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2013高中数学奥数培训资料之梅涅劳斯定理


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理:
定 理1: 若 直 线不 经 过 ABC的 顶 点 , 并 且 与ABC的 三 边 、C A、AB或 它 们 l ? ? BC 的 延 长 线 分 别 交 于 Q、R, 则 P、 BP CQ AR ? ? ?1 PC QA RB

证 :

设 A、hB、hC 分 别 是 、B、C到 直 线 h A l的 垂 线 的 长 度 , 则 : BP CQ AR hB hC hA ? ? ? ? ? ?1 PC QA RB hC hA hB
注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件;

例1 若 直 角 ABC中 ,CK是 斜 边 上 的 高 , 是?ACK的 平 分 线 , 点 : ? CE E 在AK上 ,D是AC的 中 点 , 是DE与CK的 交 点 , 证 明 : // CE。 F BF
证 : 在?EBC 中 , 作 B的 平 分 线 ? ? BH 则 :?EBC ? ?ACK ?HBC ? ?ACE ?HBC ? ?HCB ? ?ACE ? ?HCB ? 90? 即 : BH ? CE ? ?EBC为 等 腰 三 角 形 作BC上 的 高 , 则 : EP CK ? EP 对 于?ACK和 三 点 、E、F依 梅 涅 劳 斯 定 理 有 : D CD AE KF ? ? ?1 DA EK FC KF EK CK EP BP BK 于是 = ? ? ? ? FC AE AC AC BC BE KF BK 即: = FC BE KF BK 依分比定理有: = KC KE ? ?FKB ? ?CKE ? BF // CE

【 练 习】 从 点 引 四 条 直 线 , 另 两 条线 分 别 交 这 四 条 直 线A、B、C、D 1 K 直 于 AC AD A1C 1 A1 D1 和A1、B1、C 1、D1, 试 证 : : ? : BC BD B1C 1 B1 D1
定 理2: 设P、Q、R分 别 是 ABC的 三 边 、C A、AB上 或 它 们 的 延 长 线 上 三 点 , 并 且 ? BC 的 BP CQ AR P、Q、R三 点 中 , 位 于ABC边 上 的 点 的 个 数 为 2, 这 时 若 ? ? 0或 ? ? 1, PC QA RB 求 证 : 、Q、R三 点 共 线 ; P
证 : 设 直 线 与 直 线 交 于R', 于 是 由 定 理得 : PQ AB 1 BP CQ AR' ? ? ?1 PC QA R' B 又? BP CQ AR AR' AR ? ? ? 1, 则 : ' = PC QA RB R B RB

由 于 在 同 一 直 线 上 的 Q、R' 三 点 中 , 位 于 ABC边 上 的 点 的 个 数 也 为 2, P、 ? 0或 因 此R与R' 或 者 同 在 线 段 上 , 或 者 同 在 的 延 长 线 上 ; AB AB 若R与R' 同 在AB线 段 上 , 则 与R' 必 定 重 合 , 不 然 的 话 设AR ? AR' , R , AR AR' 这 时AB ? AR ? AB ? AR' ,即BR ? BR' , 于 是 可 得 ? BR BR' AR AR' 这与 = 矛盾 BR BR' 类 似 地 可 证 得 当与R' 同 在AB的 延 长 线 上 时 ,与R' 也 重 合 R R 综 上 可 得 : 、Q、R三 点 共 线 ; P
注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘;

例2.点P位于?ABC的外接

BA BP ? cos?PBC 证:易得: 1 ? ? , CA1 CP ? cos?PCB CB1 CP ? cos?PCA ?? AB1 AP ? cos?PAC AC 1 AP ? cos?PAB ?? BC 1 PB ? cos?PBA 将上面三条式子相乘, 且 ? ?PAC ? ?PBC , ?PAB ? ?PCB , ?PCA ? ?PBA ? 180? BA CB1 AC 1 可得 1 ? ? =1 , CA1 AB1 BC 1 依 梅 涅 劳 斯 定 理 可 知、B1、C 1 三 点 共 线 ; A1

