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立体几何复习课件


立体几何复习

平行问题
垂直问题 角度问题 距离问题 柱锥问题 综合问题

体积面积问题

多面体与球的问题
生活问题和翻折问题

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平 行 问 题

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直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系
平面和平面的平行关系

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线面位置关系
直线在平面内 有无数个公共点 有且仅有一个公 共点

直线和平面相交 直线和平面平行

没有公共点

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平行于同一平面的二直线的位 置关系是 ( D )
(A) 一定平行 (B) 平行或相交 (C) 相交

(D) 平行,相交,异面

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(1)点A是平面?外的一点,过A和 平面?平行的直线有 无数 条。

A α

返回

(2)点A是直线l 外的一点,过A 和直线l 平行的平面有 无数 个。

A

返回

(3)过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 无数 个。

返回

(4)过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 且仅有一 个。

返回

(5)如果l1 // l2 , l1 平行于 平面?,则l2 ? 或 // 平面?
l2

l1 ? l2

返回

(6)如果两直线a,b相交,a平行于 平面?,则b与平面?的位置关系 相交或平行 。 是
b

a
b

?

返回

过直线L外两点,作与直线L平行的 平面,这样的平面( )
(A) 有无数个 (B) 不能作出

B A
l
情况一

(C) 只能作出一个 (D) 以上都有可能

返回

过直线L外两点,作与直线L平行的 平面,这样的平面( )
(A) 有无数个 (B) 不能作出

A B
情况二

l

(C) 只能作出一个 (D) 以上都有可能

返回

过直线L外两点,作与直线L平行的 平面,这样的平面( )

D

(A) 有无数个 (B) 不能作出

A B
l
情况三

(C) 只能作出一个 (D) 以上都有可能

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例: 有以下四个命题: ① 若一条直线与另一条直线平行,则它就 与经过另一条直线的平面平行; ② 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线, 则此直线平行于这个平面; ③ 若一条直线和一个平面内的两条直线都 垂直,则此直线必垂直于这个平面; ④ 平面内两条平行直线,若其中一条直线 与一个平面平行,则另一条直线也与这个平面 平行. 其中正确命题的个数是( A ). A.0 B.1 C.2 D. 3

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解:① 不正确,若一条直线与另一条直线平 行,则这条直线可能与经过另一条直线的平 面平行,也可能在平面内; ② 不正确,与①相仿,若一条直线垂直 于一个平面的一条垂线,则此直线可能平行 于这个平面,也可能在平面内;

返回

③ 不正确,若一条直线和一个平面内的
两条直线都垂直,如果在平面内的两条直线平

行,则无法判断直线是否垂直于这个平面;
④ 不正确,与①②相仿,该直线仍有可

能在平面内。
所以四个命题都是错误的,选A。

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(1)定义——直线与平面没有公共点

(2)定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行,那么这 条直线和这个平面平行。

线面平行判定定理——如果平面外一条直 线和这个平面内的一条直线平行,那么这 条直线和这个平面平行。

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已知:a??? b??? a//b 求证:a//?
(1) a,b确定平面?,???=b (2) 假设a与?不平行 则a与?有公共点P 则P? ???=b (3) 这与已知a//b矛盾 ? (4) ∴a // ?

a b

?

P

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如图,空间四面体P-ABC,M,N分别是 面PCA和面PBC的重心,求证:MN//面BCA ∵MN// EF
∴ MN //面BCA

P

线线平行 线面平行
E

F

如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所 在平面交于AB,M.N分别是对角线上的点, AM=FN。求证:MN//面BCE。
A D M
N

返回

F

∵MN // GH

∴ MN //面BCE

B
C G

线线平行
H
E

线面平行

如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所 在平面交于AB, M.N分别是对角线上的 点,AM=FN,求证:MN//平面BCE。
A D M
N

返回

F

∵△AFN∽ △BNH

∴ AN/NH=FN/BN
∴ AN/NH=AM/MC E C H ∴ MN//CH

B

∴ MN //平面BCE

返回

在正方体ABCD-A1B1C1 D1中,E为 DD1的中点,求证:DB1//平面A1C1E
D1
A1

F
B1

C1

∵DB1 // EF ∴ DB1 //平面A1C1E

E
D A B C

线线平行

线面平行

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为平面 ADD1A1的中心,求证:CO // 平面A1C1B
D1
A1 C1

返回

B1 O
D

F
C

A

B

返回

如果一条直线与一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面 相交,则这条直线与交线平行 已知:a//?,a??, ? ? ?=b 求证:a//b ? ? ?=b b ? ? ? a a //? a ? b=? b ? a//b

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如果平面外的两条平行线中的一条 与这个平面平行,则另一条直线与 这个平面也平行

a
c

b

返回

如果一条直线和两个相交平面都平 行,则这条直线与它们的交线平行
已知:a // ?, a// ? 求证:a // l ,? ? ? =l

?

a
?

b l
c

返回

如图,a,b是异面直线,O为AB的中点, 过点O作平面?与两异面直线a,b都平行 MN交平面于点P,求证:MP=PN

a

A

M P N

?

O

D

b

B

一、两个平面平行的判定方法
1、两个平面没有公共点 2、一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面 3、都垂直于同一条直线 的两个平面

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两 个 平 面 平 行

二、两个平面平行的性质

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两 个 平 面 平 行

1、两个平面没有公共点 2、其中一个平面内的直线平行 于另一个平面 3、两个平行平面同时和第三个平 面相交,它们的交线平行 4、一直线垂直于两个平行平面 中的一个,则它也垂直于另一个 平面 5、夹在两个平行平面间的平行线 段相等

判断下列命题是否正确? 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行

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3、与同一直线成等角的两平面平行
α β

α

θ θ β

α θ β

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4.垂直于同一平面的两平面平行 5.若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β 6.若n
α,m α,n∥β,m∥β则α∥β
α m
n β

α γ

β

2. 如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 ? 、? 之间
的线段,且直线AB、CD为异面直线,M、P 分别 为AB、CD 的中点, 求证: 直线MP // 平面

返回

?

.
?

A
M

C

P
N
D

?

B

E

例:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1 中,求证:平面 A1 AB1D1∥平面BDC1 证明:
BD∥B1D1 BD 平面BDC1 B1D1 平面BDC1

D1

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C1

B1

D

C B 平面AB1D1∥ 平面BDC1

A B1D1∥平面BDC1
同理: AB1∥平面BDC1

B1D1∩AB1=B1

线 ∥线

线 ∥面

面 ∥面

D1

证法2:
AC⊥BD A1A⊥平面AC A1C在平面AC上 的射影为AC
A1C⊥BD 同理:A1C⊥BC1 BD∩BC1=B

C1 B1

返回

A1

D A B

C

A1C⊥平面BDC1

平面AB1D1

同理:A1C⊥平面AB1D1 ∥平面BDC1

变形 2: 若 O为BD上的点 E 变形 1: 如图,在正方 F A 体 ABCD-A B C D 中, 1 1 1 1 求证:OC1 ∥平面EFG 1 E,F,G分别为 A1D1,A1B1,A1A的中点,G 证明: 求证:面EFG∥面BDC1 D
由上知平面EFG∥ 平面BDC1 OC1 平面 BDC1

D1

C1 返回 B1

O

C

A

B
OC1 ∥平面EFG

面 ∥面

线 ∥面

变形3:如图,在正 方体ABCDA1 A1B1C1D1 中, E,F,M,N分别为 A1B1,A1D1, B1C1, C1D1 的中点 A

F

D1
E

N

C1 返回 B1
M

D B

C

求证:平面AEF∥平面BDMN

返回

小结: 三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质

线面平行判定

线 面面平行判定



平行

面面平行性质

平行


练习

已知:四面体A-BCD, E,F,G分别为AB,AC,AD的中点. 求证:平面EFG∥平面BCD A

返回

E
F B

G

D

C

垂 直 问 题

线面垂直的判定方法

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(1)定义——如果一条直线和一个平面内的任 意一条直线都垂直,则直线与平面垂直。 (2)判定定理1——如果两条平行线中的一条垂 直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。 (3)判定定理2——如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直。

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线面垂直的性质
(1)定义——如果一条直线和一个平面垂直则 这条直线垂直于平面内的任意一条直线 (2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个 平面,则这两条直线平行。

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填空
(1)l ?? , m?? ? l____m ?
相交 (2) n??, m?? , m与n_____, l ?m, l ?n, ? l ??

// (3)l ?? , m ?? , ? l____m (4)l //m , l ?? , ? m____ ? ?

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如图,AB是圆O的直径,C是异于A, B的圆周上的任意一点,PA垂直于圆 O所在的平面 P (1)BC⊥平面PAC

A ?

B C

返回

如图,AB是圆O的直径,C是异于A, B的圆周上的任意一点,PA垂直于圆 O所在的平面 P 2)若AH⊥PC,则AH⊥面PBC
H A ?

B C

返回

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为下底 面的中心,求证:AC⊥平面D1B1BD
D1 C1

A1

B1

D

A

O

C

B

返回

在正方体AC1中,O为下底面的中 心,B1H ⊥D1O, 求证:B H⊥平面D AC 1 1
D1 C1
H

A1

B1

D

A

O

C

B

返回

如果两个平面所成的二面角是 直二面角,则这两个平面垂直

返回

如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,则这两个平面互相垂直 线面垂直
D B E

A

面面垂直

C

返回

如图,C为以AB为直径的圆周上一点, PA⊥面ABC,找出图中互相垂直的平面。

P

∵PA⊥平面ABC ∴平面PAC⊥平面ABC

A ?

B

∴平面PAB⊥平面ABC ∵BC⊥平面PAC

C

∴平面PBC⊥平面PAC

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如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面

面面垂直
A D B E

线面垂直

C

返回

求证:如果一个平面与另一个平面的 垂线平行,则这两个平面互相垂直

b

a ?

?

?

四面体ABCD中,平面ADC⊥平面BCD,平 面ABD ⊥平面BCD,设DE是BC边上的高, 求证: 平面ADE ⊥平面ABC
A

返回

平面ADC⊥平面BCD


D C E

平面ABD ⊥平面BCD

B

② ③ ④

AD ⊥平面BCD
AD ⊥BC DE ⊥BC BC ⊥平面ADE 平面ABC ⊥平面ADE


面面垂直



线面垂直

② ③

线线垂直

课堂练习

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空间四面体ABCD中,若AB=BC, AD=CD,E为AC的中点,则有( )

A E D B

(A)
(B)
C (C)

平面ABD ⊥平面BCD
平面BCD ⊥平面ABC

平面ACD ⊥平面ABC
平面ACD ⊥平面BDE

(D)

如图,ABCD是正方形,PA ⊥面ABCD, 连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对 互相垂直的平面?
平面PAC⊥平面ABCD
P D

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平面PAB⊥平面ABCD 平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD⊥平面PAB 平面PAD⊥平面PCD 平面PBC⊥平面PAB 平面PBD⊥平面PAC

A

C

B

返回

如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC, ∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点, ① 求证: 平面PAC ⊥平面PBC ② 求异面直线PA与BE所成角的大小 P

E
C B

A

如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形, PA⊥底面ABCD,∠BAD= 120°,E为PC 上任意一点,
① 求证: 平面BED ⊥平面PAC
② 若E是PC中点,

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P E O F C

AB=PA=a,求二面 角E-CD-A的大小 A B

D

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例:如图,在四面体SABC中,∠ASC=90°, ∠ASB=∠BSC=60°,SA=SB=SC, 求证:平面ASC⊥平面ABC。

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证明:容易证得AB=BC=SB,取 AC中点D,连SD、BD,得 SD⊥AC,BD⊥AC,

由∠ASC=90°,设SA=SB=SC=a,
解得SD=
2 2 a , BD = 2 2

a,

而SB=a, ∴ ∠SDB=90°,
∴平面ASC⊥平面ABC。

角 度 问 题

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

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定义
直线a、b是异面直线,经过空间任意 一点o,作直线a’、b’,并使a’//a, b’//b,我们把直线a’和b’所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的 角。

图形

直线与平面 所成的角

二面角及它 的 平面角

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O是空间中的任意一点

点o常取在两条异面直线中的一条上


b

o

.

