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2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库:考点10 变化率与导数、导数的计算(含详解,13高考题)]


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考点 10 变化率与导数、导数的计算
一、选择题 1.( 2013 ·大纲版全国卷高考理科·T 9 )若函数 函数,则 a 的取值范围是( A. ?-1,0? ) C. ?0,3?
1 2
f ( x)

? x 2 ? ax ? 1 在 ( 1 ,??) 是增 2 x

B. ?-1,??

D. ?3,+??

【解题指南】先求出 f ( x) 的导函数 f ?( x) ,利用 x ? ( ,?? ) 时 f ?( x) ? 0 确定 a 的取 值范围 .
1 1 ,因为 f ( x) 在 x ? ( ,?? ) 上为增函数,即当 2 2 x 1 1 1 1 x ? ( ,?? ) 时, f ?( x) ? 0 . 即 2 x ? a ? 2 ? 0 ,则 a ? 2 ? 2 x ,令 g ( x) ? 2 ? 2 x ,而 g ( x) 2 x x x 1 在 x ? ( ,?? ) 上为减函数,所以 g ( x) max ? 3 ,故 a ? 3 . 2

【解析】选 D. f ?( x) ? 2 x ? a ?

二、填空题 2. ( 2013 · 江西高考理科· T 13) 设函数 f(x)在 ( 0, +∞) 内可导, 且 f(e x)=x+ex, 则 f ?(1) =__________. 【解题指南】先求出函数 f( x)的解析式,进而可求 f ?(1) . 【解析】设 t ? ex ,则 x ? ln t ,故 f (t )? ln t? t , f ?(t) ? ? 1 ,所以 f ?(1)? 1? 1? 2. 【答案】 2 3.( 2013·江西高考文科·T 11 )若曲线 y ? x ? ? 1( α ∈ R)在点( 1 , 2 )处 的切线经过坐标原点,则 α = 【解题指南】根据导数的几何意义求出切线方程,再把原点代入 . 【解析】因为 y? ? ?x??1 ,所以令 x=1 得切线的斜率为 ? ,故切线方程为
1 t

y ? 2 ? ?(x ? 1) ,代入( 0,0 )得 ? ? 2 .

【答案】 2 4. ( 2013 ·广东高考理科·T 10 )若曲线 y ? kx ? ln x 在点 (1,k )处的切线平行 于 x 轴,则 k= .

【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可 先求导 . 【解析】对 y ? kx ? ln x 求导得 y? ? k ? ,而 x 轴的斜率为 0,所以在点 (1, k ) 处切 线的斜率为 y? x?1 ? k ?1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . 【答案】 -1. 三、解答题 5.( 2013 ·北京高考理科·T 18 )设 l 为曲线 C: y ? 线. (I)求 l 的方程 . (II)证明:除切点 (1, 0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 . 【解题指南】( 1 )先求出切点处的导数,再代入点斜式方程求切线方程 .
ln x ,再转化为求 f ( x) ? x( x ?1) ? ln x( x ? 0) 的极小值问题 . x 1 ? ln x 【解析】( 1) y ' ? 2 ,于是 y ' |x ?1 ? 1 ,因此 l 的方程为 y ? x ? 1 . x ln x ( 2)只需要证明 ?x ? 0且x ? 1 时, x ? 1 ? . x 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 设 f ( x) ? x( x ? 1) ? ln x, x ? 0 ,则 f '( x) ? 2 x ? 1 ? ? , x x
ln x 在点 (1, 0) 处的切 x

1 x

( 2)转化为 x ? 1 ?

当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在( 0, 1)上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增 . 所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值,也是最小值 . 所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ( x ? 1) .

因此,除切点 (1, 0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 .

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