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2015-2016学年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4


第三章
三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式 提高篇

预习篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.会推导并记住二倍角公式. 2.能够运用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值 和证明问题.

重点难点
重点:二倍角公式的推导; 难点:二倍角公式的变形应用.

预习篇01
新知导学

二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导

在公式sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)中,令
α=β

,就可得到相应的二倍角的三角函数公式:

sin2α= 2sinαcosα cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α cos2α=

2tanα tan2α= 1-tan2α 上面三组公式,称为倍角公式.

1.倍角公式中的“倍角”是什么意思? 答:倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况,还可 α 3α 运用于4α作为2α的二倍,α作为 的二倍,3α作为 的二 2 2 α+β 倍,α+β作为 2 的二倍等情况.

2.公式S2α,C2α,T2α的适用范围是否相同? 答:在公式S2α,C2α中,角α可以为任意角;但公式T2α π π kπ 只有当α≠ +kπ,且α≠ + (k∈Z)时才成立,否则不成 2 4 2 π π 立(因为当α= +kπ,k∈Z时,tanα的值不存在;当α= + 2 4 kπ π ,k∈Z时,tan2α的值不存在).当α= +kπ,k∈Z时, 2 2 虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α π 的值可利用诱导公式,即tan2α=tan2( +kπ)=tan(π+2kπ) 2 =tanπ=0.

倍角公式的变形

2 2 (sin α ± cos α ) 2cos α ;1 1.1± sin2α= ;1+cos2α= 2 2sin α . -cos2α=

1-cosα 1+cosα 2α 2.sin = ;cos = ; 2 2 2 2


1-cosα tan = . 2 1+cosα


3.已知角α的某个三角函数值后,能唯一确定角2α的 三角函数值吗? 答:一般不能,在知道了角α的某个三角函数值,同时 知道2α的终边所在的象限时,就可以唯一确定角2α的三角 函数值了. 4.二倍角公式及变形公式的作用是什么? 答:利用上述公式不仅可以促成二倍角与单角的互 化,同时还可以实现式子次数的转化.

(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义. (2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比 3α 值等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是 2 的2倍.这 里蕴含着换元思想. (3)注意倍角公式的灵活运用,要会正用、逆用、变形 用.

(4)由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α中的角α π π 是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠±4 +kπ且α≠ 2 +kπ(k ∈Z).

课堂篇02
合作探究

给角求值问题

【例1】 求下列各式的值: π 5π (1)cos12cos12; π π π π (2)(cos -sin )(cos +sin ); 12 12 12 12 1 2π (3)2-cos 8; (4)sin10° sin30° sin50° sin70° .

【分析】

(1)先将余弦化为正弦,再添加系数2,即可

逆用倍角公式;(2)利用平方差公式之后,再逆用倍角公 1 式;(3)提取系数 后产生倍角公式的形式;(4)利用诱导公 2 式将正弦化为余弦,添加因式凑出二倍角公式的形式,然 后再逆用二倍角公式.

【解】

π π (1)原式=cos12sin12

1 π π =2×2cos12sin12 1 π 1 =2sin6=4. π π π 3 (2)原式=cos2 -sin2 =cos = . 12 12 6 2 1 2π (3)原式=2(1-2cos 8)

1 π 2 =-2cos4=- 4 . 1 (4)原式=2cos20° cos40° cos80° 2sin20° cos20° cos40° cos80° = 4sin20° sin40° cos40° cos80° sin80° cos80° = = 4sin20° 8sin20° 1 sin160° 1 =16· sin20°=16.

通法提炼 解答此类题目,一方面要注意角的倍数关系,另一方 面要注意函数名称的转化方法,同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.

求下列各式的值: 2tan150° (1)1-2sin 750° ;(2) ; 2 1-tan 150°
2

1 3 (3)sin10° -cos10° .

解:(1)原式=cos(2×750° )=cos1 500° 1 =cos(4×360° +60° )=cos60° =2. (2)原式=tan(2×150° )=tan300° =tan(360° -60° ) =-tan60° =- 3. cos10° - 3sin10° (3)原式= sin10° cos10°

1 3 2?2cos10° - 2 sin10° ? = sin10° cos10° 4?sin30° cos10° -cos30° sin10° ? = 2sin10° cos10° 4sin20° = sin20°=4.

给值求值问题

【例2】

π 4 5π 7π 3 若cos(4-x)=-5, 4 <x< 4 ,且x≠2π.

sin2x-2sin2x 求 的值. 1+tanx 【分析】 代入求解. π 化简所求式,使其出现角( 4 -x),整体

【解】

sin2x-2sin2x 2sinx?cosx-sinx?cosx = 1+tanx cosx+sinx

sin2x?cosx-sinx? = cosx+sinx 1-tanx =sin2x 1+tanx π =sin2xtan( -x) 4 π π =cos(2-2x)tan(4-x)

π π =[2cos (4-x)-1]tan(4-x),
2

5π 7π ∵ 4 <x< 4 , 3π π ∴- 2 <4-x<-π. π 4 又∵cos( -x)=- , 4 5 π 3 π 3 ∴sin(4-x)=5,tan(4-x)=-4. 16 3 21 ∴原式=(2×25-1)×(-4)=-100.