θ



o
α
a

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

返回

定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a’、b’,并使 a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是0? 的角。

图形

直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角

返回

A L

o α

θ
B

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

返回

定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a’、b’,并使 a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是的角。

图形

直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角

A L
α
o

θ

B

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。

返回

A α O L β B

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

返回

定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a’、b’,并使 a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是的角。

图形

直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角

A L
α
o

θ

B

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。

α L

A O

B

β

二、数学思想、方法、步骤: 1.数学思想: 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而 转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得。 2.方法: 构造可解三角形 a.求异面直线所成的角: 平移
b.求直线与平面所成的角: 找(或作)射影 c.求二面角的大小: 找(或作)其平面角 3.步骤:

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构造可解三角形 构造可解三角形

①作(找)② 证 ③ 点 ④ 算

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求 异面直线A1B和B1C所成的角?
D1 C1

A1

B1

A1B和B1C所 成的角为60° 和A1B成角为 60°的面对角 线共有 条。

D

C

A

B

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求 异面直线D1B和B1C所成的角?
D1 A1

C1
B1

E
D

C
B

A

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是A1A和B1B的中点,求异面直 线CM和D1N所成的角?
D1 A1 M D A B B1 N C C1

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空间四边形P-ABC 中,M,N分别是 PB,AC的中点, PA=BC=4,MN=3, 求PA与BC所成的角?

P

M

A
E B

N

C

1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、G分别是AA1 和CC1的中点, F在AB上,且C1E⊥EF,则EF与 GD所成的角的大小为( D ) (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°

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D1 A1 E A D B1 M

EB1是EC1在平面AB1 内的射影
C1 G C EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG

F

B

例1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分 别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。
D1 连结 解:如图,取AB的中点G , FG ,A1G , A1G与AE交于(作) O FG AD又 AD A1D1 A1 A1D1 FG 四边形A1GFD1 为平行四边形 D A1G D1(证) F O A1G与AE所成的锐角(或直角) (点) A 就是AE与D1F所成的角。 G E是BB1的中点 R t A1AG ABE GA1A= GAO AOG=90 即直线AE与D1F所成的角为直角。 (算)

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C1

B1 F E B

C

返回

例2:长方体ABCD-A1B1C1D1, AB=AA1=2 cm, AD=1cm,求 异面直线A1C1与BD1所成角的 余弦值。
D
A
1

C

1

1

B1

D

C

A

B

如图,连B1D1与A1C1 交于O1, 解: 取 BB 1 的中点 M ,连 O 1 M ,则 O 1 M ?? D 1 B ,
返回

于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1 所成的角(或其补角) 为什么?
D
1

O1

C

1

A

1

B1

M
D

5 cos ?A1O1M = ? , 5 C

A

B

解法二:

返回

方法归纳: 补形法
D1
C1 B1

把空间图形补成熟悉的 或完整的几何体,如正 方体、长方体等,其目 的在于易于发现两条异 面直线的关系。

F1
E1

A1

D A B

C

F
E

解法二:
如图,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的长方体B1F,
连结A1E,C1E,则?A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角), 在?A1C1E中,
A1

返回

D1
B1

C1

F1
E1

A1C1 =

5 , A1 E = 2 5 , C1 E = 3 5 由余弦定理得 cos ?A1C1 E = ? 5 ?A1C1与BD1所成角的余弦值为 5 5

D A B

C

F
E

方法归纳: 补形法

把空间图形补成熟悉的或完整的几何体, 如正方体、长方体等,其目的在于易于发 现两条异面直线的关系。

返回

例: 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,
异面直线AC与BC1所成角的大小是( ).

A.30° B.45° C.60° D.90°
解:在图形中,将AC平行移 动到A1C1,再连接A1B,则 △A1BC1是一个等边三角形, A1C1与BC1所成的角为60°,所 以AC与BC1所成角的大小也是 60°,选C.

返回

例: 如图,正三棱锥S-A BC的侧棱与底面 边长相等,如果E、F分别为SC、 A B的中点, 那么异面直线EF与SA所成角等于( )

A.90° B.60° C.45° D.30°

返回

解:取AC的中点G,连接EG、FG, ∵ EG//SA,∴ ∠GEF是异面直线EF与SA所 成角,又FG//BC,SA⊥BC, ∴ ∠EGF=90°, △EGF是直角三角形,又EG=SA,FG=BC, ∴ EG=FG,△EGF是等腰直角三角形, ∴ ∠GEF=45°,选C.
S E C G A F B

返回

例:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1 D1 C1 A1 B1 D1

C1

D

D O C

O
B

C

A

B

A

小结:
化归的一般步骤是: 定角一般方法有: 定角

返回

1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角, 体现了化归的数学思想。

求角

(1)平移法(常用方法) (2)补形法

2、当异面直线垂直时,还可应用线面垂直的有 关知识 解决。

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说明:异面直线所成角的范围是(0,90 ], 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角 形中的角。

?

返回

斜线与平面所成的角

平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A

O

B

返回

若斜线段AB的长度是它在平面?内的射影长的
2倍,则AB与?所成的角为 60° 。

A

?

O

B

返回

最小角原理
斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。

A

O
C

B

返回

求直线与平面所成的角时,应注意的问题: (1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时,常采用以下步骤: ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影 ③求出斜线段,射影,垂线段的长度 ④解此直角三角形,求出所成角的相应函数值

例题:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与平面A1B1CD所成的角
D1
A1 C1

返回

B1
O

D
A B

C

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 为下底面AC的中心,求A1O与平面 BB1D1D所成的角.
D1
A1
O`

返回

C1
B1

A

D O
B

C

例题: 正四面体P-ABC中,求侧棱PA与 底面ABC所成的角
P

返回

C
A B H D

返回

从一条直线出发的两个半平面所形成 的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱

返回

二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

O

基础题例题
1.下列命题中:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;

返回

②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、 b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面 内作射线所成角的最小角; ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. ②、④ 其中,正确命题的序号是______________.

基础题例题
2.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角B1-AA1-C1 90° ,二 的大小为 _____ 45°,二面角 B-AA1-D 的大小为 ______ 面角C1-BD-C的正切值是_______. 2

返回

基础题例题
3. 在二面角 α-l-β 的一个平面 α 内有一条直线 AB ,它
与棱 l 所成的角为45°,与平面β所成的角为30°,则 45°或135° 这个二面角的大小是________________.

返回

基础题例题
4. 在二面角α -l-β内,过l作一个半平面γ,使二面角

返回

α-l-γ为45°,二面角γ-l-β为30°,则γ内的任意

一 点P到平面α 与平面β的距离之比为(

B)

2 (A) 2
(C)

(B)

2
3

3 2

(D)

基础题例题

返回

5. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线,每两条的夹角 都是60o,则二面角B –PA—C的余弦值是 ( A )
A.

1 3

B.

1 4

C.

1 ? 3

D.

1 2

已知:如图⊿ABC的顶点A在平面M上 的射影为点A′,⊿ABC的面积是S, ⊿A′BC的面积是S′,设二面角A-BCA′为?.求证:COS ? = S ′÷ S
A
B M A′

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D
C

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角 D1-AC-D的大小?
D1 C1 B1

A1

D

O

C B

A

能力·思维·方法
7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°,AC= BC,A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1 与底面ABC所成的角为60°. (1)求证:BC⊥平面AA1C1C; (2)求二面角B-AA1-C的大小.

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能力·思维·方法

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7. 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ BCA=90°, AC=BC , A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC 所成的角为60.(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;(2)求二面角 B-AA1-C的大小. 证明: (1)由题设知,A1M⊥平面ABC, 又A1M

? 平面AA C C,
1 1

∴(1)平面AA1C1C⊥底面ABC, 又BC⊥AC, 平面AA1C1C∩平面ABC=AC, ∴BC ⊥平面AA1C1C

能力·思维·方法

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7. 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ BCA=90°, AC=BC , A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC 所成的角为60.(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;(2)求二面角 B-AA1-C的大小. 证明: (2)由题设知,A1M⊥平面ABC, ∴AA1与底面ABC所成角为∠A1AC, ∴∠A1AC=60o, 又M是AC中点, ∴△AA1C是正三角形, 作CN⊥AA1于N, ∴点N是AA1的中点, 连接BN, 由BC ⊥平面AA1C1C,∴BC⊥AA1, ∴AA1 ⊥平面BNC, ∴AA1 ⊥BN , ∴∠BNC是二面角B--AA1—C的平面角,

能力·思维·方法

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7. 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ BCA=90°, AC=BC , A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC 所成的角为60.(1)求证:BC⊥平面AA1C1C;(2)求二面角 B-AA1-C的大小. 设AC=BC=a,
3 正三角形AA1C的边长为a, ? CN = a, 2 ∴在直角三角形BNC中,
a 2 3 = , 3 3 a 2 2 3 ∴二面角B—AA1—C的大小是 arctan 3 BC tan ?BNC = = NC

能力·思维·方法

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【解题回顾】①先由第 (1)小题的结论易知 BC⊥AA1, 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.

②将题设中“ AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°” 改为
“ BA1⊥AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形,所 求 2 3 arctan 3 . 二面角仍为

③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.

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⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE 垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面 角E-BD-C的大小?
S E

A

D
B

C

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三棱锥P-ABC中,PA ⊥平面ABC, PA=3,AC=4,PB=PC=BC. (1)求二面角P-BC-A的大小
P

3
A B

4
H

C

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三棱锥P-ABC中,PA ⊥平面ABC, PA=3,AC=4,PB=PC=BC. (2)求二面角A-PC-B的大小
P
D A E C

BD= 5

3 2

DE= 15 8

B

3 COS ?= 4

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成 的锐二面角的大小.
D1 A1

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E
B1

C1

D

G

C

G
D A

A
C

F

E
F

B C

F

B

A1

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成 的锐二面角的大小.
D1 A1

返回

E
B1

C1

D

G
H

C

A

G
D A

F

B

H

C

F

B

基础题例题
已知正方形ABCD中,AC、BD相交于O点,若将正方

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形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角后,给出下面4个 结论: ①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;

④过B点作直线l⊥平面BCD,则直线l∥平面AOC,
①③④ 其中正确命题的序号是________

能力·思维·方法

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1、在四面体P—ABC中,PC⊥平面ABC, AB=BC=CA=PC,求二面角B—AP—C的大小. 解:如图过B作BE⊥AC于E,过E作EF⊥PA于F,连 结BF。 ∵PC⊥平面ABC,∴BE⊥平面PAC,∴BF⊥PA。 P ∴∠BFE就是二面角B―PA―C的平面角。 设PC=1 则AB=BC=CA=PC=1, ∴E为AC的中点,
………………
A

F E C

∴所求二面角大小为:

arctan 6
B

能力·思维·方法
2.平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°, ∠DCB=135°,沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证:(1)AB⊥面BCD;(2)求面ABD与面ACD所成的角.

