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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练16 空间几何体三视图、表面积及体积 理


【高考领航】2016 届高考数学二轮复习 限时训练 16 空间几何体三 视图、表面积及体积 理
(建议用时 30 分钟) 1.(2014·高考新课标卷Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何 体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥 解析:选 B.将三视图还原为几何体即可. 如图,几何体为三棱柱.

/>B.三棱柱 D.四棱柱

2.如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题:①存在四棱锥,其正视图、侧视图如 图;②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图;③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真 命题的个数是( )

A.3 C.1

B.2 D.0

解析:选 A.对于①,存在斜高与底边长相等的正四棱锥,其正视图与侧视图是全等的正三 角形.对于②,存在如图所示的三棱锥 S?ABC,底面为等腰三角形,其底边 AB 的中点为 D,

BC 的中点为 E,侧面 SAB 上的斜高为 SD,且 CB=AB=SD=SE,顶点 S 在底面上的射影为 AC
的中点,则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形.对于③,存在底面直径与母线长 相等的圆锥,其正视图与侧视图是全等的正三角形.所以选 A.

1

3. (2016·杭州质检)若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此几何体的体积是(

)

A.24 cm C.36 cm

3

B.40 cm D.48 cm

3

3

3

解析:选 B.由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高 1 1 1 3 为 2 的三棱锥形成的, 故该几何体的体积 V= ×4×3×8-2× × ×4×3×2=40(cm ), 故 2 3 2 选 B. 4.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )

π A. 3+ 6 4 C.3 3+ π 3

4 B. 3+ π 3 D.3 3+ π 6

解析: 选 D.由三视图知该几何体是由直径为 1 的球与底面边长为 2、 高为 3 的正三棱柱组合 1 4 π ?1?3 的几何体.则该几何体的体积 V=V 正三棱柱+V 球= ×2× 3×3+ ×π ×? ? =3 3+ . 2 3 6 ?2? 5.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )

2

57 A. 2 C.26

B.27 D.28

解析:选 A.由几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体与一个三棱锥的组合体,因此 1 1 3 57 3 2 其体积 V=3 + × ×3 ×1=27+ = . 3 2 2 2

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.6 C.2 3

B.3 3 D.3

解析:选 B.由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边 为 2,高为 3的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故 h=3,所以几何体的体积 V=S·h

?1 ? =? ×2× 3?×3=3 3. ?2 ?
3

7.(2014·高考新课标卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线 画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得 到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

17 A. 27 10 C. 27

B. D.

5 9 1 3

解析:选 C.由侧视图可知切割得到的几何体是两个圆柱的组合体.

由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体.其中左面圆柱的高为 4 cm,底面半 径为 2 cm, 右面圆柱的高为 2 cm, 底面半径为 3 cm, 则组合体的体积 V1=π ×2 ×4+π ×3 ×2 = 16π + 18π = 34π (cm ) , 原 毛 坯 体 积 V2 = π ×3 ×6 = 54π (cm ) , 则 所 求 比 值 为 54π -34π 10 = . 54π 27 8. (2016·南昌市高三模拟)如图, 在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, 点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点, 则三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )
3 2 3 2 2

A.1∶1 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶2 解析:选 A.根据题意,三棱锥 P?BCD 的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、 高为正四棱柱的高; 侧视图是三角形, 且底边为正四棱柱的底面边长、 高为正四棱柱的高. 故
4

三棱锥 P?BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1. π 9. (2015·高考山东卷)在梯形 ABCD 中, ∠ABC= , AD∥BC, BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( 2π A. 3 5π C. 3 B. 4π 3 )

D.2π

解析:选 C.画出旋转体并判断该旋转体的形状,再利用体积公式求解. 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E, 梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是 由以线段 AB 的长为底面圆半径,线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径,
2 2 ED 为高的圆锥, 如图所示, 该几何体的体积为 V=V 圆柱-V 圆锥=π ·AB ·BC- ·π ·CE ·DE

1 3

1 5π 2 2 =π ×1 ×2- π ×1 ×1= ,故选 C. 3 3

10.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图、侧视图均由三角形与半圆构成,俯视 图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

A. C.

2π 1 + 3 2 2π 1 + 6 6

B. D.

4π 1 + 3 6 2π 1 + 3 2

1 ?1 ? 解析: 选 C.由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥, 下方是半球, ∴V= ×? ×1×1? 3 ?2 ?