证明点 1、B1、C 1 共线 A

【 练 习】 设 不 等 腰 ABC的 内 切 圆 在 三 边 、CA、 2 ? BC AB上 的 切 点 分 别 为 、E、F, 则EF与BC, D FD与CA,DE与AB的 交 点 、Y、Z在 同 一 条 X 直线上;

【 练 习】 已 知 直 线 1,BB1,CC 1 相 交 于 , 直 线 和 3 AA O AB A1 B1的 交 点 为 2, 直 线 与B1 C 1的 交 点 是 2, 直 C BC A 线AC与A1C 1的 交 点 是 2, 试 证 : 2、B2、C 2 三 点 共 线 ; B A

【练习】在一条直线上取点 C、A,在另一条上取点、F、D,记直线 和ED, 4 E、 B AB CD和AF,CD和AF,EF和BC的交点依次为、M、N,证明: 、M、N共线 L L
练 习1的 证 明 证:若 AD // A1 D1, 结 论 显 然 成 立 ; 若AD与A1 D1 相 交 与 点 , 则 把 梅 涅 劳 斯 定 理 别 用 于 A1 AL和?B1 BL可 得 : L 分 ? AD LD1 A1 K ? ? ?1 LD A1 D1 AK LD BK B1 D1 ? ? ?1 BD B1 K LD1 AD BC A1C 1 B1 D1 将 上 面 四 条 式 子 相 乘得 : ? 可 ? ? ?1 AC BD A1 D1 B1C 1 AC AD A1C 1 A1 D1 即: : ? : BC BD B1C 1 B1 D1 LC AK A1C 1 ? ? ?1 AC A1 K LC1 BC LC1 B1 K ? ? ?1 LC B1C 1 BK

练 习2的 证 明 BX CE AF 证 :?ABC被 直 线 XFE所 截 , 由 定 理可 得 : ? 1 ? ?1 XC EA FB BX FB 又 ? AE ? AF 代 人 上 式 可 得 : = XC CE CY DC AZ EA 同理可得: = = YA AF ZB BD BX CY AZ 将 上 面 三 条 式 子 相 乘得 : ? 可 ? ?1 XC YA ZB 又 ? X、Y、Z都 不 在 ABC的 边 上 , 由 定 理可 得X、Y、Z三 点 共 线 ? 2

练 习3的 证 明 证 : 设 2、B2、C 2 分 别 是 直 线 和B1C 1,AC和A1C 1,AB和A1 B1的 交 点 , A BC 对 所 得 的 三 角 形 和 在们 边 上 的 点 : 它 OAB和( A1,B1 , C 2 ),OBC和( B1, C 1 , A2 ),OAC和( A1,C 1 , B2 )应 用 梅 涅 劳 斯 定 理 有 : AA1 OB1 BC 2 ? ? ?1 OA1 BB1 AC 2 OC1 BB1 CA2 ? ? ?1 CC 1 OB1 BA2 OA1 CC 1 AB2 ? ? ?1 AA1 OC1 CB2

BC AB2 CA2 将 上 面 的 三 条 式 子 相可 得 : 2 ? 乘 ? ?1 AC 2 CB2 BA2 由 梅 涅 劳 斯 定 理 可 知 , B2 , C 2 共 线 A2

练 习4的 证 明 证 : 记 直 线 和CD,EF和AB,AB和CD的 交 点 分 别 为 、V、W, 对?UVW, 应 用 梅 EF U 涅 劳 斯 定 理 于 五 组 三 点( L , D , E ),( A , M , F ),( B , C , N ),( A , C , E ),( B , D , F ), 则 有 元 UE VL WD VA UF WM UN WC VB ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 VE WL UD WA VF YM VN UC WB WA UC VE WB UD VF ? ? ?1 ? ? ?1 VA WC UE VB WD UF VL WM UN 将 上 面 五 条 式 子 相 乘得 : ? 可 ? ? 1 ,? 点L , M , N共 线 WL UM VN


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