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能力·思维·方法
2.平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°, ∠DCB=135°,沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证:(1)AB⊥面BCD;(2)求面ABD与面ACD所成的角.
证明: (1)D-AC-B是直二面角, 又∵DC⊥AC, ∴DC⊥平面ABC, (面面垂直性质定理) 又AB

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?平面ABC,

∴DC⊥AB, D

又AB⊥BC, ∴AB⊥平面BCD

C

A

B

能力·思维·方法
2.平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°, ∠DCB=135°,沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证:(1)AB⊥面BCD;(2)求面ABD与面ACD所成的角. 证明: (2)过C作CH⊥DB于H, D E ∵AB⊥平面BCD H ∴平面ABD⊥平面DCB, A 又∵平面ABD ∩平面DCB=DB, C

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∴CH⊥平面ABD, 过H作HE⊥AD于E, B 连接CE, 由三垂线定理知 CE⊥AD ∴∠CEH是所求二面角 2 在Rt ?DCA中,DC = a, CA = 2a, CE = a 的平面角, 3 o, 2 ∴∠ CEH=60 在Rt ?DCB中,DC = BC = a, CH = a
CH 3 在Rt ?CHE中, sin ?CEH = = CE 2 2

即所求二面角为 60o

能力·思维·方法
【解题回顾】准确画出折叠后的图形,弄清有关点、

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线之间的位置关系,便可知这是一个常见空间图形
(四个面都是直角三角形的四面体).

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例.A为二面角α-l-β的棱l上一点,射线 AB 45° α,且与棱成45°角,与β成30°角, ? (B)30° (C) 则二面角α-l-β的大小是( )。(A) 45°或135° (D)30°或150° 提示:分锐二面角和钝二面角两种情况讨论

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解:如图(1),若二面角α-l-β是锐二面 角,自B作BD⊥β,D为垂足,作BC⊥l于C, C为垂足,连接CD,则由三垂线定理得 CD⊥l,∴ ∠BCD是二面角α-l-β的平面角, 2 a 设AB=a,则∠BAC=45°,得BC=
a 由∠BAD=30°,得BD= 2 1 a BD 2 2 ∴sin∠BCD= BC = 2 = 2 a ∴ ∠BCD=45°, 2
2


B C A D (1) β α

如图(2),若二面角α-l-β是钝二面角,自B 作BD⊥β,D为垂足,作BC⊥l于C,C为垂足, 连接CD,延长DC到E,则由三垂线定理得 CE⊥l,∴ ∠BCE是二面角α-l-β的平面角, 而∠BCD是二面角α-l-β的平面角的补角,由 (1)解得∠BCD=45°, ∴ ∠BCE=135°, 即二面角的大小是45°或135°,选C.
α B A D C (2) E β

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能力·思维·方法

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3.在直角梯形P1DCB中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D= 6,BC=3,DC=3,A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P-CD-B 成 45°, A D 设E、F分别为AB、PD的中点. P1 (1)求证:AF∥平面PEC; (2)求二面角P-BC-A的大小;
证明:(1)取PC的中点G, 连接FG、EG, P 1 则FG//CD, 且FG= 2 CD, ∵AE//CD,且AE= 1 CD 2 ∴AE//FG,AE=FG, 从而四边形AEGF是平行四边形, ∴AF//EG, EG

B

C

? 平面PEC,

∴AF//平面PEC B

. E

A

.G

.F
D C

能力·思维·方法

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3.在直角梯形P1DCB中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D= 6,BC=3,DC=3,A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P-CD-B 成 45°, A D 设E、F分别为AB、PD的中点. P1 (1)求证:AF∥平面PEC; (2)求二面角P-BC-A的大小;
证明:(2) ∵CD⊥平面PAD, ∴平面PAD⊥平面ABCD P B ∵PA=AD,且∠PDA=45o, ∴PA⊥AD ∴PA⊥平面ABCD, ∴AB⊥BC

C

由三垂线定理得 PB⊥BC ∴∠PAB为二面角P-BC-A的平面角, 在Rt△PAB中,PA=3,PB= 2 3 , 3 , 得所求的二面角为60o ∴sin∠PBA= B 2 A C D

能力·思维·方法
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作,而 应首先由题设去分析,题目中是否已有.

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能力·思维·方法
4. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 是 BC 的中点,求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.

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解题分析:所求二面角”无棱”,要么先找 “棱”,要么用面积投影. D1 C1 解法一:取B1C1的中点M, 连接EM, M

∵E为BC的中点, ∴EM⊥平面A1B1D1, ∴△B1D1 M是△D1B1E的射影三角形 A1 , B1 设平面B1D1E和平面A1B1C1D1所成的 二面角为α, ∵平面ABCD//平面A1B1C1D1, ∴平面B1D1E和平面ABCD所成的 D C 二面角也为α, 设正方体棱长为 a, E 2 a S ?D B M 1 A 4 B ? cos ? = = = S ?D B E 1 3 3 2 2a ? a ∴所求二面角的正弦值为 2 2 2 4 3

.
.

1 1

1 1

能力·思维·方法
4. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 是 BC 的中点,求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.

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解法二:取BC的中点F, 连接BD、EF, D1 C1 ∵E为BC的中点, ∴EF//BD, M ∵BD//B1D1, ∴EF//B1D1, ∴EF、B1D1共面, ∴平面ABCD∩平面EB1D1F=EF,A1 B1 作BG⊥EF交FE的延长线于G, 连接B1G, 则∠B1GB是平面B1D1E 和平面ABCD所成二面角的平面角。 D F a C 2 a 设正方体棱长为 a, 则BE= 2 , BG= , E 4 3 2 a G 在Rt△B1BG中,B1G= , A 4 B B1 B a 2 2 sin ?B1GB = = = ∴所求二面角的正弦值为 2 2 B1G 3 2a 3 3 4

.

.

.

能力·思维·方法
S? 【解题回顾】解法一利用公式 cosθ = . 思路简单明 S
了,但计算量较解法二大 . 解法二的关键是确定二 面角的棱,再通过三垂线定理作出平面角,最终解直 角三角形可求出.

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例:如图,已知在正三棱柱ABC-A1B1C1 C 中,侧棱长大于底面边长,M、N分别在 侧棱AA1、BB1上,且B1N=A1B1=2A1M,求 截面C1MN与底面A1B1C1所成的二面角 的大小。
C1 分析:由题意平面 C1MN与平面 A1B1 C1 的 公 共点是 C1,但二面角没有棱,需要作出, 再找平面角。

B
A N M A1

B1

返回

解:连结NM并延长交 B1A1 的延长线于点D,连 C 结 C1 D,则截面 C1 MN与底面 A1 B1C1 所成二面 角的棱为 C1D。 A 在 N B1D中, B1N=2 A1 M, 且 B1 N A1 M,D B1 =2DA1 D A1 = A1B1= A1C1 A1 B1C1 为等边三角形 又 M C1 C1A1 D=180-60=120 A1C1D=30,又 A1 C1B1 =60 A1 B1C1D=90,即DC1 B1C1 又 CC1 平面 A1 B1C1 CC1 C1D D C1D 平面 C1B1 BC 又 N C1 平面C1B1BC , C D C N 1 1 N C1B1 是平面 C1MN与底面所成二面角的平面角。 又 在Rt N B1C1 中,B1N=B1C1 NC1B1=45 即截面 C1MN与底面 A1 B1C1所成二面角为 45 , 利用面积也可作出Cos =
S S

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B N

B1

3 2 6 2 2 =( 4 a )/( 4 a )= 2

=45

距 离 问 题

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一、知识概念
1.距离定义 (1)点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足 之间的距离叫这点到这条直线的距离。 (2)点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之 间的距离叫这点到这个平面的距离。
(3)两平行直线间的距离

两条平行线间的公垂线段的长,叫做两条平行线 间的距离。

返回

(4)两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫两条异面直线 的公垂线;公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度,叫两 异面直线的距离。 (5)直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这个 平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。 (6)两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫这两个平行平面的 公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。

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2.求距离的步骤 (1)找出或作出有关距离的图形 (2)证明它们符合定义

(3)在平面图形内进行计算

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正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1

C1

(1)A到CD1的距离

D
A B

C

点—线

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正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1

C1

(1)A到CD1的距离 (2)A到BD1的距离

D
A B

C

返回

点—线

已知:长方体AC1中, AB=a,AA1=AD=b
求点C1到BD的距离?

D1 A1 D A B1 H

C1 C

2a b ? b C1H= 2 2 a ?b
2 2

4

B

返回

线—线
B A F

矩形CDFE和矩形ABFE所在的 平面相交,EF=5,AD=13,求 平行线AB和CD的距离?

D C

E

返回

点 —面
A

从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离

H
线面垂直 点的射影

点面距离

返回

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置?
P

OA=OB=OC

O为三角形ABC的外心
A O C

B

返回

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影 的位置?
P

O为三角形ABC的垂心
A D O C

B

返回

已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离相等,试判断点P在 底面ABC的射影的位置?
P

O为三角形ABC的内心
O
E C F A

B

返回

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置?外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置?垂心
P

B

A O C

已知三棱锥P-ABC的 顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离 相等,试判断点P在底 面ABC的射影的位置?

内心

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正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1

C1

(1)A到面A1B1CD

D
A B

C

返回

正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1

C1

(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1

D
A B

C

返回

棱长为1的正四面体P——ABC中, 求点P到平面ABC的距离?
P

B

A O C

返回

4.如图,已知P为△ABC外一点,PA、PB、 PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,求P点 到平面ABC的距离。
p

A

O

C

B

返回

3.如图,AB 是⊙O的直径, PA⊥平面 ⊙O,C为圆 周上一点,若 AB=5,AC =2,求B到 平面PAC的距 离。

返回

直角三角形ACB确定平面 ? ,点P在平面 ? 外, 若点P到直角顶点C的距离是24,到两直角边的 距离都是6 10 ,求点P到平面 ? 的距离?

P

A ?

E
O F B

C

例 3:正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,PC 面 ABCD,PC=2。 (1)求证:C 点到平面 PEF 的距离等于 Z A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。 P (2)求点 B 到平面 PEF 的距离。
?

返回

D

C F

A

E

B

线—面
一条直线和一个平面平行时,直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离

返回

A

l

?

A`

例:已知一条直线 l 和一个平 面?平行,求证:直线 l 上各点 到平面?的距离相等

返回

A

l

B

?

?

A`

B`

A

l

B

返回

?

A` A

点—面
l

线—面
?

A`

返回

判断题:

如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等,则这条直线和平面平行吗?

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空间四面体ABCD,问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个?
A A

B
C

D

B

D C

4

3

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练 习
5.如图,已知在长方体ABCD-A’B’C’D’ 中,棱AA’=5,AB=12,求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A' B' C'

D E A B

C

综合练习:
已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是 AD,AB的中点,PC⊥面ABCD,PC=2, 求点B到平面PEF的距离? P D

返回

点 —线
H C

E
A G

O
F B

点—面

线—面

返回

例3:如图:已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是 AB、AD的中点,PC垂直平面ABCD,且PC=2,求点B到 平面EFP的距离。 P 解:连AC,BD,设交于O,设
AC交EF于H 连PH 因为BD∥平面PEF,所以 求B到平面的距离,可转化 为求BD到平面的距离 D E A H

K
O

C

B F 过O作OK⊥平面PEF,可证明OK就是所要求的距 离 此时,得用△OKH∽△PCH,容易求得 OK的值。

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和两个平行平面同时垂直的直 线,叫做这两个平面的公垂线。

?

