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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第4讲不等式及线性规划


第4讲

不等式及线性规划

【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基 本不等式及线性规划问题. 基本不等式主要考查求最值问题, 线性规划主要考查直接求最优 解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、 函数等知识交汇命题, 以填空题的形式 呈现,属中档题.

1. 四类不

等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根, 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f?x? ①变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ②变形? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x? (3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 2. 五个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a、b∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+ b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2 (5) a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

3. 二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数 的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值. 4. 两个常用结论
?a>0, ? (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ? ? ?a<0, (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ?

考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等

式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 答案 9 a a2 x+ ?2+b- . 解析 由题意知 f(x)=x2+ax+b=? ? 2? 4 a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4 a?2 ∴f(x)=? ?x+2? . a?2 又∵f(x)<c.∴? ?x+2? <c, a a 即- - c<x<- + c. 2 2

?-2- ∴? a ?-2+

a

c=m, c=m+6.

① ②

②-①,得 2 c=6,∴c=9. 二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识,也是高考的热点.本题 考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法.突出考查将二次函数、二次方程、二 次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法.
? 1 ? x≠- ?,则 (1)已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+2x+b>0 的解集为?x? a ? ? ?

a2+b2+7 (其中 a>b)的最小值为________. a-b (2)设命题 p:{x|0≤2x-1≤1},命题 q:{x|x2-(2k+1)x+k(k+1)≤0},若 p 是 q 的充 分不必要条件,则实数 k 的取值范围是__________.

答案 解析

(1)6

1? (2)? ?0,2?

(1)由题意知 a>0 且 Δ=4-4ab=0,

即 ab=1,则由 a>b 得 a-b>0. 故 a2+b2+7 ?a-b?2+2ab+7 9 = =a-b+ ≥2 9=6, a-b a-b a-b

当且仅当 a-b=3 时取“=”. 1 (2)p:{x| ≤x≤1},q:{x|k≤x≤k+1}, 2 1 1 ? ? ?k≤2 ?k<2 由 p?q 且 qD?/p,则? 或? , ?1<k+1 ? ? ?1≤k+1 1 1 0, ? . ∴0≤k≤ ,即 k 的取值范围是? ? 2? 2 考点二 利用基本不等式求最值问题 例2 (1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. (2)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. 答案 解析 (1)5 2 10 (2) 5

1 1 3? + =1. (1)∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得 ? 5?y x?

1 3? 1 ∴3x+4y= (3x+4y)? ? y + x? 5 12y 1 3x +4+9+ ? = ? x ? 5? y = 13 1?3x 12y? 13 1 + + x ?≥ 5 +5×2 5 5? y 3x 12y · y x

=5(当且仅当 x=2y 时取等号), ∴3x+4y 的最小值为 5. (2)方法一 ∵4x2+y2+xy=1, 3 ∴(2x+y)2-3xy=1,即(2x+y)2- · 2xy=1, 2 3 ?2x+y?2 8 ∴(2x+y)2- · ≤1,解之得(2x+y)2≤ , 2? 2 ? 5 2 10 即 2x+y≤ . 5 等号当且仅当 2x=y>0,即 x= 10 10 ,y= 时成立. 10 5

方法二 令 t=2x+y,则 y=t-2x,代入 4x2+y2+xy=1,

得 6x2-3tx+t2-1=0,由于 x 是实数, 8 故 Δ=9t2-24(t2-1)≥0,解得 t2≤ , 5 2 10 2 10 2 10 即- ≤t≤ ,即 t 的最大值也就是 2x+y 的最大值,为 . 5 5 5 1 ?2 ? 15 ?2 1 15 方法三 化已知 4x2+y2+xy=1 为? ?2x+4y? +? 4 y? =1,令 2x+4y=cos α, 4 y= 3 15 1 3 15 2 10 2 10 sin α, 则 y= sin α, 则 2x+y=2x+ y+ y=cos α+ sin α= sin(α+φ)≤ . 4 5 4 4 5 5 5 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足 基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.解题时应根据已知条件适 当进行添(拆)项,创造应用基本不等式的条件. 2 (1)已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a x-a 的最小值为________. 答案 3 2 2 2 =2(x-a)+ +2a x-a x-a

