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高中数学联赛中的三角函数问题


2001 年第 2 ,4 期               数学通讯

81

课外园地

高中数学联赛中的三角函数问题

赵小云
( 杭州师院数学系 , 浙江   杭州   310036)

中图分类号 :O124 - 42      文献标识码 :C      文章编号

:0488 - 7395 ( 2001) 2 , 4 - 0081 - 03

   三角函数是中学数学中重要的基本初等函数 , 它所涉及的知识面广 , 内容丰富多彩 . 特别是三角函 数中公式众多 , 方法灵活多样 , 需要我们认真探求解 题方法和技巧 , 摸索解题规律 , 才能举一反三 , 达到 触类旁通的成效 . 在高中数学联赛中 , 三角函数问题大都以选择 题和填空题的形式出现 , 偶尔也会出现比较综合的 解答题 .
1  求值问题

cos

C+ A

2

的值是
1 . 2

(    )

( A) 1 .       (B) ( C)

1 ( D) - 1 . . 3 解  如 图 1 , 构 造 一 个 满 足 题 设 需 求 的 Rt △A B C , 显然有 c - a = h = a = 1 . 此时 , sin + cos
C+ A C- A

2

= sin30° + cos60° = 1 , 故选 ( A) . 2 象本题那样 , 构造一个满足题设要求的特殊图

例 1  ( 1991 年全国高中数学联赛试题 ) 计算
cos 10° + cos2 50° - sin40° sin80° =
2

形 ,利用 “特殊值法” 解题 , 这是解选择题的常用方 法. 例 3  ( 2000年全国高中数学联赛试题) 求 arc2
) = sin ( sin2000° .

.

解  原式 = cos2 10° + cos2 50° - cos10° cos50°
1 + cos20° 1 + cos100°    = + - cos10° cos50° 2 2 1 ( ) = 1 + cos60° cos40° cos60° + cos40° 2 1 1 1 3 = 1 + cos40° cos40° = . 2 4 2 4 这里 , 由于所给式子中的角均非特殊角 , 于是我

们利用倍角公式 , 通过积化和差 , 和差化积变成特殊 角的三角函数 , 从而将问题得以解决 . 例 2  ( 1993 年全国高中 数学联赛试题) 在 △A B C 中 , 角 A , B , C 的对边边长分别 是 a , b , c , 若 c - a 等于 A C 边 上 的 高 h , 则 sin
C- A

π , 9 π π π+ ) = sin ( ) ,且 ∴ sin2000°= sin ( 11 9 9 π π π ∈[ , ], 9 2 2 π+ 解  ∵ 2000° = 180° × 11 + 20° = 11
) = arcsin [ sin ( ∴ arcsin ( sin2000°

π )] = 9

-

π . 9 由于三角函数具有周期性 , 所以反三角函数是

在各自的某一单调区间内定义的 , 因此 , 充分注意反
图1  例2图

2

+

三角函数的定义域 、 值域对解决问题十分重要 .

收稿日期 :2000 - 11 - 10

82
2  方程问题

数 学 通 讯               2001 年第 2 ,4 期
< a < 0 ,θ= arcsin a , 那么不等式 sin x < a 的解集为
(    )

例 4  ( 1992年全国高中数学联赛试题) 在区间 π] 中 , 三 角 方 程 cos7 x = cos5 x 的 解 的 个 数 是 [0 ,
.

( A) { x | 2 k π + θ< x < ( 2 k + 1)π - θ, k ∈Z} . (B) { x | 2 k π - θ< x < ( 2 k + 1)π + θ, k ∈Z} . ( C) { x | ( 2 k - 1)π + θ< x < 2 k π - θ, k ∈Z} . ( D) { x | ( 2 k - 1)π - θ< x < 2 k π + θ, k ∈Z} .

解  原方程可化为
- 2sin6 x sin x = 0 ,

∴x=

k

6

π 或 x = mπ ( k , m ∈Z) . π k
6
(k∈

于是 , 所给方程的所有解可表示为 x =
Z) .