A

B

公垂线夹在平行平面间的部分, ? 叫做这两个平面的公垂线段。

A’

B’

平面? // 平面?,直线AA’、BB’都是它们的公垂线段

?四边形AA?B?B是矩形
?两个平行平面的公垂线段都相等
两个平行平面的公垂线段的长度,叫做 两个平行平面的距离。

1.已知平面? // 平面?,且点A ??,B ? ?,AB=6cm,

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AB在平面?内的投影为3cm,求两平行平面的距离。

? 分析:过点A作AA ? ? ,垂足为A ? ,连结A B ?

? 为 则AB AB 在平面?内的射影,则A?B=3
? 中, 在Rt△AA B ? AA ?= AB ?A B
2 2

= 6 ? 3 =3 3
2 2

?
?

A

B
A’

题型讲练:
思考:在边长为1的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,M,N,E,F分别 是棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , C1D1的中点. 放 (1)求证:平面 AMN //面 EFDB ; 飞 (2)求:平面 AMN 与面EFDB 的距离. 思
维 的 翅 膀
D A B
D1

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F M
B1

N

C1
E

A1

C

返回

思考题:(1999)如图:已知正四棱柱ABCD-A’B’C’D’ 中,点E在棱DD’上,截面EAC∥D’B,且面EAC与底面 ABCD所成的角为450,AB=a (1)求截面EAC的面积 (2)求异面直线A’B’与AC的距离 D’ A’ E D A B C B’ C’

二、例
例1:在600二面角M-α-N内有一点P,P到平面M、平面N 的距离分别为1和2,求P到直线a距离。 解:设PA,PB分别垂直平面M, 平面N与A、B,PA,PB所确定 的平面为α,且平面α交直线a与Q, a 设PQ=x 在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x 在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x cos600=cos(∠AQP +∠AQP),由此可得关于x的方程 Q M A

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P B N

2 21 最后可解得 x = 3

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例2:菱形ABCD中,∠BAD=600,AB=10,PA⊥平 面ABCD,且PA=5,求: P (1)P到CD的距离 B (2)P到BD的距离 A (3)P到AD的距离 O (4)求PC的中点到 C D E 平面PAD的距离 (1)过P作CD的垂线,交CD 的延长线于E,连AE (2)连BD,交AC于O,连PO

基础题例题
1. α 、 β 是 两 个 平 行 平 面 , a?α , b?β , a 与 b 之 间的距离为d1, α与β之间的距离为d2,则 (A)d1=d2 (B)d1>d2 (C)d1<d2 ( D)

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(D)d1≥d2

2. 一副三角板如图拼接,使两个三角板所在的平面互 相垂直.如果公共边AC=a,则异面直线AB与CD的距离 是 ( C) (A) a (B) a 2 (C)
2 a 2 3 a (D) 2

基础题例题
3. △ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC 所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14, 那么点P到平面α的距离为 (A)7 (B)9 (C)11 ( (D)13 A )

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4. 在长方体, ABCD — A?B?C ?D? 中,已知AB=4,AA1 13 =3,AD=1,则点C1到直线A1B的距离为_________. 5

基础题例题
5. 已 知 Rt△ABC 的 直 角 顶 点 C 在 平 面 α 内 , 斜 边 AB∥α , AB=2√6 , AC 、 BC 分 别 和 平 面 α 成 45° 和 30°角,则AB到平面α的距离为______. 2

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6.在二面角α- l –β的半平面α内有一点 A 到棱 l 的距 离为 2 ,到半面β所在平面的距离等于 1 ,则这个二面角 30o 或 150o 的度数为__________________

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练习: 2.已知四面体ABCD,AB=AC=AD=6, BC=3,CD=4,BD=5,求点A到平面 BCD的距离。
A

B

D
O

C

基础题例题

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7.平面α内的∠MON=60°,PO是平面α的斜线段, PO=3,且PO与∠MON的两边都成45°的角,则点P 到α的距离为 ( A)

A.

3

B.

3 3 4

3 C. 2

3 D. 3

8.直线 EF 平行于平面α内的两条直线AB和CD,EF 与α的距离为15,与AB的距离为17,又AB与CD的距 离是28,则EF与CD的距离是 25或39 .

基础题例题

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? β ,直线 ? a 9. 已知平面α∥β, AB⊥α, AB⊥β, A α, B α, b ? β, a∥b, ? A到 a 的距离为2,B 到 b 的距离为5, AB=4,则a,b间的距离为 . 5或 65
α A

a

a A

α

β β B b B b

能力·思维·方法

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11.在棱长为1的正方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中, (1)求点A到平面 BD1的距离; 解析: (2)求点 A1到平面 AB1 D1的距离; 连AC、BD交于O, (3)求平面 AB1 D1与平面BC 1 D 的距离; (4)求直线AB与平面CDA1 B1的距离. AO⊥BD, D1 C1 又AO⊥DD1, ∴AO⊥平面BD1, B1 AO的长即为所求 A1
AO =
D A C

1 2 AC = 2 2

O
B

能力·思维·方法
11.在棱长为1的正方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中, (1)求点A到平面 BD1的距离; 1 (2)求点 A1到平面 AB1 D1的距离; A1 E = A1C 3 (3)求平面 AB1 D1与平面BC 1 D 的距离; (4)求直线AB与平面CDA1 B1的距离.
D1

返回

3 = 3

O’
A1 E B1

C 1 易知平面

D A

A1ACC1⊥平面AB1D1 在矩形AA1CC1中, 易知A1 C⊥O1A 设A1E⊥AO1于E, ∴A1E⊥平面AB1 D1 C∴A E为所求。 1
B

能力·思维·方法
11.在棱长为1的正方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中, (1)求点A到平面 BD1的距离; (2)求点 A1到平面 AB1 D1的距离; (3)求平面 AB1 D1与平面BC 1 D 的距离; (4)求直线AB与平面CDA1 B1的距离.
D1 C1 A1 B1

返回

E D A

.

.
F C B

易知A1C⊥平面AB1D1 A1C⊥平面BC1D 设直线A1C分别交平 面AB1D1、平面BC1D于 点E、F,则EF的长为 所求

3 EF = 3

能力·思维·方法
11.在棱长为1的正方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中, (1)求点A到平面 BD1的距离; (2)求点 A1到平面 AB1 D1的距离; (3)求平面 AB1 D1与平面BC 1 D 的距离; (4)求直线AB与平面CDA1 B1的距离.
D1 A1 B1

返回

.
D A B

因为直线AB∥平面CDA1B1 ∴点B到平面CDA1B1 的距 离BG就是所求的距离, (G是BC1与B1C的交点, BG⊥B1C, BG⊥CD, G ∴直线BG⊥平面A1B1CD) C 此距离为:
BG = 1 2 BC = 2 2

C1

能力·思维·方法
【解题回顾】(1)求距离的一般步骤是:一作,二证, 三计算.即先作出表示距离的线段,再证明它就是要求 的距离,然后再计算,其中第二步的证明易被忽视, 应引起重视. (2)求距离问题体现了化归与转化的思想,一般情况下 需要转化为解三角形.

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能力·思维·方法

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12. 已知如图,边长为 a 的菱形 ABCD中,∠ ABC=60°, PC⊥平面 ABCD, E是 PA 的中点,求 E到平面 PBC 的距 离. 解:∵E是PA的中点,
P

E
D

.

∴E到平面PBC的距离等于A 到 平面PBC的距离的一半. 由PC⊥平面ABCD, 得到平面PBC⊥平面ABCD
H

C

A

在平面ABCD内作AH⊥BC, 交BC于H, 3 a B 则AH=
2

所求距离为

3 a 4

能力·思维·方法

返回

12. 已知如图,边长为 a 的菱形 ABCD中,∠ ABC=60°, PC⊥平面 ABCD, E是 PA 的中点,求 E到平面 PBC 的距 离.
P

E
D

.
O

C G B

A

误解分析
距离离不开垂直,因此求距离问题的过程实质上是 论证线面关系(平面与垂直)与解三角形的过程,值得注 意的是,“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺 少 的步骤,尤其是证明那一步.

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能力·思维·方法

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13. 在120°的二面角 ? ? l ? ? 内有一点P,它到 二面角的两个面的距离分别是 3cm和4cm,求它在α和 β内的射影的距离和这点到 l 的距离. 解析:设P到α、β的射影分别是M、N,则 PM=3cm,PN=4cm,过P、M、N作平面γ交l于Q则 l⊥γ∴l⊥QM,l⊥QN ∴∠MQN为二面角α-l-β的平面角。 ∴∠MQN=120° ∴∠M+∠N=180° ∴P、M、Q、N四点共圆, ∴∠MPN=180°-120°=60° P到 l 的距离是:
MN= 13

2 39 cm 3

棱棱 柱锥 问问 题题

棱柱(概念)

复习:知识网络

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。

顶点

底面
侧面 高 体积V=Sh
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侧棱
对角线

棱柱(分类)
棱 柱

复习:知识网络
斜棱柱 直棱柱 正棱柱

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四棱柱
四棱柱

直四棱柱 侧棱垂直底面

复习:知识网络
侧面垂直 底面
正方体

长方体 平行六面体 底面是平行四边形

正四棱柱

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要点·疑点·考点
一、棱柱
1.概念 (1) 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围 成的几何体叫棱柱 (2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底 面的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫 正棱 柱

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要点·疑点·考点
2.性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形; (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. 3.长方体及其相关概念、性质 (1)概念:底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体. (2)性质:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c, 对角线长为l ,则l2=a2+b2+c2

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棱锥
棱锥 正三棱锥

复习:知识网络
正四面体

顶点在底面正多边形的 射影是底面的中心
正四棱锥

体积V=Sh/3
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三垂线定理(逆)

复习:重要定理
P

如图,PA⊥平面?,AO是平面?的 斜线PO在平面?内的射影, a? ? (1)若a⊥PO,则a⊥AO; (2)若a⊥AO,则a⊥PO 作用:1 证明线线垂直; 2 作二面角的平面角。

O

a

? A

一作一连法
返回

棱锥基本性质
P
D`
A`

O

C` B`

如果棱锥被平行于底 面的平面所截,那么 截面和底面相似,并 且它们面积的比等于 截得的棱锥的高与已 知棱锥的高的平方比
2
2

D

A

H

S A` B `C ` D ` PO C = 2 2 PH S ABC D B
返回

返回

棱锥基本性质
P

棱锥的高、斜高和斜 高在底面的射影组成 一个直角三角形。棱 锥的高、侧棱和侧棱 在底面的射影组成一 个直角三角形
Rt⊿ PEH Rt⊿ PHB Rt⊿ PEB Rt⊿ BEH

D
A E

H

C B

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正棱锥
如果一个棱锥 的底面是正多 边形,并且顶 点在底面的射 影是底面中心 这样的棱锥叫 做正棱锥

判断正误 1、侧面与底面所成的角 都相等的棱锥是正棱锥 2、棱锥的高可以等于它 的一条侧棱长 3、棱锥的高一定在棱锥 的内部 4、侧面均为全等的等腰 三角形的棱锥是正棱锥

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在下列条件下,判断正三棱锥P-ABC 的顶点P在底面ABC内的射影位置
1、三条侧棱相等
2、侧棱与底面所成的角相等 3、侧面与底面所成的角相等 4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等 5、三条侧棱两两垂直 6、相对棱互相垂直 外心 外心 内心 内心

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垂心 垂心 垂心

7、三个侧面两两垂直

有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥?
有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥? 有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥?

