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2013西城查漏补缺数学


一、选择题: 1.在极坐标系中, 方程 ? 2 cos 2? ? 1 所表示的曲线为( (A)圆 (B)椭圆

) (D)抛物线

(C)双曲线

2.已知不等式 (A)

1 4

x?5 ? 0 的解集为 M .若 x0 ? M ,则 log2 ( x0 ? 1) ? 1 的概

率为( x ?1 1 1 2 (B) (C) (D) 3 2 3



3.函数 y ? e x 的图象与直线 x ? 0 , y ? e 所围成区域的面积是( (A) 1 (B) e (C) e ? 1

) (D) e ? 2

4.某正三棱锥的三视图如图所示,其中正(主) 视图是边长为 2 的正三角形,则该正三棱锥 的侧面积是 (A) 3 3 (C) 4 3 (B)

3 15 2

(D) 30

5. 【理】已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5,6} , B ? {4,5, 6, 7} .则满足 C ? A ,且 C 合 C 的个数是( (A) 57 ) (B) 56 (C) 8 (D) 7

B ? ? 的集

F 为该抛物线的焦点. 6. 设 A, B 是抛物线 y ? 4 x 上的不同两点, 若 FA ? ?4 FB , 则直线 AB
2

的斜率为( (A) ?

) (B) ?

2 3

3 2

(C) ?
?

3 4

(D) ?

4 3

?BCA ? 90 , 7. 【理】 在直三棱柱 ABC ? A 点 D1 ,F 若 1B 1C1 中, 1 分别是 A 1B 1 ,AC 1 1 的中点.
第 1 页 共 16 页

BC ? CA ? AA1 ,则直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是(
(A)



1 2

(B)

30 15

(C)

30 10

(D)

15 10

8.函数 y ? cos3 x ? sin 2 x ? cos x 的最大值为( (A)

) (C)

28 27

(B)

32 27

4 3

(D)

40 27

9.已知直线 l : y ? kx ? 1 ? k (k ? R) .若存在实数 k ,使直线 l 与曲线 C 交于两点 A, B , 且 | AB | ? | k | ,则称曲线 C 具有性质 P .给定下列三条曲线方程: ① y ? ? | x ? 1| ; ② x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ;
2 2

③ y?x .
2

其中,具有性质 P 的曲线的序号是( (A)①② (B)②

) (C)③ (D)②③

10. 设集合 A1 , A2 ,

, An 是集合 S ? {1,2,

, n } 的 n 个不同子集. 为表示这些集合, 作n行n
? ?0, i ? A j , 其中 i, j ? 1, 2, ? ?1, i ? A j .
,n. 那

列的数表, 定义数表中位于第 i 行第 j 列的数为 a ij ? ? 么下列说法中,错误的是( )

(A)数表中第 1 列的数全是 0 当且仅当 A1 ? ? (B)数表中第 n 列的数全是 1 当且仅当 An ? S (C)数表中第 i 行的数字之和表示集合 Ai 中元素的个数 (D)数表中 n 个数字之和不超过 n ? n ? 1
2 2

二、填空题:

第 2 页 共 16 页

11.设 a1 , a2 ,

, a9 成等差数列.若 ? ak ? 0 , ? ak2 ? 15 ,且 a1 ? a2 ,则 a9 ? ______.
k ?1 k ?1

9

9

12. 已知 n 次多项式 P n ( x) ? (1 ? 2 x)(1 ? 4 x)(1 ? 8x)

(1 ? 2n x) ,其中 n ? N* .记 Pn ( x) 的展开式中 x 的

系数是 an ,则数列 {an } 的前 n 项和 Tn ? ______.

13.如图, AB 是半圆 O 的直径,过半圆上一点 C 作半圆 O 的切线 DE , AD ? DE , BE ? DE ,

CF ? AB .给出下列三个结论:
① CF ? BF ? AB ;
2

② AD ? BE ? CD ? CE ; ③ CE ? CF . 其中全部正确的结论的序号是______.

14.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 S4 ? 4 , S5 ? 15 ,则 a4 的最小值是______.

