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北京市东城区2013届高三数学一模理科试题及答案


北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (理科)
共 40 分)

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 (1)已知全集 U ? {1, 2, 3, 4} ,集合 A ? {1, 2} ,那么集合 ?U A 为 (A) {3} (B) {3, 4} (C) {1, 2}
??? ? ????

(D) {2 , 3}
??? ?

(2)已知 A B C D 为平行四边形,若向量 A B ? a , A C ? b ,则向量 B C 为 (A) a ? b (C) b ? a
2

(B) a + b (D) ? a ? b
2

(3)已知圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 ,那么该圆圆心到直线 ? 的距离为 (A)
2 2

? x ? t ? 3, ?y ? t ?1

( t 为参数)

(B)

6 2

(C)

3 2 2

(D)

3 6 2
1 2

(4)某游戏规则如下:随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于 则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于 于
1 4 1 4



,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大

且小于

1 2

,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概

率为 (A)
3 16

(B)

1 4

(C)

3 4

(D)

1 16

(5)已知数列 { a n } 中, a1 ? 2 , a n ? 1 ? 2 a n ? 0 , b n ? lo g 2 a n ,那么数列 { b n } 的前 1 0 项 和等于 (A) 1 3 0 (B) 1 2 0 (C) 5 5 (D) 5 0

1

(6)已知 F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) 分别是双曲线 C 1 :
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点,

双曲线 C 1 和圆 C 2 : x ? y ? c 的一个交点为 P ,且 2 ? P F1 F 2 ? ? P F 2 F1 ,那么双曲 线 C 1 的离心率为
5 2

(A)

(B) 3

(C) 2

(D) 3 ? 1

(7)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ? 3 ,且当 x ? ? 3 时, f ( x ) ? 2 ? 3 .若
x

函数 f ( x ) 在区间 ( k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 (B) 2 或 ? 8 (C) 1 或 ? 7 (D) 1 或 ? 8 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (8)已知向量 O A , A B , O 是坐标原点,若 A B ? k O A ,且 A B 方向是沿 O A 的方向绕 着 A 点按逆时针方向旋转 ? 角得到的,则称 O A 经过一次 (? , k ) 变换得到 A B .现有向 量 O A = (1 ,1 ) 经过一次 (? 1 , k 1 ) 变换后得到 A A1 , A A1 经过一次 (? 2 , k 2 ) 变换后得到
????? ????????? ??????? A1 A 2 , … , 如 此 下 去 , A n ? 2 A n ? 1 经 过 一 次 (? n ,k n )变 换 后 得 到 A n ? 1 A n . 设 ??????? An ?1 An ? ( x , y ) , ? n ?
1 2
n ?1

(A) 2 或 ? 7

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

,kn ?

1 cos ? n

,则 y ? x 等于

1 n ?1 2 s in [ 2 ? ( ) ] 2 (A) 1 1 s in 1 s in ? s in n ? 1 2 2 1 n ?1 2 cos[2 ? ( ) ] 2 (C) 1 1 s in 1 s in ? s in n ? 1 2 2

1 n ?1 2 s in [ 2 ? ( ) ] 2 (B) 1 1 c o s 1 c o s ? c o s n ?1 2 2 1 n ?1 2 cos[2 ? ( ) ] 2 (D) 1 1 c o s 1 c o s ? c o s n ?1 2 2

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)复数 z ? ( 2 ? i)i 的虚部是 (10) ( x ?
2

. .

2 x

) 的展开式中 x 的系数是

6

3

2

(11)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是 位数之差是 .
A

,乙 5 次测试成绩的平均数与中

(12)如图,已知 P A 与圆 O 相切于 A ,半径 O C ? O P , A C 交
P O 于 B ,若 O C ? 1 , O P ? 2 ,则 P A ?

, PB ?



O

B

P

(13)有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻, 丙不排在两头,则这样的排法共有 种.
C

(14)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一 行增加两项,若 a n ? a ( a ? 0 ) , 则位于第 10 行的第 8 列的项
n

等于

, a 2 0 1 3 在图中位于

. (填第几行的第几列)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ A B C 中,三个内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 b sin A ? 3 acos B . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 a c 的最大值.