解析 2x+ ≥2

2 2?x-a?· +2a=4+2a, x-a

3 3 由题意可知 4+2a≥7,得 a≥ ,即实数 a 的最小值为 . 2 2 xy 2 1 (2)(2013· 山东)设正实数 x, y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0, 则当 取得最大值时, + - z x y 2 的最大值为________. z 答案 1 解析 由已知得 z=x2-3xy+4y2(*) xy xy 1 则 = 2 = ≤1,当且仅当 x=2y 时取等号,把 x=2y 代入(*)式,得 z x -3xy+4y2 x 4y + -3 y x 1 ?2 2 1 2 1 1 1 z=2y2,所以 + - = + - 2=-? ?y-1? +1≤1, x y z y y y 2 1 2 所以当 y=1 时, + - 的最大值为 1. x y z 考点三 简单的线性规划问题 例3 (2013· 湖北改编)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A、B 两

种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社

要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为________元. 答案 36 800 解析 设租 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆时租金为 z 元 则 z=1 600x+2 400y x+y≤21 ? ?y-x≤7 x、y 满足? 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x、y∈N 画出可行域如图

2 z 直线 y=- x+ 过点 A(5,12)时纵截距最小, 3 2 400 ∴zmin=5×1 600+2 400×12=36 800, 故租金最少为 36 800 元. (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是确定 目标函数中的字母系数的取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意 目标函数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题, 要准确地设出变量,确定可行域和目标函数. (1)(2013· 山 东 改 编 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , M 为 不 等 式 组 2x-y-2≥0, ? ? ?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0

所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为________.

2x-y+1>0, ? ? (2)(2013· 北京改编)设关于 x、y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0

表示的平面区域内存在点

P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是________. 答案 1 (1)- 3 2? (2)? ?-∞,-3?

解析

?x+2y-1=0, ? (1)由? ? ?3x+y-8=0

得 A(3,-1).

1 此时线 OM 的斜率最小,且为- . 3 (2)当 m≥0 时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存 在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,因此 m<0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 1 要使可行域内包含 y= x-1 上的点,只需可行域边界点(-m, 2 1 1 2 m)在直线 y= x-1 的下方即可,即 m<- m-1,解得 m<- . 2 2 3

1. 三个“二次”的关系 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根,也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标,即二次函数的零点. 2. 基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩 功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问 题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用 基本不等式的切入点, 并创设基本不等式的应用背景, 如通过“代换”、 “拆项”、 “凑 项”等技巧, 改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件. 利用基本不等式求最值 时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可. 3. 二元一次不等式表示平面区域的快速判断法: 区域 不等式 Ax+By+C>0 B>0 直 线 Ax + By + C =0 上方 直 线 Ax + By + C =0 下方 区域 B<0 直 线 Ax + By + C =0 下方 直 线 Ax + By + C =0 上方

Ax+By+C<0

主要看不等号与 B 的符号是否相向,若同向则在直线上方,若异向则在直线下方,简 记为“同上异下”,这叫 B 的值判断法. 解决线性规划问题首先要找到可行域, 再注意目标函数表示的几何意义, 数形结合找到 目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问 题要验证解决.

1. 若实数 x、y 满足 4x+4y=2x 1+2y 1,则 t=2x+2y 的取值范围是________.
+ +

答案

(2,4]

解析 依题意得,(2x+2y)2-2×2x×2y=2(2x+2y), 2x+2y 2 t2 则 t2-2t=2×2x×2y≤2×( )= ; 2 2 t2 即 -2t≤0,解得 0≤t≤4; 2 又 t2-2t=2×2x×2y>0,且 t>0, 因此有 t>2,故 2<t≤4. x-y+1≥0, ? ? 2. 已知点 A(2,-2),点 P(x,y)在?x+y+1≥0, ? ?2x-y-1≤0 向上投影的取值范围是________. 答案 [- 2 2 , ] 2 2 → → 所表示的平面区域内,则OP在OA方