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基础题例题
1.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形, 那么它的三个侧面( C ) (A)至多只有一个是直角三角形

返回

(B)至多只有两个是直角三角形
(C)可能都是直角三角形 (D)必然都是非直角三角形

基础题例题

返回

2.命题: ①底面是正多边形的棱锥,一定是正棱锥; ②所有的侧棱的长都相等的棱锥,一定是正棱锥; ③各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥,一定是正棱 锥; ④底面多边形内接于一个圆的棱锥,它的侧棱长都相等; ⑤一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直; ⑥一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直. 其中正确的有 ( C ) (A)0个 (B)1个 (C)3个 (D)5个

基础题例题
2.正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=√2 BB1,则AB1
与C1B所成角的大小是 A.60o B.90o C.105o D.75o ( B)

返回

基础题例题
3. 长 方 体 三 边 之 和 为 a+b+c=6 , 总 面 积 为 11 , 则 5 ;若一条对角线与二个面所成的 其 对 角 线 长 为 __ 角 为 30° 或 45° , 则 与 另 一 个 面 所 成 的 角 为 30° ___ ;若一条对角线与各条棱所成的角为α、

返回

β、γ,则sinα、sinβ、sinγ的关系为_____
sin2α+sin2β+sin2γ=2 ___________________________.

返回

设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥 的中截面(过棱锥的高的中点且平 行于底面的截面)的面积是多少?
P
D` A`

O

C` B`

D A H C

S A` B `C ` D ` PO = 2 S A B C D PH 1 S A` B `C ` D ` = 4 8
2

B

S中=2

返回

过棱锥的高的三等分点作两个平行 于底面的截面,它将棱锥的侧面分为 三部分面积之比(自上而下)为 。

返回

过棱锥的高作两个平行于底面的截面, 它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则 它分棱锥的高的比是(自上而下) 。

返回

正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b, 求它的高和侧面积?
P

A

O

C

B

D

返回

正三棱锥的底面边长为1.侧面与底 面所成的角为60,求它的高和相邻两 侧面所成的二面角的大小?
P

E A B O C

D

返回

正四棱锥的底面边长为1.侧面与底 面所成的角为60,求它的高和相邻两 侧面所成的二面角的大小?
P

F

D O E

C

A

B

返回

正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所 成的角为60,过底面一边做一截面使其与 底面成30的二面角,求此截面面积?
P

E A F B O C

返回

已知:三棱锥P-ABC的底面是等腰三角 形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面 所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?

P

A

B

O

D

C

返回

连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心 成一个三角形,求此三角形的面积?
P

A B

C

返回

在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是 4,其内接正三棱柱的三个侧面都是正 方形,求内接正三棱柱的全面积?
P

A
B

C

能力·思维·方法

返回

4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中, 侧 棱 PA⊥ 底 面 ABCD , ∠ ABC=90° , PA=AB=BC=2 , AD=1, (1)求D到平面PBC的距离; (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。?
P 解: (1)∵AD//平面PBC ∴D到平面PBC的距离等于A到 平面PBC的距离 ∵PA⊥BC, AB⊥BC ∴BC⊥平面PAB ∴平面PBC⊥平面PAB A D ∴A到PB的距离就是A到平面 PBC的距离 ∵PA=AB=2, PA⊥AB, B 2? 2 = 2 ∴D到平面PBC的距离为 ∴A到PB的距离为 22 ? 22

C

2

能力·思维·方法

返回

4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中, 侧 棱 PA⊥ 底 面 ABCD , ∠ ABC=90° , PA=AB=BC=2 , AD=1, (1)求D到平面PBC的距离; (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。?
(2)延长CD与BA相交于Q, 1 ∵AD∥BC,且 AD= BC 2 ∴A是QB的中点, 又PA=AB=AQ ∴BQ⊥PQ,
P

Q

又∵BC⊥平面PAB, A D ∴CP⊥PQ, 故∠CPB是所求二面角的 B C 平面角, BC 2 2 tan ?CPB = = , 故面PCD与面PCD所成的二面角为 arctan BP 2 2

例题讲解

作、 证、 求?
P

返回

1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a的正方形,PB⊥面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为 600,求四棱锥的体积;

B 解:∵ PB⊥面ABCD,BA⊥AD, C ∴PA⊥AD ∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角 即∠PAB=600 在Rt⊿PAB中,AB=a, ∠PAB=600 ∴PB= 3 a D

A

3 3 V= a 3

例题讲解
1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的正方形,PB⊥面ABCD.

返回

P

(2)证明不论高PB怎样变化,面PAD 0. B 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 小结:作二面角平面角的方法

M

A

证:由题设侧面PAD与PCD为全等⊿, C D 作CM⊥PD于M,连结MA,则⊿CDM≌⊿ADM, ●有面的垂线,则一作一连法 ∴AM=CM,∠AMD=900 故AMC就是所证二面角的平面角. ●AC 定义法,在两面内作棱的垂线 连结 在⊿AMC中,由余弦定理 2 2 2 2 2 2 AM ? MC ? AC AD ? CD ? AC ●面积射影定理 ? =0 cos∠AMC = 2 AM ? MC 2 AM ? MC 故∠AMC>900,即证.

变化一
四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形,∠BCD=600,PB⊥面ABCD. 若面PAD与面ABCD的二面角为600, P 求四棱锥的体积;

返回

B
C E D

A

变化二
四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形,∠BCD=600,面PBC⊥面 ABCD,且⊿PBC是等边⊿. 求侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角;

返回

P

注意:●面面垂直的应用


B E C D

分析平面图形

A

例题讲解
2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900 ,D、E分别 是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 A
1

返回

B1 C1 E D

(1)求线段DE的长
解:取AB的中点F,连结EF,CF, ∴EF//AA1//CC1 ∵D是中点,∴EF // CD ∴DE=CF 在⊿ABC中,CF= 2 ∴DE=
2

A

F

B

C

例题讲解
2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900 ,D、E分别 A1 是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示) C1
解:∵ ABC-A1B1C1是直棱柱,AC⊥BC, ∴AC⊥侧面BB1C1C, 作CM⊥BD于M,连结AM, 则∠AMC就是所求二面角的平面角; 在⊿ACM中,AC=2 AC⊥CM, ∴tan∠AMC=AC/CM=
2 5 CM= 5

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B1

E D A C M B

5

即所求为 arctan

5

例题讲解
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.
A1 解:连结BG,由已知∠EBG就是所求的角,
…… ……

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(1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示);
M

B1

C1
D

E

2A ∴A1B与平面ABD所成的角为 arcsin 3
C

EG 2 sin?EBG = = EB 3

G

F

B

例题讲解
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。 A1
B1 C1 D A C B

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方法A:作垂线法 方法B:等体积法

E

方法A:作垂线法
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。 A1
解A:由上题解知,DE⊥平面AA1B1B ∴平面ADE⊥平面AA1B1B于AE
A1 A ? A1 B1 在⊿A1AB1中,A1K= AB1

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M C1 D K F C E

B1

A

B

2? 2 2 2 6 = = 3 2 3

方法B:等体积法
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。 A1
B1 C1 D A C B

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VA ? ADE = VD? AA E 解 B:
1 1

? S?AED ? d = S?A1 AE ? DE
2 6 ?d = 3

E

方法C:对象转换法

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小结:

1、联想概念及其性质;
2、分解难点,掌握各类基本作图; 3、强调作证求过程;

4、空间问题平面化,尤三角形内
的计算。

面体 积积 问问 题题

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常用体积公式

c a

b

V长方体 = a b c

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常用体积公式

h
s

V棱柱

=

s



· h

V棱柱

=

s



· l

返回

常用体积公式

V棱锥= s 底 ·
h
1 3

基础题例题
1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (B) 2 2 cm2 (C)2cm2 (D) 2 cm2

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2. 一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积 是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为 (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 ( C ) (D) 1 : 7

基础题例题
3.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的 长度之和为24,一条对角线长度为5 ,体积为2,则

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1 1 1 ? ? 等于 a b c 4 1 1 (A) (B) 11 4

( A )

11 (C) 2

2 (D) 11

基础题例题
4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个
侧面的距离是a,则这个三棱柱的体积是 ( C )

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1 (A) Sa 3

(B) 1 Sa 4

1 (C) Sa 2

2 (D) Sa 3

5.在侧棱长为2√3,每个侧面的顶角均为40°的正三棱 锥 P-ABC 中,过 A 作截面分别交 PB 、 PC 于 E 、 F ,则 △AEF的最小周长是 ( ) A (A) 6 (B) 2 3 (C) 36 (D)
6

3

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例.设P是棱长相等的四面体内任意一点, 则P到各个面的距离之和是一个定值,这个 定值等于( )。 (A)四面体的棱长 (B)四面体的斜高 (C)四面体的高 (D)四面体两对棱间的距离

提示:用体积法求解

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解:如图正四面体ABCD中,过点A作四面体 的高AO,则由点P分别连接PA、PB、PC、 PD,得到四个小四面体, 若点P到四个表面的距离分别为h1、h2、 h3、h4,那么四面体被分成的四个小四面体, 它们的体积和恰好是四面体ABCD的体积,
A

P B O D

C

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∴ VABCD=VPBCD+VPABC+VPABD+VPACD,
1 ? S? BCD ? AO 3 1 1 1 1 = ? S? BCD ? h1 ? ? S? ABC ? h2 ? ? S? ABD ? h3 ? ? S? ACD ? h4 3 3 3 3



∴ h1+h2+h3+h4=AO. 选C.

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例.若正四棱柱的底面积为P,过相对两侧 棱的截面面积是Q,则该四棱柱的体积是 ( )。
D1 A1 B1 D A C1

2 2 (A) Q P (B) P Q 2 2

(C) Q P

( D) P Q

C B

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解:如图,设四棱柱底面边长AB=a,高
AA1=b,则P=a2,过两侧棱AA1、CC1的截面

面积Q= 2 ab,∴ b = Q = 2Q
2a 2 P

∴ 四棱柱的体积
2Q 2 V = S ABCD ? AA1 = a b = P ? = Q P 2 2 P
2

选(A)

6. 若一个斜棱柱 A1B1C1—ABC 的底面是等腰 △ ABC ,它的 三边边长分别是 AB=AC=10cm,BC=12cm,棱柱的顶点A1 与A、B、C三点等距,且侧棱AA1=13cm,求此棱柱的全面 积. 解:自B引BD⊥AA1于D,连接CD,
A1

∵AA1=A1B=A1C, 底面△ABC为等腰△, B1 故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边 由三垂线定理知, BC的高AE上, D BC⊥AA1, 即侧面B1BCC1为矩形, 由AA1⊥BC,AA1⊥BD, A C 得AA1⊥平面BDC, ∴AA1⊥CD, O F E 在△A1AB中,引A1F⊥AB于F, B 在Rt△A1FA中,由A1A=13,AF=5,A1F=12, 12 12 120 sin ? A AB = , 得 则BD=AB×sin∠A1AB=10× = 1 13 13 13 ∴S柱侧=(BD+DC+BC)×A1A=396, 又在△ABC中,AE⊥BC,AB=10,BE=6,得AE=8, ∴S△ABC=8, 返回 ∴S柱全=396+2×48=492(cm) 2

C1

能力·思维·方法
7.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1—B1EDF的体积.
解:方法一: 连接A1C1, B1D1交于O1, 过O1作O1H⊥ B1D于H, ∵EF//A1C1, ∴A1C1//平面B1EDF D1 ∴C1到平面B1EDF的距离 就是 A1C1就是 到平面B1EDF的距离 ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF, ∴O1H⊥平面B1EDF 即O1H为棱锥的高 ∵△B1O1H∽△B1DD1
B1O1 ? DD1 6 ? O1H = = a B 6 11D

返回

C1

.

