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直线与圆的方程的应用


直线与圆的方程的应用

一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆 (x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为
d?
位置 d与r的大小关系

| Aa ? Bb ? C | A ?B
2 2


相切 d=r 相交 d<r r

r />
相离 d>r r

图形

d 0个

d

r

d

交点个数

1个

2个

判断直线和圆的位置关系
几何方法 代数方法

求圆心坐标及半径r (配方法)

? ( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? r 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0
消去y

圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)

px 2 ? qx ? t ? 0
?Δ > 0: 相交 ? Δ = 0: 相切 ? ?Δ < 0: 相离 ?

?d < r: 相交 ? ?d = r: 相切 ?d > r: 相离 ?

例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的 圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用 一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). P2 P

A

A1

A2 O A3

A4

B

y

分析:建立如图所示 的直角坐标系,把实 际问题转化为数学问 题——求出圆拱桥所 A A1

P2

P

x

A2 O A3

A4

B

在的圆的方程;然后解决这个实际问题——利用圆 的方程求出点P2的坐标,从而求线段A2P2的长,解释 实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.

解:建立如图所示的 直角坐标系,使圆心 在y轴上,设圆心的 坐标是(0,b),圆 A A1

y

P2

P

x

A2 O A3

A4

B

的半径为r,那么圆的方程为:x2+(y-b)2=r2, 点P(0,4),B(10,0)在圆上,所以有
2 2 2 ? 0 +(4 b) = r , ?b ? ?10.5, ? 解得: ? 2 2 ? 2 2 2 r ? 14.5 , 10 + b = r , ? ? ?

2 2 2 所以,圆的方程为:x ? ( y ? 10.5) ? 14.5



P2 的横坐标 x ? ?2

代入 圆的方程得:

(?2)2 ? ( y ? 10.5)2 ? 14.52

由题可知y>0,解得:y≈3.86(m) 答:支柱A2P2的高度约为3.86 m.

思考:不建立坐
标系,如何解决

这个问题?

B

C

解法如下
, 在Rt △COA中 CA ? CO ? OA 作P 2 H ? OP
2 2 2

即 得 CH 中, 在 Rt△CP2 H

得 r ? 14.5.
2

? r 2 ? OA2

2

? 206.25,
H

又 OC ? 14.5 ? 4 ? 10.5,
OH = CH - OC ? 3.86.

B

C

所以支柱A2P2的高度约是3.86m.

例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.

探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”,首先

要考虑的问题是建立适当的直角坐标系,关键是
如何选取坐标系? 如图所示
O

y

x

探究:如图所示,设四边形的四个顶点分别为 A(a,
0),B(0,b),C(c,0), D(0,d),那么BC边的

长为多少?
B

y M A x E

BC ? c 2 ? b 2

C
O

D

探究:四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示?
y M A

B

C
N D
O

O' E

x

过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂 线,垂足为M、N、E,则M、N、E分别为AC、BD、

AD的中点,由中点坐标公式,有:

a?c b?d xO ' ? xM ? , yO ' ? yN ? 2 2

a xE ? , 2

d yE ? , 2

证明:以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系,设A

(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d),过
四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD的垂线, O? 垂足为M、N、E,则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点, y B C N D
O

M O' E

A x

第一步:建立坐 标系,用坐标 表示有关的量.

a+c x M = x O' = , 2

由中点坐标公式,有: a d x E = , yE = , 2 2
b+d y N = y O' = . 2

第二步:进行 有关代数运算

由两点间的距离公式,有:
d b+d 2 a a+c 2 1 2 O'E = ( ) +( ) ? b ? c 2, 2 2 2 2 2

BC ? b2 ? c2,

1 所以 O ' E ? BC , 2 即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 .

第三步:把代数 运算结果翻译成 几何关系.

【提升总结】
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”: 第一步: 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转

化为代数问题.
第二步: 通过代数运算,解决代数问题.

第三步: 把代数运算结果“翻译”成几何结论.

练习:课本 132页4题

练习.如图,直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边 的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于

P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.

2.如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平 面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(n,0), Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2

=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).

2.向量的方法:

与圆有关的最值问题

1.已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上一点P到 点A距离的最大值是 ,最小值是 .

【解析】1.方法一(几何法):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结 合图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1. 方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则 |PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x, 因为-2≤x≤2, 所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5; 当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1.

答案:5

1

与圆有关的最值问题

2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,
则x-y的最大值和最小值分别是______和________.

y 的最大值和最小值分别 是 x



x2+y2的最大值和最小值分别是_____和_____.