解析 不等式组表示的平面区域,如图所示:

由向量投影的几何意义知,当点 P 与点 D 重合时投影最大,当点 P 与点 B 或点 C 重合 时投影最小. 又 C(-1,0),D(0,-1), → → ∴OC=(-1,0),OD=(0,-1), → → OD· OA 2 → → ∴OD在OA方向上的投影为 = , 2 → |OA| → → OC· OA 2 → → OC在OA方向上的投影为 =- , 2 → |OA| 2 2 → → 故OP在OA方向上投影的取值范围是[- , ]. 2 2

(推荐时间:60 分钟) 一、填空题 1. (2012· 福建改编)下列不等式一定成立的是________.(填序号) 1? 2 ①lg? ?x +4?≥lg x(x>0); 1 ②sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z); sin x ③x2+1≥2|x|(x∈R); ④ 1 >1(x∈R). x2+1

答案 ①③ x+y + 解析 应用基本不等式:x,y∈R , ≥ xy(当且仅当 x=y 时取等号)逐个分析,注 2 意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 1 1 当 x>0 时,x2+ ≥2· x·=x, 4 2 1? 2 所以 lg? ?x +4?≥lg x(x>0),故①正确; 运用基本不等式时需保证一正二定三相等, 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故②不正确; 由基本不等式可知,③正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故④不正确. x +1 2. 设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 解析 由不等式的基本性质可知①对; 幂函数 y=xc(c<0)在(0,+∞)上单调递减, 又 a>b>1,所以②对; 由对数函数的单调性可得 logb(a-c)>logb(b-c), 又由对数的换底公式可知 logb(b-c)>loga(b-c), 所以 logb(a-c)>loga(b-c),故选项①②③正确.

3. 设 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 a+b= ________. 答案 -7 解析 依题意,A=(-∞,-1)∪(3,+∞), 又因为 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 B=[-1,4]. 所以 a=-(-1+4)=-3,b=-1×4=-4, 于是 a+b=-7. x-1 4.已知 p: ≤0, q: 4x+2x-m≤0, 若 p 是 q 的充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. x 答案 [6,+∞)

解析 由 p 得:0<x≤1,若 p 是 q 的充分条件, 则有对?x∈(0,1],4x+2x-m≤0 恒成立, 即 m≥4x+2x 恒成立, 只需 m≥(4x+2x)max,而(4x+2x)max=6,∴m≥6. 5. 函数 y=a1
-x

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0 (mn>0)上,

1 1 则 + 的最小值为________. m n 答案 4 解析 定点 A(1,1),又 A 在 mx+ny-1=0 上, 1 1? 1 1 ∴m+n=1.∴ + =(m+n)? ?m+n? m n n m =2+ + ≥4. m n 1 当且仅当 m=n= 时取等号. 2 2 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q 两 x 点,则线段 PQ 长的最小值是________. 答案 4 2 解析 过原点的直线与 f(x)= 交于 P、Q 两点,则直线的斜率 k>0,设直线方程为 y= x kx, 2 2 y=kx, ? ? ? ?x= ?x=- k, ? , k 由? 2 得? 或? y= , ? ? ? x ? ?y= 2k ?y=- 2k, ∴P( 2 , 2k),Q(- k 2 ,- 2k)或 P(- k 2 ,- 2k),Q( k 2 , 2k). k

∴PQ= =2 2

?

2 + k

22 ? +? 2k+ 2k?2 k

1 k+ ≥4. k

x≥1, ? ? 7. (2013· 课标全国Ⅱ改编)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 小值为 1,则 a=________. 答案 1 2

若 z=2x+y 的最

解析 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分). 易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值,
? ?x=1, 由? ?y=a?x-3?, ? ?x=1, ? 得? ?y=-2a, ?