O1

B1 A1

.F
C

H

.E
B

VC1 ? B1EDF

6 A1 3 = ? ? 2a ? 3a ? a= a 3 2 6 6 = S B1EDF ? O1 H= 1 ? 1 ? EF ? B 1 D ? O1 H 3 3 2

D 1 1

能力·思维·方法
7.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1—B1EDF的体积.

返回

解:方法二: 连接EF 设B1到平面C1EF的距离为h1, D到平面C1EF的距离为h2 , 则 h1+h2=B1D1=√2a ,
VC1 ? B1EDF = VB1 ?C1EF ? VD ?C1EF
1 1 3 = SC1EF ? (h1 ? h2 ) = a 3 6
D D1

C1

B1 A1

.F
C

.E
B A

能力·思维·方法
7.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1—B1EDF的体积.

返回

解:方法三:

C1

B1 A1

VC1 ? B1EDF ? VE ?C1D1D
1 3 = a 6

D1

= V多面体 A1B1E ? D1C1FD ? VE ? A1B1C1D1

.

F

C

.E
B A

D

返回

将边长为a的正方形ABCD沿对角线 AC折起,使B,D两点间距离变为a, 求所得三棱锥D-ABC的体积?
D
O A A B B C D O

C

返回

将边长为a的正方形ABCD沿对角线 AC折起,使B,D两点间距离变为a, 求所得三棱锥D-ABC的体积?
D
C D O B

A A B

C

返回

正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分 别是BB1,DD1的中点,棱长为a, 求四棱锥D1-AEC1F的体积?
D1 A1 F B1 E D A B C C1

返回

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1
D A A1 C

D1
B

C1 B1

返回

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1
D A A1 C

D1
B

C1 B1

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1 (2)求平行六面体的体积?
D A D1 B B1 C

返回

CE=
C1

6 a 3

o
A1

E

SA1B1C1D1= 2 3a2

V= SA1B1CD1×CE
= 2

2a 3

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1 (2)求平行六面体的体积?
D A D1 B C C1

返回

S⊿B1CD1=

2a 2

A1

B1

VC1-B1CD1= 1 3 S⊿B1CD1×CC12
? 3

a2

平行六面体中,已知AB=AD=2a,AA1=a, ∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60° (1)求证:AA1⊥面B1CD1 (2)求平行六面体的体积? 2
D A D1 B

返回

S⊿B1CD1= VC1-B1CD1= 1 3 C S⊿B1CD1×CC1
C1

2a

?

A1

B1

= 1 3 S⊿B1C1D1×h V= ( 2 S⊿B1C1D1)×h
= 2

2 2 a 3

2a 3

返回

求多面体的体积时常用的方法
直接法 根据条件直接用柱体或锥体的体积公式 如果一个多面体的体积直接用体积公 割补法 式计算用困难,可将其分割成易求体 积的几何体,逐块求积,然后求和。 如果一个三棱锥的体积直接用体积公式 变换法 计算用困难,可转换为等积的另一三棱 锥,而这一三棱锥的底面面积和高都是 容易求得

返回

求棱长为a的正四面体的体积.

2 3 V= a 12

返回

已知正三棱锥的侧面积是18 3 ,高为 3,求它的体积?

V =9 3

返回

若正四棱锥的底面积是S,侧面积 是Q,则它的体积为?

1 2 2 V= S (Q ? S ) 6

返回

过棱锥的高的三等分点作两个平行于 底面的截面,它将棱锥分为三部分体 积之比(自上而下)为 。

1
7 19

返回

三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直, PA=a, PB=b, PC=c , ⊿ABC的面积 为S求点P到底面ABC的距离
P C
A

abc d= 6S

B

返回

已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别 是AD,AB的中点,PC⊥面ABCD,PC=2, 求点B到平面PEF的距离?
P D

点 —线
H C

E
A G

O
F B

点—面

线—面

返回

已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别 是AD,AB的中点,PC⊥面ABCD,PC=2, 求点B到平面PEF的距离?
P D E A G F B C

V棱锥B-PEF
= 1 3 S⊿PFE×h

V棱锥P-BEF
= 1 3 S⊿BFE×PC

返回

斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C 的面积为S,AA`到此侧面的距离是 a,求此三棱柱的体积?
C` A` C B`

A

B

1 V = Sa 2

返回

斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C 的面积为S,AA`到此侧面的距离是 a,求此三棱柱的体积?
C` A` C B`

A

B

1 V = Sa 2

返回

如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是 边长为3的正方形,EF//AB,EF=1.5, EF 与面AC的距离为2,求此多面体的体积?
E
H

F

V棱柱BCF-GHE
=4.5
C

D A
G

V棱锥E-ADHG
=3

V 多面体ABCDEF =7.5

B

返回

如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是 边长为3的正方形,EF//AB,EF=1.5, EF 与面AC的距离为2,求此多面体的体积?
E F

D A B

V棱锥E-ABCD =6 V 棱锥F-BCE = C V棱锥C-BFE = 1 2 V棱锥C-AEB = 1 4V棱锥E-ABCD =1.5

返回

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3, 侧棱长为4,求四面体ABB1C1的体积
C1 A1

B1

C

A

B

返回

已知三棱锥有一条棱长为4,其余各棱 长为3,求其体积? D

3

3

4
A C

B

返回

已知三棱锥有一条棱长为4,其余各棱 长为3,求其体积? D E A C

V棱锥D-ABC V棱锥D-BCE V棱锥A-BCE V棱锥D-ABC
= 1 3 S⊿BCE×AD

B

返回

已知三棱锥P-ABC中,PA=1,AB=AC=2, ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°,求三棱 锥的体积?

P

A

C B

返回

已知三棱锥P-ABC中,PA=1,AB=AC=2, ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°,求三棱 锥的体积?
解法一

P 直接法
A E
O

C

B

返回

已知三棱锥P-ABC中,PA=1,AB=AC=2, ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°,求三棱 锥的体积?
解法二

P 变换法
A

C B

返回

已知三棱锥P-ABC中,PA=1,AB=AC=2, ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°,求三棱 锥的体积?
P
F

解法三

A

E

C B

割补法

返回

已知三棱锥P-ABC中,PA=1,AB=AC=2, ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°,求三棱 锥的体积?

D
P

解法四

割补法
A C B

返回

例:如图已知正三棱锥S — ABC中,E、F分别是SB、 SC 的中点,平面AEF⊥平面SCB.
求证:三棱锥S—ABC侧面 积与底面积的比。 解:作正棱锥的高SO,连结AO并延长交BC于D,
连结SD交EF于G,连结AG. ∵SO ⊥平面ABC,O是△ABC中心 C ∴D是BC的中点. 又∵EF是△SBC的中位线 F G S

E
O

A

D B

∴G是SD的中点根据对称性,AE=AF ∴AG ⊥EF ∵平面AEF ⊥平面SCB ∴ AG ⊥ 平面SBC, ∴ AG ⊥SD, △ASD是等腰三角形,SA=DA

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3 2 设正三棱锥S—ABC的底面边长为a ,则AD= a ,SA=SB= a 2 2

于是: S侧 S △ABC

=

3

1 · 2

SD·BC

1 AD · BC 2

=
S

3SD AD

=

6

F
G C D E A

O

B

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的 等边三角形,另一个侧面是等腰直角三角形。求 此三棱锥的体积。
S

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A D B

法一:取AB中点D,连接SD,CD。 易得△ABC为等腰直角三角形, ?ACB=90o。则有SD⊥AB, CCD⊥AB。又SA=SB=SC, ∴S在底面的射影为底面的外心, 即点D,∴SD⊥平面ABC。 ∴由VS-ABC= 1 S△ABC?SD得三棱锥体积。

3

例、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形,另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S E A F B

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解法二 提示:设三棱锥S-ABC,侧面SAC、 SBC为等边三角形,边长为 6 , C SA?SB。取SA中点E,AB中点F,连接 AE、BE、EF。可证得:SC ?平面ABE。 利用:VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。
(KEY: 3 )

注意:分割法求体积。

例、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求D1到截面C1BD的距离。
D1 A1 D A B B1

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C1

提示:利用 V D ?C B D =V B ?C D D 求解。
1 1

1

1

KEY:

C

3 a 3

注意:等体积法求点面距离。

例:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1, AB=2,点E在棱AB上移动. (1)证明:D1E⊥A1D ; (2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离; ? (3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为
D1 A1 D A E B B1 C C1

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4

等体积法求点面距离

通过以上的解答,我们不难看出等体积法在处理点到 例:已知四棱锥 P—ABCD ,PB⊥AD,侧面PAD为 面的距离和体积时非常有效 ,因此我们在平时的学习 边长等于 2的正三角形,底面 ABCD为菱形,侧面 中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解 。 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一 (Ⅰ)求点 P到平面 ABCD的距离;(Ⅱ)求面 种重要思想方法 .在利用等体积法时我们应该在原图 APB 与面CPB所成二面角的大小。 形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。

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E A B

等体积法求点面距离

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例:正三棱锥的侧面积为18 3 cm2,高为3cm.被一个 过底面中心且平行于一个侧面的平面所截,求这个截 面与底面所成的角和面积
V 解:过底面△ABC的中心O作 OD∥BC,交AB、AC于D、E, 过DE作平面DEF ∥平面VBC, 与平面ABV、平面ACV分别交 A 于DF、EF。 设正三棱锥底面边长为 a cm,AO 与BC交于C,连VG设VG=h cm F E C G B

D

O



1 S侧=3× 2 × a ×h=18

返回

3

a h=12 3
h2 3 a 2
1 2 =9 a 12




在△VOG中

VG2 =VO2 +OG2 VO = 3
1 3×

OG =

V F A D O E G C

解①②得h=2 3 a =6 由VO = 3 = OG 3
1 2×

3

∠AGV= ∠AOF=600 S截面=
2 DE= 3 a=4

DE×OF
8 3 S截面= 3

B

OF=

4 3 2 VG= 3 3

1 体积问题: V棱柱=sh V棱锥= sh 3 例:已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都是2, 侧棱与底面成 60 角,且侧面ABB1A1⊥底面ABC C1
0

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(1)求证:B1C ⊥平面ABC1 (2)求C1A与A1B1所成的角 (3)求三棱锥B1—ABC1的体积

A1

B1

O
C

A

D

B

返回

练习: 1.正方体的棱长位 a , 以它的上底面中心 以及下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧 3 2 面积是_______. a 2.已知三棱锥的两个面是边长为 6 的正 三角形,另外两个面是等腰直角三角形,则 此三棱锥的体积____________. 3
2

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3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B)2 2 cm2 (D) 2cm2

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4.若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积 是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C

)

(B) 1 : 3

(C) 1 : 8

(D) 1 : 7

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5.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的 长度之和为24,一条对角线长度为5 ,体积为2,则

1 1 1 ? ? 等于( a b c 1 1 (A) 4 11 (C) 2

A

)

4 (B) 11 2 (D) 11

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6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个 侧面的距离是a,则这个三棱柱的体积是( C ) (A) 1 Sa

3 (C) 1 Sa 2

(B) 1 Sa

4 2 (D) Sa 3

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7.在侧棱长为 23,每个侧面的顶角均为 40°的正三棱 锥 P-ABC 中,过 A 作截面分别交 PB 、 PC 于 E 、 F ,则 △AEF的最小周长是( A ) (A) 6 (C) 36 (B) 2 3 (D)
6

3

8. 如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥ AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点. (1)求证:EF⊥面BCD; (2)求多面体ABCDE的体积; (3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.