π , 0) . 2 π ) 中 , 满足方程 sin x = a 的解为 在区间 ( - π, 解  ∵ - 1 < a < 0 , ∴θ= arcsin a ∈( x = - π - arcsin a 或 x = arcsin a.

当 k = 0 , 1 , 2 , …, 6 时 , x ∈[ 0 ,π] , 故在区间 [ 0 , π]中 , 方程解的个数为 7 . 例 5  ( 1985年全国高中数学联赛试题) 已知方 程 arccos
4 4 ) = arcsin x , 则 (    ) - arccos ( 5 5 24 24 ( A) x = .    (B) x = . 25 25 ( C) x = 0 . ( D) 这样的 x 不存在 .

因此 , 不等式 sin x < a 的解集为 π + θ, k ∈Z} . { x | ( 2 k - 1)π - θ< x < 2 k 故应选 ( D) . 例 8  ( 1997年全国高中数学联赛试题) 设 x ≥ π π ,且 x + y + z = , 求乘积 cos x sin ycos z 12 2 的最大值和最小值 .
y ≥z ≥

解  由条件有 x =

4 4 ) =π - arccos 解  ∵ arccos ( , 5 5 4 ∴原方程可化为 2arccos - arcsin x =π. 5 又 ∵ f ( x ) = arccos x 是减函数 , 4 2 π ∴ arccos < arccos = . 5 2 4 π 由于 - arcsin x ≤ , 2 π π 4 故 2arccos - arcsin x < + =π. 5 2 2 上式表明原方程无解 , 故选 ( D) . 3  极值和不等式问题

π π π - ( y + z) ≤ - ( + 2 2 12

π π ) = , 且 sin ( x - y ) ≥ 0 , sin ( y - z ) ≥ 0. 12 3 于是   cos x sin ycos z
1 cos x [ sin ( y + z ) + sin ( y - z ) ] 2 1   ≥ cos x sin ( y + z ) 2 π 1 1 1   = cos2 x ≥ cos2 = . 2 2 3 8 π π 显然 , 当 x = ,y= z= 时 , 上式等号成立 . 3 12 1 ∴ cos x sin ycos z 的最小值为 . 8 又  cos x sin ycos z

  =

例 6  ( 1996年全国高中数学联赛试题 ) 设 x ∈
1 π) , a2 = , 0 ) , 以 下 三 个 数 a1 = cos ( sin x 2 π) , a3 = cos ( x + 1)π 的大小关系是 (    ) sin ( cos x
(-

 =

( A) a3 < a2 < a1 .  (B) a1 < a3 < a2 . ( C) a3 < a1 < a2 .  ( D) a2 < a3 < a1 . 1 ) , 且 a1 = 2 π) , a2 = sin ( cos y π ) , a3 = cos ( 1 - y)π < 0 . cos ( sin y

1 cos z [ sin ( x + y ) - sin ( x - y ) ] 2 1 ≤ cos z sin ( x + y ) 2 π 1 1 = cos2 z ≤ cos2 2 2 12 =

解  设 y = - x , 则 y ∈ ( 0 ,

π + cos y π = 2sin ( y π+ 由于 sin y π< 故 0 < cos y

π π ) ≤2< , 4 2

π 1 2+ 3 ( 1 + cos ) = . 4 6 8 π π 5 当 x= y= ,z = 时上式等号成立 . 24 12
2+ 3 . 8 这是一个非对称的三角函数极值问题 , 题型十

∴ cos x sin ycos z 的最大值为

π π π< . - sin y 2 2 ( π ) ( π) , 故选 ( A) . 于是 0 < sin cos y < cos sin y 例 7  ( 1986年全国高中数学联赛试题 ) 设 - 1

分新颖 . 由于我们平常见到的大都是一些对称的三 角函数极值问题 ( 例如 △A B C 中的一些三角函数极

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值问题) , 于是大部分参赛选手都感到陌生 , 在当年 的竞赛中 , 该题的得分率相当低 , 出乎命题组当初的 意料之外 . 这也正说明许多参赛选手在灵活应用知 识的能力方面确还有待进一步的提高 .
4  综合性问题

2  ( 1982 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ) 设 θ ∈( 0 ,

π ) , 则有 2
( A) sinsinθ< cos θ< coscos θ . (B) sinsinθ> cos θ> coscos θ . ( C) sincos θ> cos θ> cossinθ . ( D) sincos θ< cos θ< cossinθ .

