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河南省郑州市2014届高三第二次模拟考试 数学理试题(扫描版)


2014 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学
一、 选择题 BADC CABD BCDA 二、 填空题 1 13. ; 14. 21; 4 三、解答题

参考答案

15. (e, e);

1 16. ? . 2

17.解(Ⅰ)由已知,令 p ? q ? n 可得 an ?

an ? 22 n ,------2 分 因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n .------5 分 (Ⅱ) bn ? nan ? n ? 2n ,------6 分
Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1)2n ?1 ? n ? 2n , 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1)2n ? n ? 2n ?1 ,

① ②

由①-②得: ? Sn ? 1? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 , ------8 分 即: ? Sn ?
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1. ------10 分 1? 2

整理可得: Sn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2. ------12 分 18. 解(Ⅰ)如图(2)在 ?ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 的中点, 所以 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF, EF ? 平面 DEF, ∴ AB // 平面 DEF. ------4 分 (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,以直线 DB、DC、DA 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 则

A(0, 0,1), B(1, 0, 0),C (0, 3, 0), E (0,

3 1 1 3 , ), F ( , , 0), 2 2 2 2

???? ??? ? ??? ? 3 1 ???? 1 3 AB ? (1, 0, ?1), BC ? (?1, 3, 0), DE ? (0, , ), DF ? ( , , 0). 2 2 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 设 BP ? ? BC ,则 AP ? AB ? BP ? (1 ? ? , 3? , ?1) , –---7 分
??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 注意到 AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? ? ? ? BP ? BC , 3 3 ∴在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE. ------9 分

??? ? ? (Ⅲ) 平面 CDF 的法向量 DA ? (0, 0,1) , 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???? ? ? ? DF ? n ? 0, ? ? x ? 3 y ? 0, ? 则 ? ???? ? 即? 取 n ? (3, ? 3,3) ,----10 分 DE ? n ? 0, 3 y ? z ? 0, ? ? ? ?
cos ? DA ? n ?? DA ? n | DA | ? | n | ? 21 , 7
21 . ---12 分 7

所以二面角 E-DF-C 的平面角的余弦值为

19.解(Ⅰ)设印有“美丽绿城行”的球有 n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标 志为事件 A , 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是 P ( A) ?
4 由对立事件的概率 P( A) = 1 ? P( A) ? . 5
2 Cn , ------3 分 C62

即 P ( A) ?

2 Cn 1 ? ,解得 n ? 3. 2 C6 5

------5 分 (Ⅱ)由已知,两种球各三个,故? 可能取值分别为 1, 2,3 , -----6 分
P(? ? 1) ? C32 1 ? . ------7 分 C62 5
1 2 C 2 C 2 C1 CC 1 P(? ? 2 )? 32 ? 32 ? 3 2 3 2? 2 ? , C6 C4 C6 C4 5

------9 分
P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? 3 ,则? 的分布列为: 5

?
P

1
1 5

2
1 5

3
3 5

------11 分

1 1 3 12 所以 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .------12 分 5 5 5 5 y y y y 3 20.解(Ⅰ)由题知 x ? ?2 ,且 k1 ? , k2 ? , 则 ? ?? , x?2 x?2 x?2 x?2 4 --------2 分

整理得,曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) .-----------5 分 4 3

(Ⅱ)设 MP 与 x 轴交于 D(t ,0) ,则直线 MP 的方程为 x ? my ? t (m ? 0) , 记 M ( x1 , y1 ), P( x2 , y2 ) ,由对称性知 Q( x1 , ? y1 ), N ( x2 , ? y2 ) ,
?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, 由? 消 x 得: (3m2 ? 4) y 2 ? 6mty ? 3t 2 ? 12 ? 0 ,-----7 分 x ? my ? t ?

所以 ? ? 48(3m2 ? 4 ? t 2 ) ? 0 ,且 y1,2 ?
6mt ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? 3m ? 4 故? 2 ? y ? y ? 3t ? 12 , 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?

?6mt ? ? , 2(3m 2 ? 4)

------------9 分

由 M、N、S 三点共线知 kMS ? k NS ,即 所
2m
1

y1 ? y2 , ? x1 ? 4 x2 ? 4
2


4t
1

y1 (

m ?

2

y?4

t) ? 0

( y 1? , m ?整 4y

)理 ?t

0 得

y ?

2

y ( ?