15.已知函数 f ( x) ? sin x ? b cos x .若 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,则实数 b 的取值范围是 ______.

16. 【理】设数列 {an } 共有 11 项, a1 ? 0 , a11 ? 4 ,且 | ak ?1 ? ak | ? 1 (k ? 1, 2,3, 的不同数列的个数是______.

,10).则满足条件

17.设正数 a , b 满足 log 2 a ? log3 b ,给出下列五个结论,其中不可能 成立的结论的序号是______. ... ①1 ? a ? b ; ② 0 ? b ? a ? 1; ③a ? b; ④1 ? b ? a ; ⑤ 0 ? a ? b ? 1 .

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 在该椭圆上,且 | PF1 | ? 2 | PF2 | ,则 18.已知椭圆 18 9

| x0 | ? _____.
19.设 x ? (0, ) ,则函数 y ? sin x ? (1 ? cos x) 的最大值是______.
第 3 页 共 16 页

? 2

20.已知两定点 A(1,1) , B(1, ?1) 和圆 x 2 ? y 2 ? 1上两动点 C , D .当四边形 ABCD 为梯形时,其面 积的最大值是______.

21.如图,线段 AB ? 2 ,点 A, B 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上运动.以 AB 为一边,在第一象限内 作矩形 ABCD , BC ? 1 .设 O 为原点,则 OC ? OD 的取值范围是______.

22. 【理】一个口袋里装有 5 个大小一样的小球,其中 2 个是红色的,2 个是白色的,1 个是黑色的.依 次从口袋中摸出这 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是________.

23.已知点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则 | PQ | 的最小值是________.

24.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .令 Tn ?

S1 ? S 2 ? n

? Sn

,称 Tn 为数列 {an } 的“均和” .若数列

a1 , a2 ,

, a1007 的均和为 2016 ,则数列 ?1, a1 , a2 ,

, a1007 的均和是________.

三、解答题: 25.设△ ABC 为锐角三角形,且 sin A ? 3 sin B ? sin(C ? B) . (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )求 cos A ? sin B 的取值范围.

26.在△ ABC 中,已知 C ? (Ⅰ )求 tan B ;

3? 1 2 , cos 2 B ? ? sin A . 4 2

(Ⅱ )若 BC ? 2 ,求△ ABC 的面积.

27.已知等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn . a1 ? 2 , S3 ? 14 .

第 4 页 共 16 页

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .证明: Tn ? 2 . an

28.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? ?an ? (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)设 bn ? S n ?

n ?1 , n ? 1, 2,3, n(n ? 1)

.

1 (n ? N* ) ,证明:数列 {bn } 是等比数列; n ?1

(Ⅲ)当 n ? 2 时,求

an 的最大值. Sn

29. 【理】某公司由甲、乙、丙三人投票决定是否对某一项目投资,他们三人都有“同意” “中立” “反 对”三类票各一张投票时, 每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都是

1 , 3

且三人投票相互没有影响.规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目进行投资; 否则,放弃对项目的投资. (Ⅰ )求该公司决定对此项目投资的概率; (Ⅱ)求该公司放弃对此项目投资且投票结果最多有一张“中立”票的概率.

30.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

1 1 , g ( x) ? ln(2ex) . 4 2

(Ⅰ )求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小值; (Ⅱ)是否存在一次函数 h( x) ,使得对于 ?x ? (0, ??) ,总有 f ( x) ? h( x) ,且 h( x) ? g ( x) 成立?若 存在,求出 h( x) 的表达式;若不存在,说明理由.

31.已知椭圆

x2 y 2 3 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ). ,且经过点 ( 2, 2 a b 2 2
第 5 页 共 16 页

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 不经点原点 O ,且与该椭圆交于点 A, B .若直线 OA, AB, OB 的斜率依次成等比数 列,求直线 l 的斜率.

32.已知直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A , B 两点,且与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 相切. (Ⅰ)求直线 l 在 x 轴上截距的取值范围; (Ⅱ)设 F 是抛物线的焦点,且 FA ? FB ? 0 ,求直线 l 的方程.