5

2π ?4 ? 2?3? 1 1 ×1+? π ? ? ?× = + ,故选 C. 6 ?3 ? 2 ? ? 2 6 11.(2015·高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

A.1+ 3 C.1+2 2

B.2+ 3 D.2 2

解析:选 B.先根据三视图还原几何体,再根据几何体的结构特点求解.

根据三视图还原几何体如图所示,其中侧面 ABD⊥底面 BCD,另两个侧面 ABC,ACD 为等边三 1 3 2 角形,则有 S 表面积=2× ×2×1+2× ×( 2) =2+ 3.故选 B. 2 4 12.(2015·大连市高三测试)6 个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体,该几何体 的主视图与俯视图如图所示,则其左视图不可能为( )

解析:选 D.由已知 6 个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体,结合该几何体的主 视图与俯视图,①当正方体的摆放如下图所示时,(格中数字表示每摞正方体的个数)

几何体的左视图如下图所示,故排除 A;

6

②当正方体的摆放如下图所示时,(格中数字表示每摞正方体的个数)

几何体的左视图如下图所示,故排除 B;

③正方体的摆放如下图所示时,(格中数字表示每摞正方体的个数)

几何体的左视图如下图所示,故排除C.选D.

13.(2015·高考江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2, 高为 8 的圆柱各一个, 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的 圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________. 解析:利用圆锥、圆柱的体积公式,列方程求解. 设新的底面半径为 r,由题意得 1 1 2 2 2 2 ×π ×5 ×4+π ×2 ×8= ×π ×r ×4+π ×r ×8, 3 3 ∴r =7,∴r= 7. 答案: 7 14.已知 A,B,C,D 四点在半径为 则三棱锥 D?ABC 的体积是________. 解析:依题意得,可将该三棱锥 D?ABC 补形成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别是 29 a +b +c =4× =29, ? 4 ? a、b、c,则有? a +b =13, ? ?b +c =25,
2 2 2 2 2 2 2 2

29 的球面上,且 AC=BD= 13,AD=BC=5,AB=CD, 2

由此解得 a=2,b=3,c=4,结合图形可

1 知,三棱锥 D?ABC 的体积是 abc=8. 3 答案:8 15.在半径为 5 的球面上有不同的四点 A,B,C,D,若 AB=AC=AD=2 5,则平面 BCD 被 球所截得图形的面积为__________. 解析:过点 A 向平面 BCD 作垂线,垂足为 M,则 M 是△BCD 的外心,外接球球心 O 位于直线
7

AM 上,设△BCD 所在截面圆半径为 r,∵OA=OB=5,AB=2 5,
∴在△ABO 中,BO =AB +AO -2AB×AO×cos∠BAO,∴cos∠BAO= 在 Rt△ABM 中,r=2 5sin∠BAO=4,∴所求面积 S=π r =16π . 答案:16π 16. 已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 中, ∠BAC=90°, 侧面 BCC1B1 的面积为 2, 则直三棱柱 ABC?A1B1C1 外接球表面积的最小值为__________. 解析:如图所示,设 BC,B1C1 的中点分别为 F,E,则知三棱柱 ABC?A1B1C1 外接球的球心为线 段 EF 的中点 O,且 BC×EF=2.
2 2 2 2

5 2 5 ,∴sin∠BAO= . 5 5

?BC?2 ?EF?2 BC +EF ≥1×2BC×EF=1,当且仅当 设外接球的半径为 R,则 R =BF +OF =? ? +? ? = 4 4 ?2? ?2?
2 2 2

2

2

BC=EF= 2时取等号.所以直三棱柱 ABC?A1B1C1 外接球表面积的最小值为 4π ×12=4π .
答案:4π

8


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