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【解题回顾】对于 不规则几何体一定 要能识别其本质, 本题的多面体实际 上是倒着的四棱锥.

9. 在三棱锥 P-ABC 中, PA 、 PB 、 PC 两两成 60°角, PA=a,PB=b,PC=c,求三棱锥P-ABC的体积.

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【解题回顾】(1) 把 A 、 B 、 C 中的任一个点作为顶点 ( 其余三点构成的三角形作为底面 ) 是解题的关键,这 说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角 度在解题中是十分重要的. (2)当a=b=c时,得到正四面体的体积是?.
(3)若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R,设PM=

VP - MNR mnr = m,PN=n,PR=r,则容易证明 ,这一结论与 VP - ABC abc PA、PB、PC成多大的角无关.

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10.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰△ABC, 它的三边边长分别是AB=AC=10cm,BC=12cm,棱柱 的顶点 A1 与 A 、 B 、 C 三点等距,且侧棱 AA1=13cm , 求此棱柱的全面积. C1
A1 B1

E

C
A

B

【解题回顾】求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个 侧面的面积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面 BCD的周长去乘AA1而得到.

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误解分析
1. 求斜棱柱的全面积,除直截面周长乘侧 棱长这个公式外,大多采用逐一求出各表 面面积,然后作和的方法,因此不要盲目 套什么公式,或在相加时,漏了上、下底 面积
2. 求三棱锥的体积非常灵活,有直接法、 割补法、颠倒顶点法等,不管用何种方法 ,一定要看清字母位置,更不能漏乘1/3.

与多 球面 的体 问 题

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例.一个凸多面体的棱数为30,面数为12,

则它的各面多边形的内角总合是(
5400° 7200° (B)6480° (D)7920°

)(A)
(C)

提示:运用“欧拉定理” E+2=V+F。

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解:根据欧拉定理 V=(E+2)-F=32-12=20. 设该多面体的12个面的边数分别为E1, E2,??,E12, 那么共有棱数30= 1 ( E1+E2+??+E12), 2 ∴ E1+E2+??+E12=60, 12个面中每个面的内角为 ( Ei ? 3) ?180? (i=1,2,??,12), ∴ 内角总合为

?
i =1

12

( Ei ? 3) ?180? = [( E1 ? E2 ? ? E12 ) ? 36] ?180? = 24 ?180?

=6480°,∴ 选B.

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已知凸多面体每个面都是五边形,每个顶点 都有三条棱,试求该多面体的面数、顶点数 和棱数.
【解题回顾】用欧拉公式 V+F-E=2 解题时,要善于发

nF 现棱数E与面数F、顶点数V的关系,一般有E = 2 mV 和E = 2

基础题例题
1.一个四面体的所有棱长都为√2,四个顶点在同一球面 上,则此球的表面积为 ( A ) (A)3π (B)4π (C)3 3π (D) 6π

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2.地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬

45°,东经30°)的最短距离为(地球半径为R)
(A)R (B)

πR

3.在北纬45o的圈上有甲、乙、丙三地,甲乙、乙丙之间

πR (C) 3

( C )

(D) πR

2

的经度差都是90o,则甲丙两地的球面距离是甲乙两地球

3 2 倍 面距离的 ______

基础题例题

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4.球的表面积膨胀为原来的 2 倍,膨胀后的体积为原来的 ( C) A. √2倍 B.2倍 C.2√2倍 D.4倍

2 2 5.棱长为2的正四面体的体积为_____________ 3
6.设P、A、B、C是球O面上的四点,且PA、PB、PC两两 互相垂直,若PA=PB=PC=a, 则球心O到截面ABC的距离

3 a 是______________ 6

能力·思维·方法
7.求正八面体每相邻两个面所成二面角的大小。 解:如图,设棱长为 a,AE中点为F,
连接BF、DF, ∵△ABE,△ADE是正三角形, ∴BF⊥AE,DF⊥AE,
3 a, 2
B

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F C A

E

∴∠BFD是二面角B-AE-D的平面角, △BDF中,BF=DE= BD=
2 a2 ? (
D

2 2 a ) = 2a , 2

BF 2 ? DF 2 ? BD 2 1 BD 2 1 ? cos ?BFD = = 1? ( ) =? 2BF ? DF 2 DF 3 1 1 ? ?BFD = ? ? arccos ∴所求二面角为π- arccos 3 3

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三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求 三棱锥的内切球半径. 解:取CD的中点E,连接AE,BE, 由CD⊥AE,CD⊥BE, B 得CD⊥平面ABE 又AD=5,DE=3,得AE=BE=4, 故△ABE的面积为3√7 1 于是,VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE = 3 S ABE ? CD = 6 7
A

D E C

显然,三棱锥的三个侧面全等,各侧面的面积为12, 设三棱锥的内切球半径为 r,则 1 VA-BCD= (SABC+SBCD+SCDA+SDAB)· r 3 1 = ·48r =16r 由16r=6√7 得内切球的半径为 r = 3 7 3
8

能力·思维·方法
【解题回顾】

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正如三角形的内切圆经常与面积发生关 系一样,多面体的内切球的半径也常与 体积发生联系.

例题选讲

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球内有相距1cm的两个平行截面的 面积分别是5?cm2, 8?cm2,球心不 在截面之间,求球的体积

O O1 A

B

O2

能力·思维·方法

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9.在球内有相距14cm 的两个平行截面,它们的面积分别是 64πcm2 和 36πcm2,求球的表面积。 解:设球半径为R, (1)当截面在球心同侧,如图(1)
则有√R2-36-√R2-64=14 而此方程无解,故截面在球心的同侧 不可能。 (2)当截面在球心异侧,如图(2) 则有√R2-36 解得 R=10 ∴S球面=4πR2=400π(cm)2 ( 2) +√R2-64=14

.

( 1)

.

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球的表面积是2500 ?,球内有两 个平行截面的面积分别是49?、 400?,求两截面距离
O1 O O A O2

A

O1 B

B

O2

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将两个半径为1的铁球熔化成一个 大球,求大球的半径?

R= 2
3

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将一个半径为1的球投入底面边 长是4的正四棱柱型盛水容器中, 求水面上升的高度?

返回

将一个半径为1的球投入底面边 长是4的正四棱柱型盛水容器中, 求水面上升的高度?

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求正方体的内切球和它的外接球 的表面积之比

返回

求正四面体的内切球和它的外接 球的体积之比
D

6 R= a 4
O

A B

H

C

6 r= a 12

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半球的半径为R,一正方体的四个 顶点在半球的底面上,另四个顶点 在球面上,求正方体的棱长

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例:共端点M的三条线段MA、MB、MC两两 垂直,过M、A、B、C刚好可作一个半径为2 的球,则MA、MB、MC的平方和为( ) 解:以MA、MB、MC为棱作长方体,那么这 个长方体的八个顶点都在球上,且长方体的对 角线恰好是球的直径,所以球的直径d=4, 而MA2+MB2+MC2=d2=16.

延伸·拓展
过半径为 R的球面上一点作三条两两垂直的 弦MA、MB、MC. (1)求证:MA2+MB2+MC2为定值; (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.
【解题回顾】(1)MA、 MB 、 MC两两垂直 .根据球的对 称性,采用补形的方法,可以把它补成一个球的内接 长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方, 即 MA2+MB2+MC2=4R2. 在做选择题、填充题时就可直 接用这个结论. (2)在球中的线段计算问题,常转化为小圆半径,大圆 半径及球心到截面距离来解决. 返回

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误解分析
1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中, 作出的截面一般过多面体的对角线,且对角 线长为球的直径?若过对棱中点作横截面, 将会出错. 2.球面上两点间距离不是直线距离,也不是 纬度圈上的劣弧长,而是指过这两点的球大 圆上 的劣弧长,不能错啊!

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例:如图所示,在纬度为α的北纬纬线上有一

点A,其中α是△AOO’的三内角的等差中项,
而t是 离. 与 3 6? 3 2 的等比中项,当地 3 6? 3 2 球自转t小时后,求点A转动前后的球面距

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解:由题意得 α=60° ,
t 2 = (3 6 ? 3 2)(3 6 ? 3 2) = 36 , t=6,

设点A转动后为点B,由于地球转一圈需24 1 小时,因此6小时转了圆周长的 , 4 所以∠AO’B=90°, ∠OAO’=30°, 所以∠AO’B=90°, ∠OAO’=30°, 1 所以AO’=Rsin30°= 2 R=BO’, 2 AB= 2 R,

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由余弦定理得:
2 2 R ? R ?( R) AO 2 ? BO 2 ? AB 2 3 2 cos∠AOB= = = 2 AO ? BO 2R ? R 4
2 2

∴ ∠AOB=arccos 3
4

,
4

A点转动前后的球面距离为Rarccos3

.

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1.一个四面体的所有棱长都为 2,四个顶点在同一球面 上,则此球的表面积为( A ) (A)3π (B)4π (C)3 3π (D) 6π

2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱,则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A ) (A)2F+V=4 (C)2F+V=2 (B)2F-V=4 (D)2F-V=2

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3. 一个凸多面体的顶点数为 20 ,棱数为 30. 则它的各面 多边形的内角总和为( ) A (A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°

4.将棱长为 3的正四面体的各棱长三等分,经过靠近顶 点的各分点,将原正四面体各顶点均截去一个棱长为 1 的小正四面体,剩下的多面体的棱数为( A ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)19

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5.地球表面上从A地(北纬45°,东经120°)到B地(北纬 45°,东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( A )

(A)R (C) πR

(B) πR (D) πR

3

2

翻生 折活 问问 题题

如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高 AD为折痕,使⊿ ABD和⊿ ACD折成相垂 直的两个面。 求证:(1)BD⊥CD;(2)∠ BAC=60°.
A A

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B

D

C

B

D

C

例:已知:E、F是正方形ABCD的边BC和CD 的 中 点 , 分 别 沿 AE 、 EF 、 AF 将 ⊿ ABE 、 ⊿ECF、⊿AFD折起,使B、C、D三点重合于 P点,如图所示。 (1)求证:AP ⊥ EF; (2) 求二面角A-EF-P的大小。
A

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D
F
A

P?BCD?

F

B

E

C

E

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解:(1)∵AP⊥PF,AP ⊥PE, PE∩PE=P ∴ AP⊥平面PEF 又∵EF ? 平面PEF ∴AP ⊥EF.

