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陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题


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交大附中 2014~2015 学年第一学期

高三数学(理)期中考试试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ?

1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A C. U ? A

?

?

?

?

?2,4? ,则
B

B

B. U ? ? UA

?

?

?? B ?
U

D. U ? ? UA

?

? ? ?U B ?
x? y

2. 已知 x, y ? R , i 为虚数单位,且 xi ? y ? ?1 ? i ,则 (1 ? i ) A. 2 B. ?2i C. ?4

的值为

D. 2i

3. 函数 y ? sin x ? cos x

?

? ?sin x ? cos x ? 是
B.奇函数且在 ?

A.奇函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

C.偶函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

D.偶函数且在 ?

4.下列有关命题说法正确的是 A. 命题 p :“ ?x ? R,sinx + cosx =

2 ”,则 ?p 是真命题

B. 的必要不充分条件 “x ? ?1”是“x 2 ? 5 x ? 6 ? 0” C.命题 的否定是:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0” D.“ a ? 1 ”是“ f ( x) ? log a x(a ? 0,a ? 1) 在(0, ? ?) 上为增函数”的充要条件

?a ? b ? 6 n 1 ? ? ? 5.若变量 a, b 满足约束条件 ? a ? 3b ? ?2 , n ? 2a ? 3b ,则 n 取最小值时, ? 2 x ? 2 ? x ? ? ?a ? 1 ?
C. 40 1 6. 若 f ?(2 x0 ) ? 1, f ?( x0 ) ? , y ? f (2 x) ,则 y?( x0 ) = 2 二项展开式中的常数项为 A. ?80 B. 80 D. ?20

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A. 0

B.

1 2

C. 3

D. 2

7 .已知 a ? b ,二次三项式 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 对于一切实数 x 恒成立.又 ?xo ? R ,使

a 2 ? b2 的最小值为 ax ? 2 xo ? b ? 0 成立,则 a ?b
2 o

A.1

B. 2

C. 2

D.2 2

8. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 , 动点 P 在正方体表面上且满足 | PA |?| PC1 | , 则动点 P 的轨迹长度为 A. 3 B. 3 2 C. 3 3 D. 6

9. 过点 M ? ?2, 0 ? 作斜率为 k1 ( k1 ≠0)的直线与双曲线 x 2 ?

y2 线段 AB 的 ? 1 交于 A, B 两点, 3

中点为 P , O 为坐标原点, OP 的斜率为 k2 ,则 k1 ? k2 等于 A.

1 3

B. 3

C. ?

1 3

D. ?3

10.在区间 ? 0, 2? 上随机取两个数 x, y ,则 xy ? [0, 2] 的概率是 A.

1 ? ln 2 2

B.

3 ? 2 ln 2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

1 ? 2 ln 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡的相应位置. 11.已知向量 a ? (2, 4) , b ? (1,1) ,若向量 b ? ( a ? ?b) ,则实数 ? 的值是 12.某校高三年级的学生共 1000 人,一次测验成绩的分布直方 图如右图所示,现要按右图所示的 4 个分数段进行分层抽样,抽 0.04 取 50 人了解情况,则 80~90 分数段应抽取
2 2

.

频率 组距 0.03 0.02 0.01

人.

13 .已知直线 ax ? by ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 与圆 x ? y ? 1 相切, 若 A(0, ) , B ( , 0) ,则 | AB | 的最小值为

x ? ?a ? x ? 1? , 14. 已知 a ? 0, a ? 1 , 函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在 ? ?0, 2 ? ? 上的最 ? x ? a x ? 1 , ? ? ? ?

1 b

2 a



0

60 70 80 90 100 分数

大值比最小值大

5 ,则 a 的值为 2



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15.选考题(请考生在 A、B、C 三题中任选一题作答,如果全选,则按 A 题结果计分) A. 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ?2 , g ( x) ? ? | x ? 1| ?4 .若不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1 的解 集为 R,则 m 的取值范围是 .

B. 在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标 方程为 ? sin(? ? 则 C1 与 C2 有

?
4

) ? 1 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为 ?
个不同公共点.

? x ? ?1 ? cos ? , ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? ), ? y ? ?1 ? sin ? ,
A

C.已知 C 点在⊙O 直径 BE 的延长线上,CA 切⊙O 于 A 点, 若 AB=AC,则

AC ? BC



B

C O E

二、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。写出详细的解答或 证明过程 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 的最大值为 2,最小正周期为 8 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式及函数的增区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 ,O 为坐标原点, 求△ POQ 的 面积. 17. (本小题满分 12 分) “蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立 开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究, 每次试验一个生物, 甲组能使生物成活的概 率为

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )

1 1 ,乙组能使生物成活的概率为 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生 3 2

物不成活,则称该次试验是失败的. (Ⅰ)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率; (Ⅱ)如果乙小组成功了 4 次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有 两次连续失败的概率; (Ⅲ)若甲乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为 ? ,求 ? 的期望. 18. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? kc n ? k (其中 c, k 为常数) , 且 a2 ? 4 , a6 ? 8a3 . (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

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19. (本小题满分 12 分)如图 4,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 是边长为 2 的等 边三角形, AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点. (Ⅰ)求证: CE ∥平面 A1 BD ; (Ⅱ)若 H 为 A1 B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切为
A A1 B1 D C1

15 时,求平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. 2

E 图4

C B

20 . (本小题满分 13 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2, 0) ,

F2 ? 2,0 ? ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 交于 B,C 两
点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (Ⅰ) 求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由. 21 . (本小题满分 14 分)已知二次函数 f

? x?

? x 2 ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式

(m ? 0) ,设 g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? , (Ⅰ)求 a 的值;

f ? x? x ?1

.

(Ⅱ) k(k ? R )如何取值时,函数 ? x ? g x ? k ln x ? 1 存在极值点,并求出极 值点;

? ?

? ?

?

?

( Ⅲ ) 若
n

m ?1

, 且

x

? 0

, 求 证 :

? g ? x ? 1? ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2(n ? N * ). ? ?

?

?

参考答案: 一.DDCDA,DDBBC 二.11.-3; 12.20 ;13. 3;14.

3 1 7 或 .;15.A. (??,?3] ;B .1 个;C. ; 3 2 2

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三.解答题 16. 解: (Ⅰ) A ? 2 . ? ?

?
4

.

∴ f ( x) ? 2sin(

?

x ? ) . 增区间 ?8k ? 3,8k ? 1? . 4 4

?

(Ⅱ) ? P (2, 2), Q(4, ? 2) . △ POQ 的面积为 S ?

1 OP OQ sin ?POQ ? ? 3 2 . 2

17. 解: (Ⅰ)

P( A) ?

7 27
2

(Ⅱ)乙小组在第 4 次成功前,共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰 有两次连续失败,其中各种可能的情况种数 A4 ? 12 , 因此所求的概率 P ( B ) = ?12 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? ? 2 2 ? 2 32 ? (3)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,4

?

1

1 ? 1

3

1 0 1 0 2 2 0 1 2 P(? ? 0) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ? 3 3 2 9
1 1 1 2 1 0 1 2 P(? ? 1) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ? C 0 ( 1 )0 ( 2 )2 ? C1 ( 1 )2 ? 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3

13 2 1 2 2 0 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 0 2 2 2 1 2 P(? ? 2) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) + C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 36 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 P(? ? 3) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( )2 ? 3 3 2 3 3 2 6 1 2 1 1 2 2 P(? ? 4) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( )2 ? 3 3 2 36
故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 9

1 3

13 36

1 6

1 36

1 1 13 1 1 5 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 9 3 36 6 36 3
18. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? k (c n ? c n ?1 ) 则 an ? S n ? S n ?1 ? k (c n ? c n ?1 )

a6 ? k (c 6 ? c 5 )



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a3 ? k (c 3 ? c 2 )

19. 解 1: (Ⅰ)略 (Ⅱ)略解 ? CE ? 平面 A1 AB . 由 CE ? AB ,CE ?

? ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角,
3 . tan ?EHC ?

3 AB ? 2

CE 3 ? , EH EH

A1 B1

C1

由当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大, ∴当 EH ? A1 B 时,
H

D

tan ?EHC ?

CE 3 15 2 5 5 ? ? .∴ EH ? . ? BH ? EH EH 2 5 5

A E B

C

F

由 ?ABA1 为平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). cos ?ABA1 ?

BH ? EB

5 . 5

∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为

5 . 5

z A1 B1 D H C1

解 2:由

BH ?

EB ? EH
2

2

?

5 . ? AA1 ? 4 . 5

F

建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0) , A1 (0, 0, 4) , B ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ?

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

A E x B

C

y

(

3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

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设平面 A1 BD 的法向量为 n = 由 n ?A1B

? x, y, z ? ,
0 , ? 平 面 A1 BD 的 一 个 法 向 量 为 n =

0 , n ?A1D

(

3, 1, 1 .

)

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.

∴ cos n, AA1

?

n ? AA1 n AA1

?

5 . 5

2 ? x2 y 2 ?a ? 16, 20.(Ⅰ)解:设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , ? ? 2 a b ? ?b ? 12.

x2 y 2 椭圆 C1 的方程为 ? ? 1. 16 12
(Ⅱ)解 1(由题意,即求 P 的轨迹方程与椭圆的交点的个数) : 设 点

B( x1 ,

1 2 x1 ) 4

,

C ( x2 ,

1 2 x2 ) 4





A, B, C







线

,.

? 1 ? 1 2 x2 ? x12 ? ? x2 ? x1 ? ? 3 ? x12 ? ? 4 ? 4 ?

