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杨氏双缝干涉中的两个近似计算及其误差分析


第 17 卷第 4 期 2004 年 12 月

海南师范学院学报 ( 自然科学版)
JOURNAL OF HAINAN NORMAL UNIVERSITY( NATURAL SCIENCE)

Vol. 17 No. 4 Dec. 2004

文章编号 : 1671- 8747( 2004) 03- 0333

- 04

杨氏双缝干涉中的两个近似计算及其误差分析
刘桂香 , 熊建文
1 1, 2

( 1. 华南师范大学 物理与电信工程学院, 广东 广州 510631; 2. 西安交通大学 生物医学 信息工程教育部重点实验室 生命科学与技术学院 , 陕西 西安 710049)
摘 要 : 分析了点光源杨氏双缝 干涉中 光程差的 近似计 算及其 误差产 生原因 , 也分 析了带 状

光源 杨氏双缝干涉中光源宽度临界值的近似计算及其误差产生原 因 , 同 时给出了两 个近似计 算的 新的适用条件 . 关键词 : 杨氏双缝干涉 ; 光程差 ; 光源带宽 ; 误差 中图分类号 : O 436. 1 文献标识码 : A

物理学上的一些近似计算是十分必要的 , 有了合理的近似, 抓住现象的实质 , 能为问题的 处理带来方便. 但研究光的干涉时, 光程差的近似计算应十分谨慎, 这是因为近似光程差产生 的误 差要远小于半个波长, 否则就会影响对结果的正确分析. 在现行的许多光学教材中, 点光 源杨氏双缝干涉中光程差的近似计算是在满足缝宽于小 1 mm 及缝到屏幕距离为 1~ 10 m 条 件下得到的, 带状光源杨氏双缝干涉中带状光源宽度临界值的近似计算也是在上述条件下得 到的 . 这两个近似计算在近似过程中忽略的部分稍小于半个波长甚至跟半个波长差不多 . 笔者 认为这种误差不可忽略, 在本文中笔者分析了两个近似计算带来的问题, 同时给出了两个近似 计算的新的适用条件 .

1 杨氏双缝干涉中的两个近似计算
1. 1 光程差的近似计算公式 图 1 为点光源或线光源杨氏双缝干涉示意图 . 设光

源的波长为 , r 是光波 1、 2 到达 p 点的光程差, x 表 示的是屏幕上 P 处的位置坐标. 一般实验中 , 取 D = 1 ~ 10 m, b < 1 mm, x < 10 cm. 在 D 、 b、 x 之间的大小 关系为 D x b . 由图中几何关系可得 r b sin =

图1

点光源或线光源杨氏双缝干涉示意图

b ( x - b 2) bx b 2 = . D D D b 2 D
2

2

( 1)

一般 b 比 x 小一个到两个数量级 , 所以有 bx , D ( 2)

收稿日期: 2004- 04- 13 作者简介: 刘桂香 ( 1976- ) , 女 , 湖南邵阳人 , 华南师范大学在读硕士研究生 , 研究方向为光电技术及其应用 .

334
2

海南师范学院学报( 自然科学版) b 2 可以忽略, 从而得到 D r bx . D

2004 年

故( 1) 中

( 3)

1. 2

光源带宽临界值的近似计算

如图 2, 当光源具有一定宽度( 即为带状光源) 时 , 可以把它看作由很多点光源构成 . 各个点光源在屏幕 上形成各自的干涉花样, 这些干涉花样间有一定位移 , 使总的干涉花样幕糊不清 , 从而降低干涉条纹的可见 度. 先考虑看作两个线光源时的情况 : 图 2 中虚线表示 双缝中心线上的线光源 S 发出的光线, 实线表示边沿 线光源 S 发出的光线, b 到 S 1 和 S 2 的光程为 d . 由图中几何关系可得 S
2

图2

带状光源杨氏双缝干涉示意图

r = r1 - r2 由于 b 2 是一个二阶小量 , 可略去 , 从而有 d r = 当 r =
2

ab b 2 + , d d

( 4)

ab . d

( 5)

ab 即 = 时干涉条纹的可见度为零, 此时所对应的光源宽度为带状光源宽度 2 d 2 的临界值 , 可表示为 d a= . ( 6) 2b

2
2. 1

两个近似计算的误差原因分析
点光源杨氏双缝干涉中光程差的近似计算产生误差的原因 bx , 这虽然合乎数学上的近似计算原理 , 但由物理原理知: 由 1. 1 中的( 2) 可近似得到 r D 2 时 P 处则为暗条纹. 这说明 r 每改 2 的误差就将改变 P 处的
2

当 r = 2k 时图 1 中 P 处为明条纹, 而当 r = ( 2k + 1) 变一个 2

, 条纹的明暗状态将改变一次, 也即计算得到的 r 值只要有
2

, 因而不能仅在( 2) 的条件下就忽略 b 2 . x 表示的是屏幕 2 D b 上 P 处的位置坐标, 应与屏幕上出现明显干涉现象的坐标最大值 x max 相区分; 显然 x 并不对 2 bx = 2, 在通 任意 x 都成立, 当然 ( 2) 也就不成立. 如对于一级暗纹 , 由 r 可得 x = D D 2 b 5 常的杨氏双缝干涉实验条件下取 D 10 m、 = 500 nm、 b = 1 mm 代入得 x = 2. 5 mm b. 2 2. 2 带状光源杨氏双缝干涉中光源宽度临界值的近似计算产生误差的原因 2 ab b 2 在 1. 2 中由于 d 是一个二阶小量 , 所以 r d . 这不合乎数学上的近似计算原理 , 因