33.已知椭圆 C 的中心是原点,以坐标轴为对称轴,且经过点 M ( 2, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 2 ) , N ( 3, ? ) . 2 2

(Ⅱ)设直线 l : x ? my ? 1与椭圆 C 交于点 A, B ,点 A 关于 x 轴的对称点是 A? (点 A? 和 B 不重 合) .证明:直线 A?B 与 x 轴交于定点.

34 . 设 A2n ? (a1 , a2 ,

, a2n ) 是 由 2n 个 实 数 组 成 的 有 序 数 组 , 满 足 下 列 条 件 : ① ai ?{1, ?1} , ? a2n ? 0 ;③ a1 ? a2 ? ? ai ? 0 , i ? 1, 2,
, 2n ? 1 .

i ? 1, 2,

, 2n ;② a1 ? a2 ?

(Ⅰ)当 n ? 3 时,写出满足题设条件的全部 A6 ; (Ⅱ)设 n ? 2k ? 1 ,其中 k ? N ,求 a1 ? a2 ?
*

? an 的取值集合;

(Ⅲ)给定正整数 n ,求 A2 n 的个数.

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后期复习参考资料
一、选择题:

2013.5

1.C; 2.B; 3.A; 4.D;

5.B; 6.D; 7.C; 8.B; 9.D; 10.C.

提示: 5.集合 {1, 2,3} 的子集共 8 个,集合 {4,5, 6}的非空子集共 7 个,故共有 7 ? 8 ? 56 种组合. 8.运用导数 9.关于③: 注意到 l 过定点 (1,1) ,且点 (1,1) 在曲线 y ? x2 上,从而不妨设 A(1,1) , B(m, m2 ) .

m2 ? 1 则 | AB |? ( m ? 1) ? ( m ? 1) , | k | ? ? | m ? 1| . m ?1
2 2 2

由 | AB | ? | k | ,得 (m ? 1)2 ? (m2 ? 1)2 ? (m ? 1)2 , 即 m ? 2m ? 4m ? 1 ? 0 .
4 2

令 f (m) ? m4 ? 2m2 ? 4m ? 1 . 由 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,得 ?m ? (1, 2) ,使得 f (m) ? 0 成立! 从而 ?k ? (2,3) ,使得 | AB | ? | k | 成立! 从而曲线③具有性质 P .

二、填空题: 11. 2 ; 12. 2
n?2

? 2n ? 4 ;
19.

13.②③;

14. 7 ;

15. (? 3, 3) ; 21. [1,3] ;

16. 120 ;

17.④⑤;

18. 2 ;

3 3 ; 4

20.

3 ? 2; 2

22.

2 ; 5

23. 2 ; 提示:

24. 2013 .

14.可运用线性规划求解. 16.简解:依题意得 ak ?1 ? ak ? 1 或, ak ?1 ? ak ? ?1 .
第 7 页 共 16 页

若有 m 个 1 ,则有 10 ? m 个 ?1 ,从而 m ? (10 ? m) ? 4 ? m ? 7 .
7 故所求数列的个数为 C10 ? 120 .

19.简解: y? ? cos x ? cos 2 x .令 y? ? 0 ,并由 x ? (0, ) ,得 x ? 点.所以 ymax ?

? 2

? ? .易知 x ? 是该函数的极大值 3 3

3 3 . 4

21.简解: OC ? OD ? (OB ? BC) ? (OA ? AD) ? OB ? AD ? BC ? OA ? 1

? OB ? BC ? OA ? AD ? 1 .
设 ?CBy ? ? , ?DAx ? ? ,显然 ? , ? ???? ] ,且 ? ? ? ?

? 2

? . 2

所以 OC ? OD ? | OB | cos? ? | OA | cos ? ?1 ? | OB | cos? ? | OA | sin ? ?1 ? 2sin(? ? ? ? ?? , 其中 tan ? ?

