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(新课标人教版A)数学必修一:1-2-1函数及其表示ppt课件


1.2

函数及其表示 函数的概念

1.2.1

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【课标要求】 1.理解函数的概念,明确函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域. 【核心扫描】 1.函数的概念,求函数的定义域.(重点) 2.对函数符号 y=f(x)的理解.(难点) 3.函数相等的判定.

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自学导引 1.函数的概念

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想一想:如何理解函数的对应法则? 提示:对应法则 f 是函数关系的本质特征,y=f(x)的意义是:y 就是 x 在关系 f 下的对应值, f 是“对应”得以实现的方法和 而 途径, f(x)=2x+6, 表示 2 倍的自变量加上 6, f(3)=2×3 如 f 如 +6=12.

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2.区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} 名称 闭区间 开区间 符号 [a,b] (a,b) 数轴表示

{x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]

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3.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}

符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
想一想:数集都能用区间表示吗? 提示 区间是数集的另一种表示方法,但并不是所有数集都能 用区间表示,如{1,2,3,4}就不能用区间表示.

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名师点睛 1.对函数的概念的理解 (1)y=f(x)表示 y 是 x 的函数,是一个整体符号,不是 f 与 x 的 乘积. (2)在 y=f(x)中,x 是自变量,f 代表对应关系. ①关于自变量,同学们刚接触的时候,会因为函数的定义而认 为自变量只能用 x 表示,其实用什么字母表示自变量都可以, 关键是符合定义,x 只是一个较为常用的习惯性符号,当然也 可以用 t 等表示自变量.

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②关于对应关系 f, 它是函数的本质特征, 它好比是计算机中的 某个“程序”, f( 当 )中括号内输入一个值时, 在此“程序”

作用下便可输出某个数据,即函数值.如 f(x)=3x+5,f 表示 “自变量的 3 倍加上 5”,如 f(4)=3×4+5=17. 提醒 f(x)与 f(a),a∈A 的区别与联系:f(a)表示当 x=a 时的函

数值,是常量,而 f(x)表示自变量为 x 的函数,表示的是变量.

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2.定义域的求法: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不为 0 的实数 的集合; (3)如果 f(x)为偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子 大于或等于 0 的实数的集合; (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义 域是使各部分式子都有意义的实数的集合.

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(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实 际情况. 函数定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者易忽视. (6)①若 y=f(x)的定义域为[a,b],则 f(g(x))的定义域是 a≤g(x)≤b 的解集;②已知 f(g(x))的定义域为[a,b],则当 x∈ [a,b]时,g(x)的函数值的取值集合就是 f(x)的定义域.

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题型一

函数概念的应用

【例 1】 下列对应关系是否为 A 到 B 的函数. (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=R,B=Z,f:x→y= x; (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. [思路探索] 可根据函数的定义直接判断.

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解 (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素, 故不是 A 到 B 的函数; (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x,按照对应关系 f:x→y=x2, 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应,故是集合 A 到 集合 B 的函数; (3)A 中为负数的元素没有平方根,故在 B 中没有对应的元素且 x 不一定为整数,故此对应关系不是 A 到 B 的函数; (4)对于集合 A 中任意一个实数 x,按照对应关系 f:x→y=0,在 集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应,故是集合 A 到集合 B 的函数.

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规律方法 判断一个对应关系是否为函数的步骤: (1)判断 A,B 是否是非空数集. (2)判断 A 中任一元素在 B 中是否有元素与之对应; (3)判断 A 中任一元素在 B 中是否有唯一确定的元素与之对应.

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【变式 1】 判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数. (1)A=R,B={0,1},对应关系
?1 ? f:x→y=? ?0 ?

?x≥0?, ?x<0?;

1 (2)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y= ; x (3)A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1; (4)A={1,2,3,4},B={-1,1},对应关系如图.

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解 (1)(4)是函数,(2)(3)不是函数. (1)对于 A 中任意一个非负数在 B 中都有唯一元素 1 与之对应, 对于 A 中任意一个负数在 B 中都有唯一元素 0 与之对应,所以 是函数. (2)集合 A 中的 0 元素在 B 中没有元素和它对应,故不是函数. (3)集合 A 中的 0 元素(或-1 等等), B 中没有元素和它对应, 在 故不是函数. (4)集合 A 中的 1 和 3 在集合 B 中有唯一的-1 与之对应,集合 A 中的 2 和 4 在集合 B 中有唯一的 1 与之对应,故是函数.