3

(16) (本小题共 14 分) 如 图 , 已 知 A C D E 是 直 角 梯 形 , 且 E D // A C , 平 面 A C D E? 平 面 A B C ,
? BAC ? ? AC D ? 90? , AB ? AC ? AE ? 2 ,
ED ? 1 2 A B , P 是 B C 的中点.

(Ⅰ)求证: D P // 平面 E A B ; (Ⅱ)求平面 E B D 与平面 A B C 所成锐二面角 大小的余弦值.

4

(17) (本小题共 13 分) 某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有 1,2,3,4,5,6 六个数字的形状相同 的卡片,其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规 则如下:每人每次不放回抽取一张,抽取两次. (Ⅰ)求所得奖品个数达到最大时的概率; (Ⅱ)记奖品个数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望.

5

(18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? a x ? a )e
2 ?x

, a 为常数, e 为自然对数的底) ( .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ? ( 2 ) ; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由 f ( x ) 的极大值构成的函数为 g ( a ) ,将 a 换元为 x ,试 判断曲线 y ? g ( x ) 是否能与直线 3 x ? 2 y ? m ? 0 ( m 为确定的常数)相切,并说明理由.

6

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别为 F1 ,F 2 , 离心率为

1 2

, F1 的 过

直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ M N F 2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到 直线 A B 的距离为定值,并求出这个定值.

7

(20) (本小题共 13 分) 设 A 是 由 n 个 有 序 实 数 构 成 的 一 个 数 组 , 记 作 : A ? ( a1 , a 2 , ? , a i , ? , a n ) . 其 中 a i
( i ? 1, 2 , ? , n ) 称为数组 A 的“元”, i 称为 a i 的下标. 如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数

组 A 中 不 同 下 标 的 “ 元 ” , 则 称 S 为 A 的 子 数 组 . 定 义 两 个 数 组 A ? ( a1 , a 2 , ? , a n ) ,
B ? ( b1 , b 2 , ? , b n ) 的关系数为 C ( A , B ) ? a 1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n .

(Ⅰ) A ? ( ? 若 的最大值; (Ⅱ)若 A ? (

1 1 设 求 , ) , ? ( ? 1,1, 2, 3) , S 是 B 的含有两个“元”的子数组, C ( A , S ) B 2 2

3 3

,

3 3

,

3 3

) , B ? (0, a , b , c ) ,且 a ? b ? c ? 1 , S 为 B 的含有三个
2 2 2

“元”的子数组,求 C ( A , S ) 的最大值;
? ( Ⅲ ) 若 数 组 A ? ( a 1 , a 2 , a 3 ) 中 的 “ 元 ” 满 足 a1 ? a 2 ? a 3 1 . 设 数 组
2 2 2

B m ( m? 1 , 2? 3 , 含有四个“元” b m 1 , b m 2 , b m 3 , b m 4 , n , )

, b m 1 2 ?b m 2 2 ?b m 3 2 ?b m 4 2 ? m 且

, A与 求

B m 的所有含有三个“元”的子数组的关系数 C ( A , B m ) ( m ? 1, 2, 3, ? , n ) 的最大值.

8

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案 (理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (6)D (3)C (7)A (4)A (8)B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 (12) 3
3

(10) 1 6 0 (13) 1 4 4

(11) 8 4 (14) a
89

2

第 4 5 行的第 7 7 列

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 b sin A ?
3 a co s B , 3 sin A co s B ,

由正弦定理可得 sin B sin A ?

因为在△ A B C 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ?
3.

又0 ? B ? ? , 所以 B ?
? 3

.
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2 a c co s B , 因为 B ?
? 3

,b ? 2 3 ,
2 2

所以 1 2 ? a ? c ? a c . 因为 a ? c ? 2 a c ,
2 2

所以 a c ? 1 2 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, a c 取得最大值 1 2 . (16) (共 14 分) 证明(Ⅰ)取 A B 的中点 F ,连结 P F , E F . 因为 P 是 B C 的中点, 所以 FP // AC , FP ?
1 2 AC .