? | OB | ,且 ? ???? ] . 2 | OA |

所以, OC ? OD 的取值范围是 [1,3] . 22.简解:视 5 个小球为不同的球.依次从口袋中摸出这 5 个小球共有 A5 5 ? 120 种可能.两个红球相邻
4 3 有 2A4 4 种可能;两个白球相邻有 2A4 种可能;两个红球与两个白球同时相邻有 2 ? 2A3 种可能.故 4 3 相邻两个小球的颜色均不相同的可能情形共有 A5 5 ? 2(2A4 ) ? 2 ? 2A3 ? 48 种.所以,所求概率为

48 2 ? . 120 5
x x 23.简解:注意到曲线 y ? e 与 y ? ln x 关于直线 y ? x 对称,故所求 | PQ | 的最小值为曲线 y ? e 上的

点到直线 y ? x 距离的最小值的 2 倍.
x 运用导数知识可得:曲线 y ? e 上的点到直线 y ? x 距离的最小值是

2 ,故 | PQ | min ? 2 . 2

24.简解:设 An ? S1 ? S2 ?

? Sn .则 T1007 ?

S1 ? S2 ? ? S1007 A1007 ? ? 2016 . 1007 1007

从而 A 1007 ? 2016 ?1007 . 故 T1008 ?

?1 ? (?1 ? S1 ) ? (?1 ? S2 ) ? 1008

? (?1 ? S1007 )

?

?1008 ? A1007 ? ?1 ? 2 ?1007 ? 2013 . 1008

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三、解答题: 25. (Ⅰ)解:由 A ? B ? C ? π , 得 sin A ? sin(π ? C ? B) ? sin(C ? B) . 所以原式化为

3sin B ? sin(C ? B) ? sin(C ? B) ? 2cos C sin B .

因为△ ABC 为锐角三角形,所以 sin B ? 0 , 所以 cos C ? 所以 C ?

3 . 2

π . 6

(Ⅱ)解: cos A ? sin B ? cos A ? sin(? ?

? ? ? A) ? cos A ? sin( ? A) ? 6

? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin( A ? ) . 3 2 2
由 △ ABC 为锐角三角形知, A ? C ?

? ? ? ? ? , A ? ? C ? ,故 ? A ? . 2 2 3 3 2

从而

2? ? ?? 1 ? 3 ? A? ? ,所以 ? sin( A ? ) ? . 3 3 6 2 3 2

由此有

3 ? 3 ? 3 sin( A ? ) ? , 2 3 2 3 3 , ). 2 2

所以, cos A ? sin B 的取值范围为 (

26. (Ⅰ)解:由 C ?

3? 1 1 1 ? 2 ? ,得 cos 2 B ? ? sin ( ? B) ? ? [1 ? cos( ? 2 B)] . 4 2 4 2 2 2 1 2 所以 1 ? 2sin B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? sin B cos B , 2
即 2sin B ? sin B cos B .
2

? ,所以 sin B ? 0 , 4 1 所以 tan B ? . 2
因为 0 ? B ? (Ⅱ)解:由 0 ? B ?

? 1 5 2 5 , tan B ? ,得 sin B ? , cos B ? . 4 2 5 5

第 9 页 共 16 页

所以 sin A ? sin( ? B) ? sin 由正弦定理得

? 4

? ? 10 . cos B ? cos sin B ? 4 4 10

AC BC ? , 所以 AC ? 2 2 . sin B sin A 1 所以 △ ABC 的面积 S ? AC ? BC sin C ? 2 . 2
27. (Ⅰ)解:设等比数列 {an } 的公比是 q ,依题意 q ? 0 . 由 S3 ? 14 ,得 a1 (1 ? q ? q2 ) ? 14 , 整理得 q2 ? q ? 6 ? 0 . 解得 q ? 2 ,舍去 q ? ? 3 . 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? qn?1 ? 2n . (Ⅱ)证明:由 bn ? 得 Tn ? 所以

n n ? n , an 2
? n , 2n ? n ?1 n ? n ?1 . 2n 2 ? 1 n 1 n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 , n 2 2 2 2

1 2 3 ? ? ? 2 2 2 23

1 1 2 3 Tn ? 2 ? 3 ? 4 2 2 2 2

两式相减,得 所以 Tn ? 2 ?
*

1 1 1 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2

n?2 . 2n

因为 n ? N , 所以 Tn ? 2 .