2.(1)设x-y=b,则y=x-b与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,

2?b 1 ?1
2 2

? 3,

即 2 ? 6 ? b ? 2+ 6. 所以

故x-y最大值为2+ 6,最小值为2- 6 .

y (2)设 x =k,则y=kx与x2+y2-4x+1=0 2k ? 3, 有公共点,即 2 1? k y 所以 ? 3 ? k ? 3 ,故 最大值为 3 ,最小值为? 3. x

(3)圆心(2,0)到原点距离为2,半径r= 3,

故(2- 3 )2≤x2+y2≤(2+ 3 )2.
由此x2+y2最大值为7+4 3 ,最小值为7-4 3 . 答案: 2? 6 2? 6

3 ? 3 7?4 3 7?4 3

方程 1 ? x 2 =kx+2有惟一解,则实数k的范围是( )

3
A.k=±
C.k<-2或k>2

B.k∈(-2,2)
D.k<-2或k>2或k=±

3

【解析】选D.由题意知,直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y≥0①) 只有一个交点.结合图形易得k<-2或k>2或k=? 3.

【类题试解】方程 x ? 1= 2y ? y 2 表示的曲线为 A.两个半圆 C.半个圆 B.一个圆 D.两个圆

(

)

【解析】选A.两边平方整理得:(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|1≥0得x≥1或x≤-1,所以(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)或

(x+1)2+(y-1)2=1(x≤-1),所以为两个半圆,故选A.

练习:课本 144页B组3题

1.若⊙O1:x2+y2=5与⊙O2:(x-5)2+y2=20(m∈R)
相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,

则线段AB的长度是( D )
A.1 B.2 C.3 D.4

解:选D.由题意作出图形 分析得:由圆的几何性质 两圆在点A处的切线互相垂 直,且过对方圆心C2,C1. 则在Rt△C2AC1中, |C1A|=
5 ,|C2A|= 20,斜边上的高为半弦, AB 用等积法易得: ? 5 ? 5 ? 20 ? AB ? 4. 2

3.(2012 ? 江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,圆C 的方程为x 2 + y 2 - 8x +15 = 0,若直线y = kx - 2上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点, 则k的最大值是多少?

分析:从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及 直线与圆的位置关系角度处理.
解:方法一:设直线上一点(t,kt - 2),则圆心距满足
2 2 (t - 4)+ (kt - 2) ? 2对t ? R有解. 2 2 即(1+ k)t (4k + 8)t + 16 ? 0有解, 2 2 所以有(4k + 8)4×16(1+ k) ? 0,

4 4 所以0 ? k ? ,所以k的最大值为 . 3 3 方法二:由题意,C到直线的距离不大于2, 4 4 d= ? 2所以0 ? k ? ,所以k的最大值为 . 3 3 k2 + 1 4k - 2

1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和 最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 ( )

A.5 2

B.10 2 C.15 2

D.20 2

【解析】1.选B.圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10, 设圆心为G,易知G(1,3),最长弦AC为过E的直径,则|AC|= 2 10, 最短弦BD为与GE垂直的弦,如图所示,易得|BG|= 10 ,|EG|=

? 0 ? 1? ? ?1 ? 3? ? 5, |BD|=2|BE|= 2 BG ? EG ? 2 5.
2 2
2 2

所以四边形ABCD的面积为S= 1 |AC||BD|=10 2.

2

【变式练习】
某次生产中,一个圆形的零件损坏了,只剩下了如图所
示的一部分.现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的 零件,为了获得这个圆形零件的半径,陈师傅在零件上画了 一条线段 AB,并作出了 AB 的垂直平分线 MN,而且测得 AB=8 cm,MN=2 cm.根据已有数据,试帮陈师傅求出这个

零件的半径.

N B M

A

解:以 AB 中点 M 为原点,建立如
图所示的平面直角坐标系,由已知有
y
N A


A(-4,0),B(4,0),N(0,2).
设过 A,B,N 的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 代入 A,B,N 的坐标,可得
?16 - 4D + F = 0, ? ?16 + 4D + F = 0,解得 ? 4 + 2E + F = 0, ?
? D = 0, ? ? E = 6, ?F = -16. ?

B x

M

因此所求圆的方程为
x2+y2+6y-16=0,
A

y N


B x

化为标准方程是
x2+(y+3)2=52,

M

所以这个零件的半径为 5 cm.

1.用坐标法解决几何问题的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程
表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.

2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则 固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握 一些方法和技巧.


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