通法提炼 先化简,再求值,化简时要注意已知条件和结论中各 角之间的相互关系.尽量出现条件中的角, 以便能整体代 入,减少运算量.

π 5 π cos2x 已知sin( -x)= ,0<x< ,求 的值. 4 13 4 π cos? +x? 4

π sin?2+2x? 解:原式= π cos?4+x? π π 2sin? +x?cos? +x? 4 4 = π cos?4+x? π =2sin( +x). 4 π π 5 π ∵sin(4-x)=cos(4+x)=13,且0<x<4,

π π π ∴4+x∈(4,2), π ∴sin(4+x)= π 12 1-cos ?4+x?=13,
2

12 24 ∴原式=2× = . 13 13

三角函数式的化简与证明

【例3】

证明下列恒等式

1+sin2θ-cos2θ (1) =tanθ; 1+sin2θ+cos2θ 1 (2) = sin2α. 1 α 4 α-tan2 tan2 cos2α

【证明】

1+2sinθcosθ-?1-2sin2θ? (1)左边= 1+2sinθcosθ+?2cos2θ-1?

2sinθ?cosθ+sinθ? = 2cosθ?sinθ+cosθ? sinθ =cosθ=tanθ=右边,所以原式成立. cos2α (2)方法一:左边= α α cos2 sin2 α- α sin cos 2 2

α α cos αsin2cos2 cos2α = = α α 2 2 2α 2α cos 2-sin 2 cos 2-sin 2 α α sin2cos2
2

α α cos αsin cos 2 2 α α = =sin2cos2cosα cosα
2

1 1 =2sinαcosα=4sin2α=右边, ∴原式成立.

α cos αtan2 方法二:左边= 2α 1-tan 2
2

1 2 1 2 = cos α· = cos α· tanα 2 α 2 1-tan22 1 1 = cosαsinα= sin2α=右边, 2 4 ∴原式成立.

α 2tan 2

通法提炼

化简下列各式 1 1 (1) - ; 1-tanθ 1+tanθ 2cos2α-1 (2) . π π 2tan?4-α?sin2?4+α?

?1+tanθ?-?1-tanθ? 解:(1)原式= ?1-tanθ??1+tanθ? 2tanθ = =tan2θ. 1-tan2θ (2)原式= cos2α π π 2 π 2tan?4-α?cos ?2-4-α? cos2α π 2 π 2tan?4-α?cos ?4-α?





cos2α π π 2sin?4-α?cos?4-α?

cos2α cos2α = = =1. π cos2α sin?2×4-2α?

提高篇03
自我超越

——规范解答系列—— 二倍角公式的综合应用问题 【例】 已 知 函 数 f(x) = sin2ωx + 3 sinωxsin(ωx +

π 2)(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求函数
? 2π? f(x)在区间?0, 3 ?上的取值范围. ? ?

【思路分析】 (1)已知函数解析式是含有二次的三角函 数式,可利用二倍角公式降幂,化为 y=Asin(ωx+φ)+b 的 2π 形式.由给出的函数的最小正周期为 π,可利用 T= 确定 ω 出 ω 的值.
? 2π? (2)由区间?0, 3 ?求 ? ?

f(x)的取值范围,一定要先确定 ωx

+φ 的范围,再求 f(x)的取值范围.

【规范解答】

1-cos2ωx 3 ① (1)f(x)= + sin2 ωx 2 2

3 1 1 = 2 sin2ωx-2cos2ωx+2 π② 1 =sin(2ωx- ) + . 6 2 因为函数 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 所以 =π. 2ω 解得 ω=1.

π 1 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x-6)+2. 2π 因为 0≤x≤ , 3
③ 7π π π 所以-6≤2x-6≤ 6 ,

1 π 所以-2≤sin(2x-6)≤1. π 1 3 所以 0≤sin(2x-6)+2≤2, 即
? ? 2π? 3? f(x)在区间?0, 3 ?上的取值范围为?0,2?. ? ? ? ?

【解后反思】 (1)若不能熟练地应用二倍角公式进行降 幂,则在①处就会出现三角名称或符号的错误,直接影响后 面的求解. (2)若不能熟练逆用两角和差公式, 则在②处会出现三角 函数名称或角度的错误,这在解题中直接导致对 ω 的误解. π (3)若由 x 的取值范围,没有正确地求得 2x-6的取值范 围,即在③处出现错误,则直接导致对函数 f(x)的取值范围 的求解错误.

已知函数 f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1(x∈R, ω>0) π 的最小正周期为2. (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)的最大值, 并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合.

1+cos2ωx 解:(1)f(x)=2· 2 +sin2ωx+1 =sin2ωx+cos2ωx+2 π π = 2(sin2ωxcos4+cos2ωxsin4)+2 π = 2sin(2ωx+4)+2. π 2π π 由已知函数 f(x)的最小正周期为 ,可得 = , 2 2ω 2 所以 ω=2.

π (2)由(1)知 f(x)= 2sin(4x+4)+2. π π 当 4x+4=2+2kπ(k∈Z), π kπ 即 x=16+ 2 (k∈Z)时, π sin(4x+4)取得最大值 1,函数 f(x)的最大值是 2+ 2, π kπ 此时 x 的集合为{x|x=16+ 2 ,k∈Z}.


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