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【历年高考经典丛书】2016届高三高考数学模拟试题精选汇总:函数02


函数 02
二、填空题

1.定义一种运算

,令

,且



则函数

的最大值是______.

2.设函数

______.

3. 函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x)

为 D 上的非减函数.设 f(x)为定义在[0,1]上的非减函数,且满足一下三个条件: (1)f(0)=0; 立, 则 f( (2)f(1-x)+f(x)=1 x∈[0,1]; (3)当 x∈[0,

1 3 ]时,f(x)≥ x 恒成 3 2

3 5 )+f( )= 7 9
?lgx,x>0, ? ? ?10 ,x≤0,
x

.

4.设 f(x)=?

则 f(f(-2))=________.

5.已知函数 y ? mx 的图像与函数 y ?

x ?1 x ?1
2

的图像没有公共点,则实数 m 的取值范围是

6.已知 a>0,且 a ? 1,若函数

f (x)=alg (x

-2 x +3)

有最大值,则不筹式 loga (x2 -5x+7)>0 的解

集为
x



7.函数 f(x)=a + a x ? 2 的值域为_________. 8.已知函数 f(x)= ?

?(a ? 2) x ? 1, x ? 1, 若 f(x)在(- ? ,+ ? )上单调递增,则实数 a 的 ?loga x, x ? 1.

取值范围为________。
9 . 定 义:如果函 数 y ? f ( x) 在定义域 内给定区 间 [a,b] 上存在

x0 (a ? x0 ? b) ,满 足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x0 是它的一个 b?a
4

均 值 点 , 如 y ? x 是 [?1, 1] 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 . 现 有 函 数

f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是

.

1 ) 则 当 x <1 时 , 10 . 已 知 ?x ? R , f (1+x)= f (1-x) , 当 x ? 1 时 , f ( x) =l n( x + , f (x ) =
11.已知函数 y = 12.函数

.

x 2 +ax-1+2a 的值域为[0,+?) ,则 a 的取值范围是
. ). .
2

.

f (x)=log 1 (x2 -2x-3) 的单调递减区间为

13.已知 14.若

f ( x +1)=x - 1,则 f (x)=

( x?

f (x)=

1 ,则 f (x) 的定义域为 log 1 (2x+1)
2

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ? 0, 2 ? π ? ? ? 15 .已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x ) ? a sin( x ) ? 2a ? 2, (a ? 0),若存 3 6 ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ? ?2 ? ? x ?1
在 x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是____________.
16 . 定 义 在 ( ?1,1) 上 的 函 数

? x? y ? f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? 1 ? xy ? ? , 当 x ? (?1,0) 时 f ( x) ? 0 . 若 ? ?

?1? ?1? ?1? P ? f ? ? ? f ? ?, Q ? f ? ?, R ? f (0) ,则 P,Q,R 的大小关系为_____________. ?5? ? 11 ? ?2?
三、解答题 17 . 对 于 函 数 f (x) 若 存 在

x0 ? R , f (x0 )=x0 成 立 , 则 称 x0 为 f (x) 的 不 动 点 . 已 知

f (x)=ax2 ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点, 且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

18.已知函数

f ( x) 对任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且当 x>0 时, f ( x) ? 0 又

f (1) ? ?2 .
(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

答案 填空题 1. 【答案】 5

4
,则

【解析】令

∴由运算定义可知,

sin x ?
∴当

1 ? 5 x? 2 ,即 6 时,该函数取得最大值 4 .

由图象变换可知,

所求函数
2. 【答案】 5

的最大值与函数

在区间

上的最大值相同.

2 f (2) ? f (1) ? f ( ?1) ? 2 f (1) ? 2 ? 1 3 ?1 ? 2 2 1 ?1 2 。

【解析】 令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) , 即



x ?1

f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?






x?3



f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?
3. 1 4. 5.

3 5 ? 1= 2 2。

-2

? 1 ? m ? ?3 ? 2 2

6. 【答案】 (2,3)

【解析】所以 x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 2 有最小值 2, lg( x2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 ,要使函 数 f ( x) 有 最 大 值 , 则 指 数 函 数 单 调 递 减 , 则 有 0 ? a ? 1 , 由
2

得 2 loga ( x -5 x+7)>0

0 ? x ? 5x+7 ? 1
2

?0 ? x ? 5 x +7 ,解得 2 ? x ? 3 ,即不等式的解集为。 ,即 ? ? 2 ? ? x ? 5 x +7 ? 1

7. 【答案】 (

2, ??)

【解析】令 t ? a x ? 2 则 t ?

2 且 t 2 ? a x ? 2 ,所以 a x ? t 2 ? 2 ,所以原函数等价为

1 9 1 y ? g (t ) ? t 2 ? 2 ? t ? (t ? ) 2 ? ,函数的对称轴为 t ? ? ,函数开口向上。因为 2 4 2

t ? 2 ,所以函数在 ( 2, ??) 上函数单调递增,所以

g (t ) ? g ( 2) ? ( 2)2 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 y ? 2 ,所以函数的值域为 ( 2, ??) 。
8. 【答案】 (2,3]

?a ? 1 ?a ? 1 ? ? 【解析】 要使函数 f ( x ) 在 R 上单调递增, 则有 ? a ? 2 ? 0 , 即 ?a ? 2 ?a ? 2 ? f (1) ? 0 ?1 ?0 ? ?
解得 2 ? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 (2,3] 。
9. 【答案】 (0, 2)

?a ? 1 ? , 所以 ? a ? 2 , ?a ? 3 ?