) ?,----10 (y 2 ? 分 y)

所以

2m(3t 2 ? 12) ? 6mt (t ? 4) ? 0 ,即 24m(t ? 1) ? 0 , t ? 1, 3m2 ? 4

所以直线 MP 过定点 D(1,0) ,同理可得直线 NQ 也过定点 D(1,0) , 即四边形 MNPQ 两条对角线的交点是定点,且定点坐标为
(1, 0) .--------12 分

21.解(Ⅰ)由题知 f ?( x) ? (1 ? x)e? x ( x ? R) ,当 f ?( x) ? 0 时, x ? 1,当 f ?( x) ? 0 时, x ? 1 ,----3 分 所以函数 f ( x) 的增区间为 (??,1) ,减区间为 (1, ??) ,

1 其极大值为 f (1) ? ,无极小值.-----------5 分 e k (Ⅱ) 由题知 0 ? x ? 1 ,当 k ? 0 时, 因为 ? 0 ? x ? 1 , 由⑴知函数在 (??,1) x 单调递增, k 所以 f ( x) ? f ( ) ,符合题意;-------7 分 x

当 0 ? k ? 1时,取 x ? k ,可得 f (k ) ? f (1) ,这与函数在 (??,1) 单调递增 不符;9 分 当 k ? 1 时,因为
k 1 ? ? 1 ,由⑴知函数 f ( x) 在 (1, ??) 单调递减, x x

1 ?1 k 1 1 所以 f ( ) ? f ( ) ,即只需证 f ( x) ? f ( ) ,即证 xe? x ? e x , x x x x

即 ln x ? x ? ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 1 1 , 2ln x ? x ? ? 0 ,令 h(x) ?2ln x ?x ? (0 ? x ?1) , x x x

? x2 ? 2x ?1 ( x ? 1) 2 ? ? ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立, x2 x2

所以 h( x) 为 (0,1) 上的减函数,所以 h( x) ? h(1) ? 0 ,
k 所以 f ( x) ? f ( ) ,符合题意.-------11 分 x

综上: k ? (??,0] ? [1, ??) 为所求.------------12 分 22.解(Ⅰ)如图,连结 AM ,由 AB 为直径可知 ?AMB ? 90? , 又 CD ? AB ,所以 ?AEF ? ?AMB ? 90? , 因此 A、E、F、M 四点共圆. ------4 分 (Ⅱ)连结 AC ,由 A、E、F、M 四点共圆, 所以 BF ? BM ? BE ? BA ,------6 分 在 RT ?ABC 中, BC 2 ? BE ? BA ,------8 分 又由 MF ? 4BF ? 4 知 BF ? 1, BM ? 5 , 所以 BC 2 ? 5 ,BC ? 5 . ---10 分 23 . 解 (Ⅰ)圆 O : ? ? cos? ? sin ? , 即 ? 2 ? ? c o s ? ? ? s i n? , 故圆 O 的 直 角 坐 标 方 程 为 : x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 , ------2 分

?? 2 ? 直线 l : ? sin , 即 ? s i n? ? ? cos ?? , 1 ?? ? ? ? 4? 2 ?

则 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 : x ? y ? 1 ? 0 . ------4 分 (Ⅱ)由 ⑴知 圆 O 与 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ,
? x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ? x ? 0, 将两方程联立得 ? ,解 得 ? ,------6 分 ?y ?1 ?x ? y ?1 ? 0

即 圆 O 与 直 线 l 在 直 角 坐 标 系 下 的 公 共 点 为 ( 0,1 ) , ------8 分
? ?? 将( 0,1 ) 转化为极坐标为 ?1, ? ,即为所求.------10 分 ? 2?

24.解 (Ⅰ)由 f ( x) ? 5x ? 1 化简可得 | 2 x ? a |? 1, 即 2x ? a ? 1 或 2 x ? a ? ?1 , ------2 分
x? a ?1 , 2

解得: x ?

a ?1 或 2

所以, 不等式 f ( x) ? 5x ? 1 的解集为 {x | x ? 分

a ?1 a ?1 ------4 或x ? } . 2 2

(Ⅱ)不等式 | 2 x ? a | ?5x ? 0 等价于 5x ? 2x ? a ? ?5x ,
a ? x?? , ? ?5 x ? 2 x ? a , ? 3 即? ,化简得 ? .------6 分 ? 2 x ? a ? ?5 x ?x ? a ? 7 ?
a 若a ?0 , 则原不等式的解集为 {x | x ? } = {x | x ? ?1} , 此时,a ? ?7 ; 7

-----8 分
a 若a ?0 , 则原不等式的解集为 {x | x ? ? } = {x | x ? ?1} , 此时, a?3 . 3 综上所述, a ? ?7 或 a ? 3 .------10 分


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