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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第74讲 曲线的参数方程及其应用 Word版含解析]


第74讲 曲线的参数方程及其应用

?x=1+t ? 1.(2012· 北京市海淀区高三 5 月二模)直线? (t 为参数)的倾斜角的大小为( D ) ?y=1-t ? π π A.- B. 4 4 π 3π C. D. 2 4 解析:将直线方程化为普通方程为 y=-x+2, 3π 则 k=-1=tan θ,所以 θ= ,故选 D. 4 ?x=2cos θ ?

2.(2012· 北京市石景山区一模)圆? (θ 为参数)的圆心坐标是( A ) ?y=2sin θ+2 ? A.(0,2) B.(2,0) C.(0,-2) D.(-2,0) 解析:消去参数 θ,得圆的方程为 x2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(0,2),故选 A. 2 ? ?x=3t +2 3.(2012· 山西省太原市 2 月)参数方程? (0≤t≤5)表示的曲线是( A ) 2 ?y=t -1 ? A.线段 B.双曲线 C.圆弧 D.射线 解析:由参数方程消去 t2 有 x-3y-5=0, 又 0≤t≤5,所以-1≤t2-1≤24,即-1≤y≤24, 故曲线是线段 x-3y-5=0(-1≤y≤24). 4.(2012· 江西省临川第二次模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,以极点为平面直 角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?x=-1+4t ? ? (t 为参数),则直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长为( B ) ? ?y=3t 4 8 A. B. 5 5 C.2 D.3 解析:曲线 C 的普通方程是 x2+y2=1,直线 l 的方程是 3x-4y+3=0,圆心(0,0)到直 3 9 8 线 l 的距离 d= ,所以弦长为 2 1- = ,故选 B. 5 25 5 ?x=4cos θ 5.(2012· 广东省惠州市高三第四次调研一模)曲线? (θ 为参数)上一点 P 到 ?y=2 3sin θ 点 A(-2,0)、B(2,0)的距离之和为 8 . ?x=4cos θ x2 y2 解析:曲线? 表示椭圆,其标准方程为 + =1.可知点 A(-2,0),B(2,0) 16 12 ?y=2 3sin θ

为椭圆的焦点,故|PA|+|PB|=2a=8.
? ?x=sin θ 6.(2012· 广东省惠州市第二次调研)曲线? (θ 为参数)与直线 y=a 有两个公共 2 ? ?y=sin θ 点,则实数 a 的取值范围是 (0,1] .

? ?x=sin θ 解析: 曲线 ? (θ 为参数 ) 为抛物线段 y = x2( - 1≤x≤1) ,借助图形直观易得 2 ?y=sin θ ? 0<a≤1. 7.(2012· 内蒙古赤峰市宁城县 3 月统考)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴 π 为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为(4, ).若直线 l 过点 P,且倾 2 π 斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径. 3 (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. 1 x=1+ t 2 解析: (1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数); 圆 C 的极坐标方程为 ρ=8sin 3 y=-5+ t 2 θ. π (2)因为点 M(4, )对应的直角坐标为(0,4),直线 l 化为普通方程为 3x-y-5- 3=0, 2 |0-4-5- 3| 9+ 3 圆心到直线 l 的距离 d= = >4,所以直线 l 与圆 C 相离. 2 3+1

? ? ?

8.(2012· 河北省唐山市第三次模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; 1 x= t 2 (2)直线 l: (t 为参数)与曲线 C 交于 A、B 两点,与 y 轴交于 E,求|EA| 3 y=1+ t 2

? ? ?

+|EB|. 解析:(1)在 ρ=2(cos θ+sin θ)中, 两边同乘以 ρ,得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 则 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0,设点 A、B 对应的参数分别为 t1、t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 5.


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