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题型二 相等函数的判定 【例 2】 判断下列各组函数是否是相等函数: x2-4 (1)f(x)=x+2,g(x)= ; x-2 (2)f(x)=(x-1)2,g(x)=x-1; (3)f(x)=|x|,g(t)= t2. [思路探索] 可根据函数的三要素进行判定.

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(1)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠2}.由于定义

域不同,故 f(x)与 g(x)不是相等函数. (2)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为 R,即定义域相同. 由于 f(x)与 g(x)解析式不相同, 则 f(x)与 g(x)不是相等函数. (3)两函数自变量所用字母虽然不同,但其定义域和对应关系一 致,故是相等函数.

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规律方法

判断两个函数 f(x)和 g(x)是否是相等函数的步骤是:

①先求函数 f(x)和 g(x)的定义域, 如果定义域不同, 那么它们不 相等,如果定义域相同,再执行下一步;②化简函数的解析式, 如果化简后的函数解析式相同,那么它们相等,否则它们不相 等.

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【变式 2】 判断下列函数是否是相等函数. (1)f(x)=2x+1(x∈R),g(x)=2x+1(x∈N*); (2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2; (3)f(x)=x2,g(x)=x x2. 解 (1)对应关系相同,但定义域不同,因而不是相等函数. (2)定义域、值域均相同,但对应关系不同,因而不是相等函数. (3)定义域相同,但对应关系不同,因而不是相等函数.

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题型三

求函数的定义域

【例 3】 (12 分)求下列函数的定义域: ?x+1?2 (1)y= - 1-x; x+1 5-x (2)y= . |x|-3 审题指导 列出不等式组 → 解不等式?组? → 得定义域

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[规范解答] (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
?x+1≠0, ? ? ?1-x≥0, ?

(3 分)

解得 x≤1 且 x≠-1, 即函数定义域为 {x|x≤1,且 x≠-1}.(6 分) (2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
?5-x≥0, ? ? ?|x|-3≠0, ?

(9 分)

解得 x≤5,且 x≠± 3, 即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠± 3}.(12 分)
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【题后反思】 (1)求函数的定义域之前,不能对函数的解析式 进行变形,否则可能会引起函数定义域的变化. (2)求函数的定义域,其实质就是以使函数的解析式所含运算有 意义为准则,其原则有:①分式中分母不为零;②偶次根式中, 被开方数非负;③对于 y=x0 要求 x≠0.

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【变式 3】 若 f(x-1)的定义域是[0,1],求 f(-x)的定义域. 解 ∵0≤x≤1,∴-1≤x-1≤0,

∴f(x)的定义域是[-1,0], 又由-1≤-x≤0,得 0≤x≤1, ∴函数 f(-x)的定义域是[0,1]

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误区警示

考虑问题不全面导致丢解

2kx-8 【示例】 已知函数 y= 2 2 的定义域为 R,求实数 k k x +3kx+1 的值. [错解] 函数的定义域为 R, k2x2+3kx+1≠0 对任意的实数 x 即 恒成立,∴Δ=9k2-4k2<0,此时 5k2<0,无解,∴k 值不存在. 本题忽视了 k=0 的讨论, 误认为 f(x)=k2x2+3kx+1 一定是二次函数.

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[正解] 问题转化为:求使 k2x2+3kx+1≠0 成立的 k 的值. -8 (1)k=0 时,y= 1 =-8,定义域为 R,∴k=0 符合题意. (2)k≠0 时,k2>0, ∴k2x2+3kx+1≠0,即 Δ=9k2-4k2<0,此时 5k2<0,无解. 2kx-8 综上,k=0 时函数 y= 2 2 的定义域为 R. k x +3kx+1

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求函数的定义域, 关键是依据含自变量 x 的代数式有 意义来列出相应的不等式求解,如开偶次方根,被开方数一定 是非负数.本题中 k2x2+3kx+1≠0 应注意二次项系数 k2 的讨 论,不可掉以轻心.

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