28. (Ⅰ)解:由 Sn ? ?an ? 得 a1 ? 0 , a2 ?

n ?1 , n ? 1, 2,3, n(n ? 1)

.

1 1 , a3 ? . 12 24

(Ⅱ)解:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 , 从而有 2Sn ? Sn ?1 ? 所以 2( S n ?

n ?1 1 1 2 1 ? ? ? ? , n(n ? 1) n ? 1 n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 ) ? S n ?1 ? , 即 2bn ? bn ?1 , n ?1 n

第 10 页 共 16 页

1 1 1 ? ? ,公比为 的等比数列. 2 2 2 1 1 1 n ?1 1 1 1 ? ? ( ) ? ? n , 即 Sn ? ? n. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)得 S n ? n ?1 2 2 2 n ?1 2
所以数列 {bn } 是首项为 b1 ? S1 ? 所以,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (

1 1 1 1 1 1 . ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? n ? n ?1 2 n 2 2 n(n ? 1) 1 1 , n ? 1, 2,3, ? n 2 n(n ? 1)
.

显然, a1 ? 0 也满足上式,所以 an ?

1 1 1 1 1 1 ? ( n ?1 ? n ) ? ( ? ) n an 2 n(n ? 1) 2 n n ?1 ? 1? 所以 ? ? 2 1 1 1 1 Sn ? n ? n n ?1 2 n ?1 2
当 n ? 2 时,由 2
n ?1

1 1 ? n 2n ?1 . 1 1 ? n n ?1 2

? ?1 ? 1?

n ?1

? 1 ? C1n ?1 ? C 2 ? n ?1

n ?1 ? Cn ? 1 ? C1n ?1 ? n , ?1

n ?1 得 n ? 2 时, 2 ? n 恒成立,即

1 1 ? n ?1 ? 0 . n 2

同理可证:当 n ? 2 时,

1 1 ? n ? 0. n ?1 2

1 1 ? n ?1 an 故 ? 1? n 2 ? 1 ,当且仅当 n ? 2 时等号成立, 1 1 Sn ? n ? 1 2n
所以

an a 的最大值为 2 ? 1 . S2 Sn

29. 简解: (Ⅰ )该公司决定对此项目投资的概率为 P ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ?
2 2 3 3

1 3

2 3

1 3

7 . 27

(Ⅱ)该公司放弃对此项目投资且投票结果最多有一张“中立”票的情形如下表: 事件 “同意”票张数 0 1 1 0 “中立”票张数 0 0 1 1 “反对”票张数 3 2 1 2

A
B

C
D

1 3 1 P( A) ? C3 ; 3( ) ? 3 27 1 3 1 P( B) ? C1 ; 3( ) ? 3 9
第 11 页 共 16 页

2 1 1 3 P(C ) ? C1 ; 3C 2 ( ) ? 3 9 1 3 1 P ( D) ? C1 . 3( ) ? 3 9
由于时间 A, B, C , D 互斥,所以 P( A ? B ? C ? D ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( D ) ?

13 . 27

1 4 x2 ?1 ? 30. (Ⅰ )解:当 x ? (0, ??) 时, y? ? 2 x ? . 2x 2x
易得,当 x ? (0, ) 时, y? ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, y? ? 0 . 所以,当 x ?

1 2

1 2

1 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 取得最小值 0 . 2

(Ⅱ)解:假设存在一次函数 h( x) ? kx ? b (k ? 0) 适合题意.