明暗状态. 因( 2) 并不能保证 b 2 D

第4期

刘桂香等 : 杨氏双缝干涉中的两个近似计算及其误差分析 b 2 ab b 2 是 的高阶小量即 d d d
2 2

335

b b 2 时 才可忽略. 另 2 d ab 外从物理角度来看 : 当干涉条纹的可见度为零时光源带宽的临界值由 r = 求得, 而 d 2 2 b 2 在通常的杨氏双缝干涉实验条件下取 d 10 m、 = 500 nm、 b = 1 mm 时有 , 所以不 d 2 2 b 2 能认为 是二阶小量就略去 . d 为从数学角度看只有 ab , 也就是当 a d

2

3

影响两个近似计算误差大小的因素
b 2 b 2 在误差原因的分析中, 只有当 D 和 d 的值远远小于 2 时才能忽略 . 由于这两个表达式
2 2

形式一致 , 现用 L 替代 D 和 d , 并令 = 500 nm、 b = 0. 5 mm 与 和 .

=

b 2 L ,

2

=

2=

b

2

1 2、 3 分别为 b = 1 mm 与 L . 表 1、 = 500 nm 时, L 取不同值所得的

= 500 nm 、 b = 0. 2 mm 与
关系表 ( b = 1 mm, 10 50. 0 20 15 33. 0 13

表 1 L、 和 L m nm % 1 500. 0 200 2 250. 0 100 表2 L m nm % 1 125. 0
50. 0

= 500 mm) 20 25. 0 10 25 20. 0 8 30 17. 0 7 40 12. 5 5

5 100. 0 40 L、 和

关系表 ( b = 0. 5 mm, 10 12. 5
5. 0

= 500 mm) 20 6. 0
2. 5

2 62. 5
25. 0

5 25. 0
10. 0

15 8. 3
3. 3

25 5. 0
2. 0

30 4. 0
1. 6

表 3 L、 和 L m nm % 1 20 8. 0

关系表 ( b = 0. 2 mm, 2 10 4. 0 5 4 1. 6

= 500 mm) 10 2 0. 8 20 1 0. 4

根据表 1、 2、 3 中数据得出不同 b 值时 - L 关 系曲线如图 3 所示. 由表 1、 2、 3 和图 3 可知 : 1) 上曲线为 b = 1. 0 mm, 中间曲线为 b = 0. 5 mm, 下曲线为 b = 0. 2 mm, b 值越小L 值越大 时 越小 . 2) 当 b = 1. 0 mm, L b = 0. 5 mm, L 10 m 时 , 2 m 时, 4% . 40. 0 m 时 5% ; 5% ; b = 0. 2 mm,

L

4

两个计算公式的近似条件
由以上分析可知 , 只有当 5% 时才可忽
图3 不同 b 值时 L 的关系曲线

336
2 2

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2004 年

b 2 b 2 略 和 , 而在通常的杨氏缝干涉实验条件中, 当 D 取 1 ~ 10 m, b < 1 mm, d 取 1~ 10 mm D d 时, 并不一定满足 5% , 所以 1) 当光源为点光源时 , 保证 r = bx - b 2 D D 置坐标 x 无关 . 考虑到实验的实际操作 , 满足 b
2

bx 的条件应由b 2 D D 0. 5 mm 和 D

2

2

来决定, 与 P 点位 bx . D

10 m 时 , r ab + b 2 d d
2

2) 在考虑光源带宽对干涉条纹可见度的影响时 , 保证 r 0. 5 mm 且 D

ab 的条件是 b d = 632. 8 nm,

10 m, 从而得 a 的临界值 a = d . 当采用氦- 氖激光器作光源时 2b 取 b = 0. 5 mm, d = 10 m, 则 a = 6. 3 mm.
参考文献 :

[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5]

姚启钧 . 光学教程 ( 第 2 版 ) [M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 1989. 赵凯华 , 钟锡华 . 光学 [M ] . 北京 : 北京大学出版社 , 1982. 赵成美 , 丁兰英 . 干涉与衍射 [ M] . 北京 : 科学出版社 , 1991. 王 平 , 王玉琢 , 于小平 . 杨氏双缝干涉实验中关于近似光程差 的研究[ J] . 山东师范 大学学报 ( 自然 科学 版) , 2001, 16( 4) : 465- 466. 李 莉 . 光程差计算中的近似问题 [ J] . 大学物理 , 2002, 21( 4) : 18- 19.

Two approximate calculations and their error analysis in Young s double slot interference
LIU Gui xiang , XIONG Jian wen
1 1, 2

( 1. College of Physics and Telecommunication Engineering , South China Normal University , Guangzhou 510631, China ; 2. College of Life Science and Technology , Key Laboratory of Biomedical Information Engingeering of Ministry of Education , Xi an Communications University , Xi an 710049, China ) Abstract: In this paper, two approximate calculation equations are given, of which one is about the approximate cal culation of the interference experiment while the other is about the approximate calculation of the critical value of the width of the coiled light source. Not only the reason for errors and the factor affecting errors magnitude are analyzed , but the new applicable condition for the two approximate calcutaions is given as well. Key words: Young s double slot interference; optical path difference; co iled lamp house; error


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