∴zmin=2-2a=1, 1 解得 a= . 2 x-2y+3≥0, ? ? 8. 已知变量 x,y 满足约束条件?x-3y+3≤0, ? ?y-1≤0, 到最大值,则实数 a 的取值范围为________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 如图所示,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线 y-ax=0, 要使目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到 最大值(即直线 z=y-ax 仅当经过该平面区域内的点(-3,0)时, 在 y 轴上的截距达到最大), 1 结合图形可知 a> . 2 y≥0, ? ? 9. 已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, ? ?y-2x+4≥0, 个,则 a 的值为________. 答案 1

若目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取

若 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数

解析 依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域, 如图所示. 要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数个, 则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0,于是有 a=1. x+y-2≥0, ? ? 10.(2013· 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. 实数 k=________. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示:

若 z 的最大值为 12,则

1 由图可知当 0≤-k< 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12, 2 1 解得 k=2(舍去);当-k≥ 时,直线 y=-kx+z 经过点(0,2)时 z 最大,此时 z 的最大值 2 为 2,不合题意;当-k<0 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4= 12,解得 k=2,符合题意.综上可知,k=2. 二、解答题 11.求解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 解 (1)当 a=0 时,原不等式变为-x+1<0,此时不等式的解集为{x|x>1}.

1? (2)当 a≠0 时,原不等式可化为 a(x-1)? ?x-a?<0. 1? 若 a<0,则上式即为(x-1)? ?x-a?>0, 1 又因为 <1, a 1 所以此时不等式的解集为{x|x>1 或 x< }. a 1? 若 a>0,则上式即为(x-1)? ?x-a?<0. 1 ①当 <1,即 a>1 时, a
? 1 ? 原不等式的解集为?x|a<x<1?; ? ?

1 ②当 =1,即 a=1 时,原不等式的解集为?; a 1 ③当 >1,即 0<a<1 时, a 1? ? 原不等式的解集为?x|1<x<a?.
? ?

综上所述, 1 ? ? 当 a<0 时,原不等式的解集为?x|x<a或x>1?;
? ?

当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x>1}; 1? ? 当 0<a<1 时,原不等式的解集为?x|1<x<a?;
? ?

当 a=1 时,原不等式的解集为?;
? 1 ? 当 a>1 时,原不等式的解集为?x|a<x<1?. ? ?

12.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行 防辐射处理, 建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关. 若建造宿舍的所有费用 p(万 元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系式为 p= k (0≤x≤8),若距离为 1 km 时,测算 3x+5

宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置 修路设备需 5 万元, 铺设路面每公里成本为 6 万元. 设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和. (1)求 f(x)的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求最小值. 解 k (1)根据题意得 100= ,所以 k=800, 3×1+5

800 故 f(x)= +5+6x,0≤x≤8. 3x+5 800 (2)因为 f(x)= +2(3x+5)-5≥80-5, 3x+5 800 当且仅当 =2(3x+5)即 x=5 时 f(x)min=75. 3x+5 所以宿舍应建在离厂 5 km 处,可使总费用 f(x)最小,最小为 75 万元. 1 13.已知函数 f(x)= ax3-bx2+(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值, 3 且 0<x1<1<x2<2. (1)证明:a>0; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围. (1)证明 求函数 f(x)的导数 f′(x)=ax2-2bx+2-b. 由函数 f(x)在 x=x1 处取得极大值,

在 x=x2 处取得极小值,知 x1、x2 是 f′(x)=0 的两个根, 所以 f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 时,f(x)为增函数,f′(x)>0,由 x-x1<0,x-x2<0 得 a>0. f′?0?>0, ? ? (2)解 在题设下,0<x1<1<x2<2 等价于?f′?1?<0, ? ?f′?2?>0, 2-b>0, 2-b>0, ? ? ? ? 即?a-2b+2-b<0, 化简得?a-3b+2<0, ? ? ?4a-4b+2-b>0, ?4a-5b+2>0.

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上的三条直线: 2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0 所围成的△ABC 的内部,其三个顶点分别为: 4 6? A? ?7,7?,B(2,2),C(4,2). 16 z 在这三点的值依次为 ,6,8. 7 16 所以 z 的取值范围为( ,8). 7


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