1 1 1 1 1 ,所以 h ( ) ? . 2 2 2 2 2 1 k k 1 2 设 h( x) ? kx ? ? ,将其代入 f ( x) ? h( x) ,整理得 x ? kx ? ? ? 0 . 2 2 2 4 k 1 2 记 ? ( x) ? x ? kx ? ? ,依题意 ? ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 2 4 k ? 0 时,必有 ? (0) ? 0 ,此时无解. ① 当 2 k ? 0 时,必有 ? ? (k ?1)2 ? 0 ,得 k ? 1 ,于是 h( x) ? x ② 当 2 1 1 此时令 G ( x) ? h( x) ? g ( x) ? x ? ln(2ex) ,则 G ?( x ) ? 1 ? . 2 2x 1 易知 G ( x) ? G ( ) ? 0 ,即对于 ?x ? (0, ??) ,总有 h( x) ? g ( x) 成立. 2
由(Ⅰ )得 f ( ) ? g ( ) ? 综上,存在一次函数 h( x) ? x 符合题目要求. ( h( x) ? x 是函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 图象的公切 线)

31. (Ⅰ)解:椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)解:依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0 ,设直线 l : y ? kx ? m (m ? 0) ,将其代入

x2 ? 4 y 2 ? 4 ,消去 y 整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ?1) ? 0 .
所以 ? ? 16(4k ? m ? 1) ? 0 .
2 2

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设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

?8km 4(m 2 ? 1) x x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 . 因为直线 OA, AB, OB 的斜率依次成等比数列,

所以

y1 y2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?8k 2 m2 ? ? ? k2 ? ? m2 ? 0 . 2 x1 x2 x1 x2 1 ? 4k
2

因为 m ? 0 ,所以 k ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2

32. (Ⅰ)解:设直线 l 的方程为 x ? my ? c . 由直线 l 与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 相切, 得

|1 ? c | m ?1
2

? 1 ,化简得 m2 ? c 2 ? 2c .

将直线 l 的方程代入 y 2 ? 4 x ,消去 x ,得 y 2 ? 4my ? 4c ? 0 . (*) 由直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A , B 两点,得 ? ? ??4m?2 ? 16c ? 0 ,即 m ? c ? 0 .
2

将 m ? c ? 2c 代入上式,得 c ? c ? 0 .解得 c ? 1 ,或 c ? 0 .
2 2 2 2 2 注意到 m ? c ? 2c ? 0 ,从而有 c ? 2 ,或 c ? 0 .

(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 由(*)得 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4c . 所以 FA ? FB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 . 将 x1 ?

y2 y12 , x2 ? 2 代入上式,得 4 4

2 y12 y2 1 1 3 FA ? FB ? ( ? 1)( ? 1) ? y1 y2 ? ( y1 y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? y1 y2 ? 1 . 4 4 16 4 2

将 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4c 代入上式,令 FA ? FB ? 0 ,得 c ? 4m ? 6c ? 1 ? 0 .
2 2

2 2 所以 c ? 4(c ? 2c) ? 6c ? 1 ? 0 ,即 3c ? 2c ? 1 ? 0 .
2

第 13 页 共 16 页

解得 c ? ?

1 ,舍去 c ? 1 . 3
2

故 m ? ? c ? 2c ? ?

7 . 3

所以直线 l 的方程为 3x ? 7 y ? 1 ? 0 ,或 3x ? 7 y ? 1 ? 0 .

33. (Ⅰ)解:设椭圆 C 的方程是 px2 ? qy 2 ? 1( p ? 0, q ? 0, p ? q) ,

将 M ( 2,

1 1 2 ) , N ( 3, ? ) 代入上述方程,解得 p ? , q ? 1 . 4 2 2

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)证明:将直线 l : x ? my ? 1代入 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ,消去 x 整理得 (4 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?2 m ?3 , y1 y2 ? 2 . 2 m ?4 m ?4

设经过点 A?( x1 , ? y1 ) , B( x2 , y2 ) 的直线方程为 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) . x2 ? x1

令 y ? 0 ,得 x ?

y1 x2 ? y2 x1 . y2 ? y1

所以 x ?

y1 (my2 ? 1) ? y2 (my1 ? 1) 2my1 y2 ? y1 ? y2 ? ? 4. y2 ? y1 y2 ? y1

即直线 A?B 与 x 轴交于定点 (4, 0) .

