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高中数学复习专题讲座(第22讲)曲线轨迹方程的求法


题目 高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法 高考要求 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件 的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其 转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性 质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和 运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一

大难点 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标 化,列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲 线、抛物线、圆等),可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方 程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化, 我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹” 与“轨迹方程”是两个不同的概念
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典型题例示范讲解 y 例 1 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一 Q B 点,A、B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 R APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求 o P 曲线的轨迹方程 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的 距离公式建立线段 AB 中点的轨迹方程 错解分析 欲求 Q 的轨迹方程, 应先求 R 的轨迹方 程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较 易于求得的点的轨迹方程, 再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关 点,求得轨迹方程 解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2 -|OR|2=36-(x2+y2)
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又|AR|=|PR|= ( x ? 4 ) 2 ? y 2
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所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹 上运动
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设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得
( x?4 2
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x?4 2

, y1 ?

y?0 2

,

) ?(
2
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y 2

) ?4?
2

x?4 2

-10=0
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整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线 命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系 错解分析 当设 A、 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时, B 注意对 1=x2” “x 的讨论 技巧与方法 将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消 掉这些量,从而就建立了关于 x、y 的关系 解法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直线 AB 的方程为 x=my+a
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y

由 OM⊥AB,得 m=-

y x

A

由 y2=4px 及 x=my+a,消去 x,得 y2-4pmy-4pa=0 所以 y1y2=-4pa, x1x2=
( y1 y 2 ) (4 p )
2 2

o

? a

2

N
M B

x

所以,由 OA⊥OB,得 x1x2 =-y1y2 所以 a ? 4 p a ? a ? 4 p
2

故 x=my+4p,用 m=-

y x

代入,得 x2+y2-4px=0(x≠0)

故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点
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解法二

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设 OA 的方程为 y ? kx ,代入 y2=4px 得 A (
1 k k 1? k
2

2p 2p , ) 2 k k

则 OB 的方程为 y ? ? ∴AB 的方程为 y ?
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x ,代入 y =4px 得 B ( 2 p k , ? 2 p k )
2

2

( x ? 2 p ) ,过定点 N ( 2 p , 0 ) ,

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由 OM⊥AB,得 M 在以 ON 为直径的圆上(O 点除外) 故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点
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解法三

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设 M(x,y) (x≠0),OA 的方程为 y ? kx ,
2p 2p , ) 2 k k
1 k x ,代入 y =4px 得 B ( 2 p k , ? 2 p k )
2

代入 y2=4px 得 A (

则 OB 的方程为 y ? ?
由 OM⊥AB,得

2

M 既在以 OA 为直径的圆 又在以 OB 为直径的圆 除外) ,
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x ? y ?
2 2
2 2

2p k
2

x?

2p k

y ? 0 ??①上,

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x ? y ? 2 p k x ? 2 p ky ? 0 ??②上(O 点
2

① ? k +②得 x2+y2-4px=0(x≠0)
2

故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点 例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同 号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? 命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转 化为数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义,求两曲线的交点 错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺 利解答此题的关键 技巧与方法 研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆 心的轨迹方程 解 设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两等圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切 y 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 P |PA|+|PO|=(1+r)+(1 5-r)=2 5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2 5 的椭圆上, A o 其方程为 B
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x

16 ( x ? 25

1 4

)

2

?

2y 3

2

Q

=1



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同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 (x-
1 2 2

)+

4 3

y2=1
9 , 12 ), Q ( 9 14
3 7


,? 12 14 )

由①、②可解得 P (
3 2 9 14



14 14

∴r=

?

(

) ?(
2

12 14

)

2

?

故所求圆柱的直径为

6 7

cm

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例 4 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线 y 解 建立坐标系如图所示, M(x,y) 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0) 设 M(x,y)是轨迹上任意一点
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则由题设,得
(x ? a) ? y
2 2

| MA | | MB |

=λ ,坐标代入,得
A(-a,0)

o

B(a,0)

x

=λ ,化简得
2

(x ? a) ? y
2

(1-λ 2)x2+(1-λ 2)y2+2a(1+λ 2)x+(1-λ 2)a2=0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹 是直线(y 轴)
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(2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x2+y2+

2 a (1 ? ? )
2

1? ?