9

因为 E D // A C ,且 E D ?

1 2

AB ?

1 2

AC ,

所以 ED // FP ,且 E D ? F P , 所以四边形 E F P D 是平行四边形. 所以 DP // EF . 因为 E F ? 平面 E A B , D P ? 平面 E A B , 所以 DP // 平面 E A B . (Ⅱ)因为 ? B A C ? 90 ? ,平面 E A C D ? 平面 ABC , 所以以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标 系 A ? xyz ,则 z 轴在平面 EACD 内. 由已知可得 A (0 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 , 0 ) , E (0 , 1, 所以 E B ? ( 2 , ? 1 , ?
??? ?
???? 3 ) , E D ? (0 , 1, 0 ) ,
3 ) , D (0 , 2 ,

3) .

设平面 E B D 的法向量为 n ? ( x , y , z ) .
??? ? ?n ? EB ? 0 , ? 由 ? ???? ?n ? ED ? 0 . ?

所以 ?

?2x ? y ? ? ?y ? 0. ?

3z ? 0 ,

取z ? 2 , 所以 n ? ( 3 , 0 , 2 ) . 又因为平面 A B C 的一个法向量为
m ? (0 , 0 , 1) .

所以 c o s ? n , m ? ?

n ?m n m

?

2 7 7



即平面 E B D 与平面 A B C 所成锐二面角大小的余弦值为 (17) (共 13 分) (Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为 10,概率为:

2 7 7



10

p ?

A2 A6

2 2

?

1 15



(Ⅱ) X 的可能取值是: 0, 2, 4, 6, 8,1 0 .
X

0
1 5 1 5 1 5

2
1 5 ? 2? ? 4? 1 5 ? 6? 4 15

4
1 5 ? 8? 1 15

6
4 15 ? 10 ? 1 15 ? 4.

8
1 15

10
1 15

p

所以 E X ? 0 ?

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ? x e
2 ?x



?x 2 ?x ?x f ? ( x ) ? 2 xe ? x e ? xe ( 2 ? x ) .

所以 f ? ( 2 ) ? 0 .
?x ?x 2 ?x 2 (Ⅱ) f ? ( x ) ? ( 2 x ? a )e ? e ( x ? a x ? a ) ? e [ ? x ? ( 2 ? a ) x ]

? ?e

?x

? x [ x ? ( 2 ? a )] .

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a . 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,
2 ?x f ? ( x ) ? ? x e ≤ 0 恒成立,

此时 f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? ? ) 上单调递减,没有极小值; 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ? ( x ) ? 0 . 若 0 ? x ? 2 ? a ,则 f ? ( x ) ? 0 . 所以 x ? 0 是函数 f ( x ) 的极小值点. 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, 若 x ? 0 ,则 f ? ( x ) ? 0 . 若 2 ? a ? x ? 0 ,则 f ? ( x ) ? 0 .

11

此时 x ? 0 是函数 f ( x ) 的极大值点. 综上所述,使函数 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值的 a 的取值范围是 a ? 2 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 2 ,且 x ? 2 ? a 时, f ? ( x ) ? 0 , 因此 x ? 2 ? a 是 f ( x ) 的极大值点,极大值为 f ( 2 ? a ) ? ( 4 ? a )e 所以 g ( x ) ? ( 4 ? x )e
g ?( x ) ? ? e
x?2 x?2 a?2



( x ? 2) .
x?2

?e

x?2

( 4 ? x ) ? (3 ? x )e ( x ? 2) .



令 h ( x ) ? (3 ? x )e

x?2

则 h ? ( x ) ? ( 2 ? x )e

x?2

? 0 恒成立,即 h ( x ) 在区间 ( ? ? , 2 ) 上是增函数.
2?2

所以当 x ? 2 时, h ( x ) ? h ( 2 ) ? (3 ? 2 )e 又直线 3 x ? 2 y ? m ? 0 的斜率为
3 2

? 1 ,即恒有 g ? ( x ) ? 1 .