(    )

例 9  ( 1996年全国高中数学联赛试题) 求实数
a 的取值范围 , 使得对任意的实数 x 和任意的θ ∈

π [0 , ] , 恒有 2
1 ( x + 3 + 2sin θ θ ) 2 + ( x + asinθ+ acos θ )2 ≥ . cos 8

3  ( 1994年全国高中数学联赛试题) 设 a , b , c 为实

数 , 不等式 asin x + bcos x + c > 0 对任何实数 x 都成立的充分必要条件是
( A) a = b = 0 且 c > 0 . (B) ( C) ( D)
2 2 a + b = c. 2 2 a + b < c. 2 2 a + b > c.

(    )

θ = a′ θ + acos θ= 分析  令 3 + 2sinθ cos , a sin
1 ) + ( x + b′ ) ≥ 即 b′ , 则原不等式等价于 ( x + a′ 8 1 2 2 ) x + a′ 2 x 2 + 2 ( a′ + b′ + b′ ≥ 0 8
2 2

恒成立 . 注意到 x 为实数 , 故有
2 2 )2 ≤ 4 ( a′ + b′ 4? 2 ( a′ + b′ -

4  ( 1989 年全国高中数学联赛试题 ) 函数 f ( x ) = 1 ) , 8 arctg x + 1 arcsin x 的值域是 2
(    )

)2 ≥ 即  ( a′ - b′

1 ] 4

1 1   a′ - b′ ≥ 或 a′ - b′ ≤. 2 2 于是将 a′ , b′ 代入上式 , 可得 :

π 3 π 3 , ]. 4 4 π 3 π π π 3 ( C) ( ( D) [ , ). , ]. 4 4 2 2 5  ( 1983年全国高中数学联赛试题 ) 在 △A B C 中 ,
( A) ( - π, π ) .    (B) [ 3 5 , cos B = , 则 cos C = . 5 13 6  ( 1994年全国高中数学联赛试题 ) 已知 x , y ∈ sin A =

π ] ,有 2 θ+ 1 θ- 1 3 + 2sinθ cos 3 + 2sinθ cos 2 2 a≥ θ 或 a ≤ sinθ+ cos θ . sinθ+ cos 对任意的 θ∈[ 0 , 这样 , 我们只须在区间 [ 0 , π ]上 , 求 2 θ+ 1 3 + 2sinθ cos 2 ( θ ) f = θ 的最大值 ; sinθ+ cos
) = g (θ

π π , ] , a ∈R , 且 4 4 3 x + sin x - 2 a = 0 ,    4 y 3 + sin y ? cos y + a = 0 , 则 cos ( x + 2 y ) = .
[-

7  ( 1983年全国高中数学联赛试题) 证明 arcsin x +

θ3 + 2sinθ cos θ sinθ+ cos

1 2

的最大值 .

π , 其中 x ∈[ - 1 , 1 ]. 2 8  ( 1994年全国高中数学联赛试题) 设 0 < θ<π, 试
arccos x =

余下部分请读者自己完成 .




π k
2
(k

θ ( 1 + cos θ ) 的最大值 . 2 9  ( 1999年全国高中数学联赛试题 ) 在 △A B C 中 , 求 sin 若 9 a2 + 9 b2 = 19 c2 , 试求
ctg C 的值 . ctg A + ctg B

1  ( 1981年全国高中数学联赛试题 ) 设 θ ≠
) , T= =0, ± 1, ± 2, …

θ sinθ+ tg θ+ ctg θ, 则 cos

(    )




16 . 65

11 ( C) .   21 ( D) .   31 ( C) .   41 ( D) .   51 ( A) T < 0 .     (B) T ≥ 0. ( C) T > 0 . ( D) T 的取值可正可负 . 611 .   81 4 3 5 .   91 . 9 9


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