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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第8讲 幂函数、指数与指数函数 Word版含解析


第8讲 幂函数、指数与指数函数

1 1.(2013· 广东省韶关市高三模拟)设 a=22.5,b=2.50,c=( )2.5,则 a,b,c 的大小关 2 系是( C ) A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 1 1 1 解析:因为 a=22.5>22=4,b=2.50=1,c=

( )2.5<( )2< ,故选 C. 2 2 4 f?4? 1 2.(2012· 山东省冠县武训二次质检)若 f(x)是幂函数,且满足 =3,则 f( )=( C ) 2 f?2? A.3 B.-3 1 1 C. D.- 3 3 f?4? 4α 1 解析:设幂函数为 y=xα,则由 =3,得 α=3,即 2α=3,所以 α=log23,所以 f( ) 2 2 f?2? 1 1 1 =( )log23=2-log23=2log2 = ,故选 C. 2 3 3 ?b ?a≥b? ? 3.(2012· 新课标提分专家高考 2 月预测)若定义运算 f(a*b)=? , 则函数 f(3x*3 ?a ?a<b? ? -x )的值域是( A ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) - - 解析:当 x>0 时,f(3x*3 x)=3 x∈(0,1);当 x=0 时,f(30] xax 4.(2013· 湖南省益阳第二次模拟)函数 y= (0<a<1)的图象的大致形状是( D ) |x|

x ? ?a ? 解析:根据绝对值的意义函数 y= x ?-a ?

?x>0? ?x<0?

,根据 0<a<1 可知 D 选项正确.


5.(改编)已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2, 2),则函数 y= α3x 2-4的定义域为 (-∞,0] . 1 1 - 解析:由 2=2α,得 α= ,所以 y= ? ?3x 2-4. 2 2 1 3x-2 于是由( ) -4≥0,得 x≤0, 2 即函数的定义域为(-∞,0]. 6.函数 y= 1-ax2-x-2(0<a<1)的定义域为 (-∞,-1]∪[2,+∞) . 解析:由 1-ax2-x-2≥0,得 ax2-x-2≤1=a0,

又 0<a<1,所以 x2-x-2≥0,即(x-2)(x+1)≥0, 所以 x≤-1 或 x≥2. 故函数的定义域为(-∞,-1]∪[2,+∞). 7.(2013· 广州一模)已知幂函数 y=(m2-5m+7)xm2-6 在区间(0,+∞)上单调递增, 则实数 m 的值为 3 . 解析:由 m2-5m+7=1,即 m2-5m+6=0,得 m=2 或 m=3. - 当 m=2 时,y=x 2,函数在区间(0,+∞)上单调递减,不满足条件; 当 m=3 时,y=x3,函数在区间(0,+∞)上单调递增,满足条件. 8.已知幂函数 y=(k2-2k-2)· xm2-2m-3(m∈N+)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+ ∞)上是减函数. (1)求 m 和 k 的值; m 1 (2)求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 2 解析:(1)因为函数 y=(k -2k-2)xm2-2m-3 为幂函数, 所以 k2-2k-2=1,即(k-3)(k+1)=0, 所以 k=3 或 k=-1,又函数在(0,+∞)上递减, 2 ? ? ?m -2m-3<0 ?-1<m<3 所以? ,即? ,所以 m=1 或 2. ?m∈N+ ?m∈N+ ? ? 而函数图象关于 y 轴对称,即函数为偶函数, - 所以 m=1,此时 y=x 4. 综上,得 k=-1 或 3,m=1. 1 1 (2)由(1),(a+1)- <(3-2a)- , 3 3 3a-2 1 1 1 1 2 3 即 < ,所以 < , <0,所以 a<-1 或 <a< . 3 2 a + 1 3 - 2 a ? a + 1 ?? 2 a - 3 ? 3 3 a+1 3-2a 2 3 故满足条件的 a 的取值范围是(-∞,-1)∪( , ). 3 2 9.已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24). (1)求 f(x)的表达式; 1 1 (2)若不等式( )x+( )x-m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围. a b 解析:(1)因为 f(x)的图象过 A(1,6),B(3,24), ?b· a=6 ? 则? 3 , ? a =24 ?b· 所以 a2=4,又 a>0,所以 a=2,则 b=3. 所以 f(x)=3· 2x. (2)由(1)知 a=2,b=3,则 x∈(-∞,1]时, 1 1 ( )x+( )x-m≥0 恒成立, 2 3 1 1 即 m≤( )x+( )x 在 x∈(-∞,1]时恒成立. 2 3 1x 1 又因为 y=( ) 与 y=( )x 均为减函数, 2 3 1x 1x 所以 y=( ) +( ) 也是减函数, 2 3 1 1 5 所以当 x=1 时,y=( )x+( )x 有最小值 ; 2 3 6 5 5 所以 m≤ ,即 m 的取值范围是(-∞, ]. 6 6


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