2

x+a2=0

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点M的

轨迹是以(-

a (1 ? ? )
2

1? ?
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2

,0)为圆心,

2a? |1 ? ? |
2

为半径的圆

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学生巩固练习 1 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线
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设 A1、 2 是椭圆 A

x

2

?

y

2

9

4

=1 的长轴两个端点, 1、 2 是垂直于 A1A2 P P )

的弦的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( A
x
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?

y

2

?1

B

y
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?

x

2

?1

9

4

9
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C 3
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x
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?

y

2

?1

D

y
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?

x

2

?1
a 2

9
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4

9

4

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△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(-
1 2

,0),C(
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a 2

,0),且满足条

件 sinC-sinB=
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sinA,则动点 A 的轨迹方程为_________

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4 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上, 且相距 10 m, 如果把 两旗杆底部的坐标分别确定为 A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端 仰角相等的点的轨迹方程是_________ E F 5 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6, O' D ⊙O′切直线 l 于点 A, 又过 B、 作⊙O′异于 l 的两切线, C A B 设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程
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C

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双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

=1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,
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引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程 7
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已知双曲线

x m

2 2

?

y n

2 2

=1(m>0,n>0)的顶点
y M A1 o A2 x P

为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、 Q (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、 准线方程和离心率
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Q

8

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已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

=1(a>b>0),点 P 为其上
y P Q R

一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角平分线为 l, 点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R (1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程;
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(2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l

F1
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o

F2

x

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y=k(x+ 2 a)与曲
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线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值 参考答案 1 解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 答案 A
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设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)
y ? y0 x ? x0 y ? y0 x ? x0 ? y x ?3

∵A1、P1、P 共线,∴

∵A2、P2、P 共线,∴
9 3y x

?

y x ?3

解得 x0= , y 0 ?
x

, 代入得

x0 9

2

?

y0 4

2

? 1, 即

x

2

?

y

2

?1

9

4

答案 3
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C
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由 sinC-sinB=

1 2

sinA,得 c-b=
a 2

1 2

a,
16 x a
2 2

∴应为双曲线一支,且实轴长为

,故方程为

?

16 y 3a

2

2

? 1( x ?

a 4

)

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答案

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16 x a
2

2

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?

16 y 3a

2

2

? 1( x ?

a 4

)

4

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设 P(x,y) ,依题意有

5 ( x ? 5) ? y
2
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?
2

3 ( x ? 5) ? y
2 2

,化简得 P

点轨迹方程为 4x2+4y2-85x+100=0 答案 4x2+4y2-85x+100=0 5 解 设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点,两切线交于 点 P 由切线的性质知 |BA|=|BD| , |PD|=|PE| , |CA|=|CE| , 故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立
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坐标系,可求得动点 P 的轨迹方程为 6 解 设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y) ∵A1(-a,0),A2(a,0)
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x

2

?

y

2

=1(y≠0)

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72

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? ? ?x 由条件 ? ? ?x ?

y ? a y ? a

? ?

y0 x0 ? a y0 x0 ? a

? ?1 ? ?1

? x0 ? ? x( x0 ? ? a ) ? 2 2 得? x ? a y0 ? ? y ?
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而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2
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即 b2(-x2)-a2(

x

2

? a y

2

)2=a2b2
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化简得 Q 点的轨迹方程为 a2x2-b2y2=a4(x≠±a) 7 解 (1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-
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m,0),A2(m,0),则 A1P 的方程为

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y=

y1 x1 ? m

(x ? m)



A2Q 的方程为

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y=-

y1 x1 ? m
2 2

(x ? m)



①?②得

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y2=-

y1
2

x1 ? m

(x

2

? m )
2



又因点 P 在双曲线上,故

x1 m

2 2

?

y1 n

2

2

? 1, 即 y 1 ?

2

n m

2 2

( x 1 ? m ).
2

2

代入③并整理得

x m

2 2

?

y n

2 2

=1

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此即为 M 的轨迹方程
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(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆

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(ⅰ)当 m>n 时,焦点坐标为(± m 2 ? n 2 ,0),准线方程为 x=±
m
2

m
2

2

,
? n
2

离心率 e=

m

? n

2



m
n n
2

2

(ⅱ)当 m<n 时,焦点坐标为(0,± m 2 ? n 2 ),准线方程为 y=±

,
? m
2

2

离心率 e=
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n

? m n

2
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8 解 (1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在同一直线上,设存在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0) |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2
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x1 ? c ? ? x0 ? ? 2 又? y1 ?y ? ? 0 2 ?

得 x1=2x0-c,y1=2y0 ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2 故 R 的轨迹方程为 x2+y2=a2(y≠0)
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(2)如右图,∵S△AOB=

1 2

|OA|?|OB|?sinAOB=
1 2

a

2

sinAOB
y B

2

当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 此时弦心距|OC|=
| 2 ak |
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a2

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C A

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o

x

1? k

2

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,
? | OC | | OA | ? | 2 ak |
2

? cos 45 ? ?

2 2

,? k ? ?

3 3

.

a 1? k

课前后备注

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