? ? ? ? 3 变式训练 3-1:已知向量 a ? (4 , ? 3) ,b ? (2 ,1)

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