所以曲线 y ? g ( x ) 不能与直线 3 x ? 2 y ? m ? 0 相切. (19) (共 13 分) 解: (I)由题意知, 4 a ? 8 ,所以 a ? 2 . 因为 e ?
b a
2 2

1 2

所以

?

a ?c
2

2

a

2

? 1? e ?
2

3 4



所以 b ? 3 .
2

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

(II)由题意,当直线 A B 的斜率不存在,此时可设 A ( x 0 , x 0 ) , B ( x 0 , ? x 0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上, 所以
x0 4
2

?

x0 3

2

? 1 , x0 ?
2

12 7



所以点 O 到直线 A B 的距离 d ?

12 7

?

2

21 7



12

当直线 A B 的斜率存在时,设直线 A B 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m , ? 由? x2 y2 消去 y 得 ? ?1 ? 3 ? 4

(3 ? 4 k ) x ? 8 km x ? 4 m ? 1 2 ? 0 .
2 2 2

由已知 ? ? 0 . 设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
8km 3 ? 4k
2

所以 x1 ? x 2 ? ?

, x1 x 2 ?

4m ? 12
2

3 ? 4k

2



因为 O A ? O B , 所以 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 所以 x1 x 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? 0 . 即 ( k ? 1) x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m ? 0 .
2 2

所以 ( k ? 1)
2

4m ? 12
2

3 ? 4k
2

2

?

8k m 3 ? 4k

2

2 2

?m

2

? 0.

整理得 7 m

2

? 12 ( k

? 1) ,满足 ? ? 0 .

所以点 O 到直线 A B 的距离
d ? |m | k ?1
2

?

12 7

?

2

21 7

为定值.

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)依据题意,当 S ? ( ? 1, 3 ) 时, C ( A , S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等及 B 中 a , b , c 三个“元”的对称性,
3 3

可以只计算 C ( A , S ) ?

( a ? b ) 的最大值,其中 a ? b ? c ? 1 .
2 2 2

由 (a ? b)2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2(a 2 ? b 2 ) ? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2 , 得 ? 2 ?a?b?
2.

13

当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ?
3 3

2 2

时, a ? b 达到最大值 2 ,
6

于是 C ( A , S ) ?

(a ? b) ?



3
3 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A , S ) ?

( a ? b ? c ) 的最大值,

由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 , 所以 ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 ab ? 2 ac ? 2 bc .
2 2 2 2

? 3( a ? b ? c ) ? 3 ,
2 2 2

当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?
3 3

时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A , S ) ?

3 3

(a ? b ? c) ? 1 .

综上所述, C ( A , S ) 的最大值为 1. (Ⅲ)因为 B m ? ( b m 1 , b m 2 , b m 3 , b m 4 ) 满足 b m 1 2 ? b m 2 2 ? b m 3 2 ? b m 4 2 ? m . 由 b m 1 , b m 2 , b m 3 , b m 4 关系的对称性,只需考虑 ( b m 2 , b m 3 , b m 4 ) 与 ( a 1 , a 2 , a 3 ) 的关系数的情况. 当 b m 1 ? 0 时,有 (
bm 2 m
bm 4 m
2

) ?(
2

bm 3 m

) ?(
2

bm 4 m

) ? 1.
2

a1

bm 2 m

? a2

bm 3 m

a1 ?
2

bm 2 m ?

2

a2 ?
2

bm 3 m ?

2

a3 ?
2

bm 4 m

2

? a3

? 2

2
2 2

2

?

a1 ? a

?a

2 3

?

b m ? b m ?3 b m 2
2 2

2 4

2

2m

?

1 2

?

1 2

? 1.

即 b m 1 ? 0 ,且 a 1 ?

bm 2 m

, a2 ?

bm 3 m

, a3 ?

bm 4 m

时,

a1 b m 2 ? a 2 b m 3 ? a 3 b m 4

的最大值为 m .

当 b m ? 0 时, b m 2 2 ? b m 3 2 ? b m 4 2 ? m ,
1

得 a1 b m 2 ? a 2 b m 3 ? a 3 b m 4 最大值小于 m . 所以 C ( A , B m ) 的最大值为 m ( m ? 1, 2, 3, ? , n ) .

14


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