34. (Ⅰ)解: A6 ? (1,1,1, ?1, ?1, ?1) , A6 ? (1,1, ?1,1, ?1, ?1) , A6 ? (1,1, ?1, ?1,1, ?1) ,

A6 ? (1, ?1,1,1, ?1, ?1) , A6 ? (1, ?1,1, ?1,1, ?1) ,共 5 个.
(Ⅱ)解:首先证明 a1 ? 1 ,且 a2n ? ?1 . 在③中,令 i ? 1 ,得 a1 ? 0 .由①得 a1 ? 1 . 由②得 a2n ? ?(a1 ? a2 ?

? a2 n?1 ) .
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在③中,令 i ? 2 n ? 1 ,得 a1 ? a2 ? 从而 a2n ? ?(a1 ? a2 ? 考 虑 A2n ? (1,

? a2n?1 ? 0 ,

? a2n?1 ) ? 0 .由①得 a2n ? ?1 . ? an ? 1 , an?1 ? an?2 ? ? a2n ? ?1 , 此 时

即 a1 ? a2 ? , 1, ? 1, ?, , 1)

a1 ? a2 ?

? an ? n 为最大值. ? an ? n ? 2 . ? an ? n ? 2 不变,这一

现交换 an 与 an ?1 ,使得 an ? ?1, an?1 ? 1 ,此时 a1 ? a2 ?

现将 an ? ?1逐项前移,直至 a2 ? ?1.在前移过程中,显然 a1 ? a2 ? 过程称为 1 次移位. 继续交换 an 与 an?2 ,使得 an ? ?1, an?2 ? 1,此时 a1 ? a2 ?

? an ? n ? 4 . ? an ? n ? 4 不变,执行

现将 an ? ?1逐项前移,直至 a4 ? ?1.在前移过程中,显然 a1 ? a2 ? 第 2 次移位. 依此类推,每次移位 a1 ? a2 ? 调整为 1 , ?1 交替出现. 注意到 n 为奇数,所以 a1 ? a2 ? 所以, a1 ? a2 ?

? an 的值依次递减 2 .经过有限次移位, a1 , a2 ,

, an 一定可以

? an ? 1 为最小值.
, 2k ?1} .

? an 的取值集合为 {1,3,5,

(Ⅲ)解:由 ①、②可知,有序数组 (a1 , a2 , 显然,从 a1 , a2 ,

, a2 n ) 中,有 n 个 ?1 , n 个 ?1 .

, a2n 中选 n 个 ?1 ,其余为 ?1 的种数共有 C n 2 n 种.下面我们考虑这样的数组中

有多少个不满足条件③,记该数为 t n . 如果 (a1 , a2 ,

, a2 n ) 不满足条件③,则一定存在最小的正整数 s ( s ? n) ,使得 ? a2 s ?2 ? 0 ;
(ⅱ) a2 s ?1 ? ?1 .

(ⅰ) a1 ? a2 ? 将 a1 , a2 ,

, a2 s ?1 统统改变符号, , a2s?1, a2s , , a2n ) ? (?a1, ?a2 , , ?a2 s?1, a2 s , , a2n ) ,

这一对应 f 为: (a1 , a2 , 从而将 (a1 , a2 ,

, a2 n ) 变为 n ? 1 个 ?1 , n ? 1 个 ?1 组成的有序数组. , a2 n ) .由于 ?1 多于 ?1 的个数,

反之, 任何一个 n ? 1 个 ?1 ,n ? 1 个 ?1 组成的有序数组 (a1 , a2 ,
第 15 页 共 16 页

所以一定存在最小的正整数 s ( s ? n) ,使得 a1 ? a2 ? 令对应 f
?1

? a2 s?1 ? 1 . , ?a2 s?1, a2 s , , a2n ) ,

为: (a1 , a2 ,

, a2s?1, a2s ,

, a2n ) ? (?a1, ?a2 ,

从而将 (a1 , a2 ,

, a2 n ) 变为 n ? 1 个 ?1 , n ? 1 个 ?1 组成的有序数组.

因此, t n 就是 n ? 1 个 ?1 , n ? 1 个 ?1 组成的有序数组的个数. 所以 A2 n 的个数是 C 2 n ? C 2 n ?
n n ?1

1 Cn 2n . n ?1

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