?

? ?2 ? x ? , ?
1

2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 12 .



由 x 2 ? 4 y ? 抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为

y?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x12 . ② 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4


同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

设点 P ( x, y ) , 由②③得: 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 1 x ? x12 ? 2 x ? x 2 , 而 x1 ? x 2 , 则 x ? ( x1 ? x 2 ) . 2 4 2 4 2

1 x1 x 2 ,则 2 x ? x1 ? x 2 , 4 y ? x1 x 2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 4
,则点 P 在椭圆 C1 上,而

即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

点 P 又在直线 y ? x ? 3 上,经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两 点.即:满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个.

或:设点 B ( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) ,

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? C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?
∵ y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 2
∴ y0 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 .∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上, 2 4 x2 x0 ? y 2 . ② 2

x1 x0 ? y1 .① 2

同理, y 0 ? 足方程 y 0 ?

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满

x x0 ? y .∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的直线是唯一的, 2 x ∴直线 L 的方程为 y 0 ? x 0 ? y , ∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ? y 0 ? x 0 ? 3 2
即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,~~~ 解 2: ? 由 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x1 1 x ? x12 . 2 4

C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x2 1 2 . x ? x2 2 4

? x y ? 1 x? ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x ? x2 1 2 x1 , x ? 1 ? 2k , ? ? 4 2 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? 4 ? 4

∴ P 2k , 2k ? 3 .

?

?

∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,∴点 P 在椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12

? 2k ? ∴
16

2

?

? 2k

? 3? 12

2

? 1 .化简得 7 k 2 ? 12k ? 3 ? 0 .(*)

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 , 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. 21. (Ⅰ)解:∵关于 x 的不等式 f

? ?

? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m

2

的解集为 m,m ? 1 ,

?

?

等价于 x 2 ? a ? 1 ? 2m x ? m 2 ? m ? 0 的解为 m, m ? 1 ,

?

?

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∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 .

?

?

∴ a ? ?2 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 g x

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m . ? ? x ? 1? ? x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ?k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1, ?? ? . x ?1

由 ? ?( x) ? 1 ?

m

? x ? 1?
? ?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

由题意,函数 ? x

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x) 有两个不等的

零点,且至少有一个零点在 1, ?? 上. 令 ? ?( x) ? 得 x 2 ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*) 则Δ ? 2 ? k

?

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?

2

? 0,

?

?

?

?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)

方程(*)的两个实根为 x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,则函数 ? ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递减,在 ? x2 , ?? ? 上单调

递增.∴函数 ? x 有极小值点 x2 . ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ? m 或 k ? 2 ? m , 若 k ? ?2 ? m ,则 x1 ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1, ?? 时, ? ?( x) ? 0 ,∴函数 ? x 在 1, ?? 上单调递增. 函数 ? x 没有极值 点. 若 k ? 2 ? m 时, x1 ?

?

?

? ? ?

?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1, x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增.

? ? ?

?

?

?

?

?

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∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . (其中 x1 ?

? ?

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

(Ⅲ)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?

1 . x ?1

? ? n 1? 1 ? ? ∴? ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? x ? ? ? x ? x n ? ? ? ? ?
n

?

n

?

n

1 n?2 2 n?4 ? Cn x ? Cn x ?

n ?1 2 ? n ? Cn x . n ?1 2 ? n ? Cn x ,∵ x ? 0 ,

令 T ? Cn x

1 n?2

2 n?4 ? Cn x ?

1 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn xn ? 4 ? x4 ? n ? ? 2T ? Cn
1 2 ? Cn ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn ? 2 xn ?4 ? x4?n ?

?

?

?

?

n ?1 ? Cn x2 ? n ? xn ? 2

?

?

n ?1 ? Cn ? 2 x2?n ? xn ?2

0 1 2 ? 2 Cn ? Cn ? Cn ?

?

n ?1 n 0 n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn

?

? 2 2n ? 2 .
? ∴ T ? 2n ? 2 ,即 ? ?g x ? 1 ? ? g x ? 1 ? 2 ? 2 .
n n

?

?

?

?

n

?

?

? ? n 1? 1 ? 证法 2:用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ?
① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?

n

? ?
*

1? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成立; x? ? x?
k

? ? k 1? 1 ? ② 假设当 n ? k (k ? N )时,不等式成立,即 ? x ? ? ? ? x ? k ? ? 2k ? 2 , x? x ? ? ?
? 1? 则 ?x ? ? x? ?
k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

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k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x ? ? ? x k ? k ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?? x? x? ? x ?? ? x ? ? x ? ? ? ? ? k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

? ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? k ?1 ? x ? ?? ? ?
? 2k ? 1 ? 2 .

? 2 x?

1 1 ? 2 k ? 2 ? 2 x k ?1 ? k ?1 x x

?

?

也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得,对 ? n ? N * ,


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