【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上 的 平 均 值 函 数 , 所 以

f (1) ? f (?1) ? m , 即 关 于 x 的 方 程 ? x2 ? mx ? 1 ? m , 在 (? 1, 1)内 有 实 数 根 , 即 1 ? (?1)
mx2 ? mx ? m ? 1 ? 0 ,若 m ? 0 ,方程无解,所以 m ? 0 ,解得方程的根为 x1 ? 1 或
即0 ? m ? 2 , 所以实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 , x2 ? m ?1 .所以必有 ?1 ? m ? 1 ? 1 , 即 (0, 2) .
10. 【答案】 ln (3-x)

【解析】由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,可知函数关于 x ? 1 对称,当 x ? 1 时, 2 ? x ? 1 ,所以

f ( x) ? f (2 ? x) ? ln[(2 ? x) ? 1] ? ln(3 ? x) .
11. 【答案】 a ? 4 ? 2

3 或a ? 4?2 3
2

【解析】令 t ? g( x) ? x ? ax?1 ? 2 a,要使函数 y ? t 的值域为 [0,?? ) ,则说明

[0, ??) ? {y y ? g ( x)}

2 , 即 二 次 函 数 的 判 别 式 ? ? 0 , 即 a ? 4( 2 ,即 a ? 1) ? 0

a 2 ? 8a ? 4 ? 0,解得 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3 ,所以 a 的取值范围是 a ? 4 ? 2 3 或

a ? 4?2 3 .
12. 【答案】 (3, ??)

【解析】令 t ? x ? 2 x ? 3 ,则 y ? log 1 t 在定义域上为减函数.由 t ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得,
2 2

2

x ? 3 或 x ? ?1 ,当 x ? 3 时,函数 t ? x 2 ? 2 x ? 3 递增,根据复合函数的单调性可知,此
时函数 y ? f ( x) 单调递减,所以函数的递减区间为 (3, ??) .
13. 【答案】

f ( x) ? x2 ? 2x , x ? [1, ??) x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1)2 ,所以 f (t ) ? (t ?1)2 ?1 ? t 2 ? 2t ,所以

【解析】令 t ?

f ( x) ? x2 ? 2 x , x ? [1, ??) .
14. 【答案】 ( ?

1 , 0) 2

1 ? 2x ?1 ? 0 ? 1 ?x ? ? ? 【解析】 要使函数有意义, 则有 ?log (2 x ? 1) ? 0 , 即? 所以解得 ? ? x ? 0 , 2 , 1 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 x ?1 ?
即不等式的定义域为 (?
15. 【答案】 [ , ]

1 , 0) . 2

1 4 2 3

解 : 当 0? x? 时 , f ( x) ?

1 1 1 1 1 1 ? x ?1 时 , 0? ? x? ? , 即 0 ? f ( x) ? . 当 2 3 6 6 6 2

1 2 x3 4 x3 ? 6 x 2 4 x3 ? 6 x 2 ? x ? 1 , f '( x) ? , 所以当 , f '( x ) ? ? 0 , 函数 2 x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

f ( x) ?
时, 0 ?

1 2 x3 单 调 递 增 , 此 时 ? f ( x ) ? 1. 综 上 函 数 0 ? f ( x) ? 1 . 当 0 ? x2 ? 1 6 x ?1

?
6

6 6 π 1 3 2 ? 2a ? a sin( x) ? 2a ? 2 ? a ? 2a ? 2 , 即 2 ? 2a ? g ( x2 ) ? 2 ? a . 若 存 在 6 2 2

x2 ?

?

, 0 ? sin

?

x2 ?

1 ? 1 ,所以 0 ? a sin x2 ? a , 2 6 2

x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则有 g ( x2 ) 的最大值大于等于 0, g ( x2 ) 的最小值
? a? ? 3 ? 2 ? a ? 0 ? ? 小于等于 1,即 ? , 解得 2 ? ?a ? ? 2 ? 2 a ? 1 ? ? ?
16. P ? R ? Q 解答题 17.解: (1)? a ? 1, b ? ?2 时,

4 1 4 1 4 3 ,即 ? a ? ,所以实数 a 的取值范围 [ , ] . 2 3 2 3 1 2

f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3

? 函数 f ( x) 的不动点为-1 和 3;
(2) 即 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根, 转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有
2

两个不等实根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ? a 的 取 值 范 围 为

0 ? a ? 1;
(3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

b , a

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1 又因为 A,B 在直线 y ? x 上, 1 ? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ? 2 上. 2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a
利用基本不等式可得当且仅当 a ?
18. (1)解:取 x ? y ? 0, 则

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2

f (0 ? 0) ? 2 f (0)

? f (0) ? 0

取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数.


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