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一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)


专题:一类动点轨迹问题的探求

专题来源:学习了“椭圆的标准方程”后,对于 PA ? PB ? 2a ,我们可以进一步研究:

PA ? PB ? 2a, PA PB ? 2a,

PA ? 2a ,各自的轨迹方程如何? PB
1 ,那么点 M 的坐标应满足什 2

引例:已知点 M ( x, y ) 与两定点 O(0,0), A(3,0) 的距离之比为 么关系?(必修 2 P103 探究· 拓展)

探究 已知动点 M 与两定点 A 、 B 的距离之比为 ? (? ? 0) ,那么点 M 的轨迹是什么?

背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期 数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥 曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一

类题 1: (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点 Q(2, 0)和圆 C: x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ (λ >0).求动点 M 的轨 迹方程,说明它表示什么曲线. 本小题考查曲线与方程的关系, 轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解:如图,设 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合是 P={M||MN|=λ |MQ|},式中常数λ >0. 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1. 设点 M 的坐标为(x,y),则 x ? y ? 1 ? ?
2 2

——2 分 ——4 分 ——5 分

?x ? 2?2 ? y 2

整理得(λ 2-1)(x2+y2 )-4λ 2x+(1+4λ 2)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P.故这个方程为所求的轨迹方程. ——8 分

当λ =1 时,方程化为 x=

5 5 ,它表示一条直线,该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点( ,0), 4 4

当λ ≠1 时,方程化为(x-

2? 2 2 2 1 ? 3? 2 ) +y = 它表示圆, 2 ? 2?1 ? 2?1

?

?

1 ? 3? 2 2? 2 该圆圆心的坐标为( 2 ,0),半径为 ? ?1 ? 2?1
类题 2: (2008,江苏)满足条件 AB ? 2,AC ?

——12 分

2BC 的?ABC 的面积的最大值是______

类题 3: (2002,全国)已知点 P 到两定点 M (?1,0) 、 N (1,0) 距离的比为 2 ,点 N 到直 线 PM 的距离为 1,求直线 PN 的方程 解:设 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意有

| PM | ? 2 ,即 | PN |

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,整理得 x 2 ? y 2 ? 6x ? 1 ? 0
因为点 N 到 PM 的距离为 1, | MN |? 2

所以 PMN ? 30 ? ,直线 PM 的斜率为 ?

3 3 ,直线 PM 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 3 3

将y??

3 ( x ? 1) 代入 x 2 ? y 2 ? 6x ? 1 ? 0 整理得 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 3

解得 x ? 2 ? 3 , x ? 2 ? 3 则点 P 坐标为 (2 ? 3,1 ? 3) 或 (2 ? 3,?1 ? 3)

(2 ? 3,?1 ? 3) 或 (2 ? 3,1 ? 3) ,直线 PN 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .
类题 4: (2006,四川)已知两定点 A(?2, 0), B (1, 0), 如果动点 P 满足条件 PA ? 2 PB , 则 点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________ 类题 5: (2011, 浙江) P,Q 是两个定点, 点M为平面内的动点, 且

MP MQ

, ? ? (? ? 0且? ? 1 )

点M的轨迹围成的平面区域的面积为 S ,设 S ? f (? ) ,试判断函数的单调性.

引例: (2011,北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1, 0) 的距离的积等于常 数 a 2 (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③ 若点 P 在曲线 C 上,则 ?F1 PF2 的面积不大于 其中正确命题的序号为_____________

1 2 a 2

背景展示:在数学史上,到两个顶点(叫做焦点)的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西 尼卵形线(Cassini Oval) ,乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学 家和水利工程师,他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675 年,他发现土星光环中间有 条暗缝,这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测,光环是由无数小颗粒构成,两个 多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献,当代人类探测 土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是 1675 年他在研究土星及 其卫星的运行规律时发现的。

P 满足 PF 探究:设两定点为 F1 , F2 ,且 F 1F 2 ? 2 ,动点 1 PF 2 ? a (a ? 0且为定值) ,
2

取直线 F1F2 作为 x 轴, F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 P( x, y ) ,则

( x ? 1) 2 ? y 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? a 2
整理得: 解得:

( x2 ? y 2 )2 ? 2( x2 ? y 2 ) ? a2 ?1

y 2 ? (? x2 ? 1) ? 4 x2 ? a 2 ( 1 ? a ? x 2 ? 1 ? a )

于是曲线 C 的方程可化为 y 2 ? (? x 2 ? 1) ? 4 x 2 ? a 2 ( 1 ? a ? x ? 1 ? a )
2

对于常数 a ? 0 ,可讨论如下六种情况: (1)当 a ? 0 时,图像变为两个点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ; (2)当 0 ? a ? 1 时,图像分为两支封闭曲线,随着 a 的减小而分别向点 F1 , F2 收缩; (3)当 a ? 1 时,图像成 8 字形自相交叉,称为双纽线; (4)当 1 ? a ?

2 时,图像是一条没有自交点的光滑曲线,曲线中部有凹进的细腰;

(5)当 a= 2 时,与前种情况一样,但曲线中部变平; (6)当 a ?

2 时,曲线中部凸起。

北京高考题的背景即为本研究的 4—6 里研究的结论; 学有余力的同学可作进一步思考: 思考 1:若将“两定点”之一变为“定直线” ,那么距离之比为定值的动点轨迹是什么? 思考 2:若将“两定点”之一变为“定直线” ,那么距离之和为定值的动点轨迹是什么? 思考 3:到定点的距离与到定直线的距离的 k 倍之和为定值的定点轨迹是什么? 思考 4:到定点的距离与到定直线的距离之差(的绝对值)为定值的定点轨迹是什么? 思考 5:到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么? 在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题,如

1.(2009 湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。
2 2 解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

由题设 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ?
2 2

1 x, 2

化简得

x2 y 2 ? ? 1. 36 27

2 2 当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x) ? y ? 3 ? x,

化简得 y 2 ? 12 x 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右侧 36 27

部分与抛物线 C2 : y 2 ? 12x 在直线 x=2 的左侧部分(包括 它与直线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 , C2 的交点都是 A(2, 2 6 ) ,B(2, ?2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分 别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知 PF ? 6 ?

1 x. 2

④ ⑤

当点 P 在 C2 上时,由③知 PF ? 3 ? x 若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2 N( x2 , y2 )都在 C
1 上,此时由④知

6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y1 ) ,

∣MF∣= 6 -

1 x 2 1

∣NF∣= 6 -

1 x 2 2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 -

1 1 1 x1 )+ (6 x2 )=12 - ( x1 + x2 ) 2 2 2

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ?108 ? 0 则 x1 , y1 是这个方程的两根, ?1 ? ? ? 36 27
所以 x1 + x2 =

1 24k 2 12k 2 * ∣ MN ∣ =12 ( + ) =12 x x 1 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24,

MN ? 12 ?

12k 2 12 100 ? 12 ? ? . 2 1 3 ? 4k 11 ?4 k2

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。

(2)当 kAE ? k ? kAN , ?2 6 ? k ? 2 6 时,直线 L 与轨迹 C 的两个交点

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 分别在 C1 , C2 上,不妨设点 M 在 C1 上,点 C2 上,则④⑤知,
MF ? 6 ? 1 x1 , NF ? 3 ? x2 2

设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2.

MF ? 6 ?

1 1 x1 ? 6 ? x0 ? EF , NF ? 3 ? x2 ? 3 ? 2 ? AF 2 2

所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且

k AE ? ?2 6, 有(1)知 AE ?

100 100 , 所以 MN ? 11 11

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x2 =3,此时 MN ? 12 ? 综上所述,线段 MN 长度的最大值为

1 100 ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11

100 11

2. (2011, 湖南文科高考试题)已知平面内一动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与点 P 到 y 轴的 距离的差等于 1. (Ⅰ )求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ )过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B ,l2 与 轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD, EB 的最小值. 21.解析: (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 由题意为 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1.

化简得 y 2 ? 2 x ? 2 | x |, 当 x ? 0时, y 2 ? 4 x;当x ? 0时,y=0. 、 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y 2 ? 4x( x ? 0)和y=0(x ? 0). (II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1) ,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0. 2 ? y ? 4x

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

4 x1 ? x2 ?2 ? 2 , x1 x2 ?1 . k
因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ?

1 . k

设 D( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ), 则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k 2 , x3 x4 ? 1 故

? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? 1

当且仅当 k ?
2

1 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. k2


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