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例谈函数f(x)=x+a/x(a〉0)的单调性的应用


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( 敷学 教 学通 讯 ) 学 生版 2 O 0 0 年 第 3期 

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例谈函数 , (  ) =

 +  ( Ⅱ>0 ) 的单调性 的应用 

( 四 川 省 届 山 嘉 中 学   6 2 0 o 1 0 ) 夏 霉 体 全  
(   山
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。}   罗;   z ,  


容 易  明 : 常 见 函数 , ( z) :z+   ( 口> 

1 )   +6 , 因 为 z∈ [ 一1 , l 】 所以 £ ∈[ 6 ? l O 3 - ] : -  
4 是 有  =, (   ) =  +6


0 ) 在( 0 ,   ] 上 单调 递 减 , 在[   , +   ) 上 单 
调递 增 . 在解题 过程 中 , 若 能 根 据 题 目 的结 构 

1.  

特征 , 联想 并应 用上述 函 数的这 一性质 , 可收  到 较好 的效 果 . 本文 举例 说 明 .   例 1 已 知 n, b∈ R  , 4+b= 1 , 求 曲 


去 的 最 小 值 .  
分析 : 要求 a b   j 1的 最 小 值 。 可 引 入 函 

匾致 f ( t )  ̄ t E ( O , 8 ] 上单 调 递 减 , 即在 [ 6 ,   8 ] 上也单 调递 减 ; , (   ) 在[ 8 , +。 。 ) 上 单 调递  增; 即 在[ 8 , 如] 也单调 递增 . 故有 厂 ( 8 ) ≤, (  )   ≤, ( 6 ) , f ( 8 ) ≤, ( t ) ≤, ( 1 0 ) . 由计 算 可 知 ,   ( 6 ) ≥, ( 1 0 ) , 所以 1 5 =厂 ( 8 ) ≤厂 ( £ ) ≤,( 6 ) =  
1 5   2

J   即 函 数 的 值 域 是   ∈ [ 1 5   1 5 { j   】 .  


例 4 设 M =l y   I  






+  7 t 2 , m,   ∈ 

数f ( x ) = z +亡, 由函数的性质来解决问题 
令 z=a b, 因 为 n, 6∈R  , 口 +b=1 , 所以 0  



N} . 求证 : 如果 z l , z 2 ∈M , 且 z l < 2 , 那 么 一  定存 在实效 z 0 ∈M, 使2 i <Z o <x 2 .   分析: 表达式 为 m, n的 齐 次 式 . 可 改 写 成 
m  

< 曲 ≤ { , 即 0 < z ≤   1 , 函 数 , ( z ) = z +  
在( 0 , 1 ] 时, 单调递减, 即在( 0 , ÷] 也单调递 



进而联 想到 函数 , (  

,  

减 , , ( z ) 的 最 小 值 为 , ( 寺 ) = 4 + { =  , 由   此 可 得曲 + 壶 的 最 小 值 为   , 当 且 仅 当a =   6 = 丢 时 取 得 .  
例 2 求 函数  =— s i n — 2 x   +   2 . s i r _  ̄ +2 . z ∈ 
( 0 ,  ) 的值 域 .   解: 设  =s m ' z. 则  ∈ ( 0 , 1 ] . 此 时  =  
t 2


如果 , ( z) 是 单 调 函数 , 结论显然成立 .  
盟  

证明 : 不 妨 设  ≤  , 那么 - y =—  一

,  

1  ( 詈 )  
构 造 函 数   =土 1 +x 2 - 易证 明 , (  ) 在( 0 , 1 ] 上  是增 函数 , ( 事 实 上 联 想 熟 知 的 倒 数 函 数 Y=  
卫 +

+2


- t + 2 : £ 十 导+ 2 在 ( 0 ,  ] 内 单 调 递 减 ,  

上(=  

) 在( 0


I ] 上是 减函效 )  

即在( 0 , 1 】 上也 单调 递 减 . 所 以当 t =s i r  ̄ z=   1 , 即  :   时,   的 最 小 值 =1 +2+2=5 , 即 

设 z i =, (   ) , z 2 =厂 (   ) ( 6< , m≤ ,   口, 6, m, n∈ N) , 则  ?   ∈( 0 , 1 】 , z l , z 2 EM  因为  1 <衄 一 即 ,(   ) <,(   ) , 则  < 

值域 为  ∈[ 5 , +c o ) .   例 3 求 函 数 
* z



+ 42
— —









+ 2 5 x 1 7 x + 2 i  = _ z+ 7  

— —










1 06




.  

’  

∈【 一1 , 1 ]   ~ 

詈 , 必 存 在 有 理 数 詈 ( q < 户 , 户 , q E N ) , 使0 <  
鱼<卫 p < 塑 ≤1 , 所以 , (   ) <, (   ) <, (   )  
a n

时 的值域 .   解 : 变 形 函 数 的 表 达 式 为 Y=( z   +2 x+  
7 )   6 4   ~l
?

设 £  z   +2 z+7=( z+  

令z 。 = , ( 詈 ) , 则   l < x o < x 2 且却∈ M .  


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