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(2)取EF的中点H,连结PH、AH, ∵PE=PF,AE=AF ∴AH ⊥EF,PH ⊥EF ∴ ∠AHP是二面角A-EF-P的平面角。 由(1)知AP ⊥平面PEF,而PH ? 平面PEF ∴AP ⊥PH,即⊿ APH是Rt⊿.
AP 1 ∴ cos∠AHP=PH = 3

1 , ∠ AHP=arcos 3 1 ∴二面角A-EF-P的大小为arcos 。 3

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例:在矩形 ABCD 中, AB=3 , BC=4 , 沿对角线BD对折成二面角A-BD-C,使A 在平面BCD上的射影在BC上。 (1)求异面直线AB与CD所成的角; (2) 求AB和CD间的距离。
A

A
D

B
B
C

D
C

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例 3 :已知 Rt⊿ABC 中, AB=3 , BC=4 , E是斜边AC边上的一点,沿BE将ABE折 起 , 使 二 面 角 A-BE-C 是 直 二 面 角,当 AC最短时,求∠ABE的大小。
A
E

A

H

E
C

B

C

B

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练习
1、长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3, BC=2,AA1=1,一蚂蚁从点A沿其表面爬 到C1点的最短路程为( )
A、

26

B、2

5

C、3 2

D、 14

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2、如图代表未折叠正方体的展 开图,将其折叠起来,变成正方 体后图形是( )

A

B

C

D

5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中
①BM与ED平行; ②CN与BE是异面直线;

N
D E A C B F
N D E A B C F
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M

③CN与BM成60°的角;
④DM与BN垂直。 以上四个命题中,正确

M

命题的序号是( ③ ④ )

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复习小结

1、解折叠问题首先是准确地画 出原来的平面图形及折叠后的空 间图形,对照两图形中对应元素 的位置、大小、形状,确定不变 元素,不变量是解题的基础,折 叠所成的二面角往往是解题的关 键。

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2、求侧面上两点间的最短距 离,一般都是将空间图形沿某 一条棱或母线剪开铺平,化 为求两点决定的线段长, 从而 化“曲”为“直”,化“折” 为“平”。展开是空间问题 平面化的一种常用方法。

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一个立方体的六个面上分别标有字母 A 、 B 、C、D、F,下图是此立方体的两种不同放 置,则与D面相对的面上的字母是 ( B )

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如图,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶 点为顶点且四个面都是直角三角形的四 A1 - ABC等 面体是__________ ( 注:只写出其中的一个,并在图中画 出相应的四面体)

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一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法 :①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记 三种盖法屋顶面积分别为 P1 、 P2 、 P3. 若屋顶 斜面与水平面所成的角都是α ,则 ( D )? (A)P3>P2>P1 (B)P3>P2=P1 (C)P3=P2>P1? (D)P3=P2=P1?

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已知甲烷 CH4的分子结构是:中心一个碳原子, 外围有4个氢原子(这4个氢原子构成一个正四 面体的四个顶点).设中心碳原子到外围4个氢 原子连成的四条线段两两组成的角为 θ ,则 A cosθ 等于 ( ) (A)-1/3 (B)1/3 (C)-1/2 (D)1/2

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在直角坐标系 xoy 中,点A、B、C 、D的坐标分别为 (5, 0)、(-3,0)、(0,-4)、(-4,-3), 将坐标平面沿y轴折成直二面角. (1)求AD、BC所成的角; (2)BC、OD相交于E,作 EF⊥AD于F, 求证:EF是AD、BC的公垂 线,并求出公垂线段EF的长; (3)求四面体C-AOD的体积.
【解题回顾】这是一道与解几结合的翻折题,画好折后 图将原平面图还原成四棱锥,进一步用三垂线定 理证明AD⊥BC.

(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2), 要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪 拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角 形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标 示在图1、图2中,并作简要说明; (2)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的 大小; (3)(本小题为附加题) 如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3), 要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它们的全面积与给 出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚 线标示在图3中,并作简要说明.

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图1

图2

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图1

图2

【解题回顾】本题是2002年高考题,是一道集开放、 探索、动手于一体的优秀考题,正三角形剪拼正三棱 柱除参考答案的那种剪法外,还可以用如图 4 的剪法, 当然参考答案的剪法是其本质解,因为它为( 3 )的 解答提供了帮助.

图3

图4

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5.如图(甲),从三棱锥P-ABC的顶点P沿着三条侧棱PA 、 PB、 PC剪开成平面图形,得到 △ P1P2P3(如图 (乙 )) ,且P1P2=P2P3.

(1)在三棱锥P-ABC中,求证:PA⊥BC. (2)若P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥P-ABC的体积.

综 合 问 题

例题讲解

作、 证、 求?
P

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1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a的正方形,PB⊥面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为 600,求四棱锥的体积;

B 解:∵ PB⊥面ABCD,BA⊥AD, C ∴PA⊥AD ∴∠PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角 即∠PAB=600 在Rt⊿PAB中,AB=a, ∠PAB=600 ∴PB= 3 a D

A

3 3 V= a 3

例题讲解
1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的正方形,PB⊥面ABCD.

返回

P

(2)证明不论高PB怎样变化,面PAD 0. B 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 小结:作二面角平面角的方法

M

A

证:由题设侧面PAD与PCD为全等⊿, C D 作CM⊥PD于M,连结MA,则⊿CDM≌⊿ADM, ●有面的垂线,则一作一连法 ∴AM=CM,∠AMD=900 故AMC就是所证二面角的平面角. ●AC 定义法,在两面内作棱的垂线 连结 在⊿AMC中,由余弦定理 2 2 2 2 2 2 AM ? MC ? AC AD ? CD ? AC ●面积射影定理 ? =0 cos∠AMC = 2 AM ? MC 2 AM ? MC 故∠AMC>900,即证.

变化一
四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形,∠BCD=600,PB⊥面ABCD. 若面PAD与面ABCD的二面角为600, P 求四棱锥的体积;

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B
C E D

A

变化二
四棱锥P-ABCD的底面是边长为a 的菱形,∠BCD=600,面PBC⊥面 ABCD,且⊿PBC是等边⊿. 求侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角;

返回

P

注意:●面面垂直的应用


B E C D

分析平面图形

A

例题讲解
2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900 ,D、E分别 是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 A
1

返回

B1 C1 E D

(1)求线段DE的长
解:取AB的中点F,连结EF,CF, ∴EF//AA1//CC1 ∵D是中点,∴EF // CD ∴DE=CF 在⊿ABC中,CF= 2 ∴DE=
2

A

F

B

C

例题讲解
2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 ABC是等腰Rt⊿, ∠C=900 ,D、E分别 A1 是CC1和A1B的中点,AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示) C1
解:∵ ABC-A1B1C1是直棱柱,AC⊥BC, ∴AC⊥侧面BB1C1C, 作CM⊥BD于M,连结AM, 则∠AMC就是所求二面角的平面角; 在⊿ACM中,AC=2 AC⊥CM, ∴tan∠AMC=AC/CM=
2 5 CM= 5

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B1

E D A C M B

5

即所求为 arctan

5

例题讲解
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G.
A1 解:连结BG,由已知∠EBG就是所求的角,
…… ……

返回

(1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示);
M

B1

C1
D

E

2A ∴A1B与平面ABD所成的角为 arcsin 3
C

EG 2 sin?EBG = = EB 3

G

F

B

例题讲解
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。 A1
B1 C1 D A C B

返回

方法A:作垂线法 方法B:等体积法

E

方法A:作垂线法
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。 A1
解A:由上题解知,DE⊥平面AA1B1B ∴平面ADE⊥平面AA1B1B于AE
A1 A ? A1 B1 在⊿A1AB1中,A1K= AB1

返回

M C1 D K F C E

B1

A

B

2? 2 2 2 6 = = 3 2 3

方法B:等体积法
3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰 Rt⊿,∠C=900 ,D、E分别是CC1和A1B的中点,AA1 =2,若点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。 A1
B1 C1 D A C B

返回

VA ? ADE = VD? AA E 解 B:
1 1

? S?AED ? d = S?A1 AE ? DE
2 6 ?d = 3

E

方法C:对象转换法

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例:如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中, 底面边长为a,侧棱长为 点.
2 a, 2

D是A1C1上一

(2)若D是A1C1的中点,

A1 D (1)当 等于多少时,BC1//平面AB1D, DC1

求二面角A1-B1A-D的大小。

返回

解:(1)如图,连B1C交BC1于E,过E作
1 EF//CA交BA1于F,则EF平行等于2

AC,

又AC//A1C1,所以 EF//A1C1.取A1C1的中点D,

连DF,则EF//DC1,EF=DC1,所以四边形
EFDC1是平行四边形.故 EC1//DF.

又DF ? 平面AB1D,
EC1 //平面AB1D,

所以BC1//平面AB1D.

返回

(2)因为D是A1C1的中点,所以B1D⊥平面

AA1C1C,所以平面AB1D⊥平面AA1C1C,过A1
作A1G⊥AD交AD于G,则A1G⊥平面AB1D.过

A1作A1H⊥AB1于H,连HG,则AB1⊥HG,所
以∠A1HG是二面角A1-B1A-D的平面角. 在Rt△AA1B中.
2 a?a AA1 ? A1 B1 3 2 = a A1H= AB = 3 1 2 2 2 ( a) ? a 2

返回

在Rt△AA1D中,
2 a a? AA1 ? A1 D 6 2 2 = = a A1G= AD 6 2 2 a 2 ( a) ? ( ) 2 2 2 在Rt△A1HG中,sin∠A1HG= . 2

所以

∠A1HG=45°, 即二面角A1-B1A-D的大
小是45°.

返回

例:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 底面A1B1C1D1是正方形,过对角线AC1的一个 截面是钝角为α的一个菱形AEC1F,求此截面 与底面ABCD所成角φ的大小.

返回

解:∠AEC1=α,设正方形AC1边长为a,则 BD= 2 a,且EF//BD,EF= 2 a,EF⊥AC1,
? ? 在Rt△AEH中,∠AEH= 2 ,AH=HE· tan2 2 ?

= 2 a· tan2 , ? AC1=2AH= 2 a· tan 2 ,

S AEC1F =
SABCD=a2,

1 2

EF×AC1

? 2 =a tan

2

,

S ABCD a2 ? = = cot cosφ= S AEC F 2 ? 2 1 a tan ? 2 ∴ φ=arccos(cot ). 2

返回

例:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b,

(1)设E、F分别是AB1、BC1的 (2)求证:A1C1⊥AB;
(3)求B1到平面ABC1的距离.

A1 B1 E

C1

中点,求证:EF//平面ABC;
A

F C B

返回

(1)设E、F分别是AB1、BC1的中点,求证: EF//平面ABC;

解:(1)分别取AB、BC的中点 M、N,连EM、MN、NP,于是 A1 1 1 EM // BB1,FN // BB1, 2 2 从而EM // FN,即四边形EFNM 是平行四边形, A ∴ EF//MN,而EF ? 平面ABC, MN? 平面ABC, ∴ EF//平面ABC;

C1 B1 E

F C

M

B

N

返回

(2)求证:A1C1⊥AB;
(2)连A1B,∵ ABC-A1B1C1是 直三棱柱,∴ AA1⊥AB, 又AB=CC1=AA1,∴ ABB1A1是正 方形,从而AB1⊥BA1, ∵ AB1⊥BC1,∴ AB1⊥平面 A1BC1,∴ A1C1⊥AB1, 而A1C1⊥AA1,∴ A1C1⊥平面 ABB1A1,∴ A1C1⊥AB;

A1 B1 E

C1

F C B

A

返回

(3)求B1到平面ABC1的距离.
(3)∵ A1B1//AB,∴ A1B1//平面 ABC, 于是B1到平面ABC1的距离 等于A1到平面ABC1的距离, 自A1作A1H⊥AC1于H,由(2) 知 BA⊥平面ACC1A1, ∴ BA⊥A1H,于是A1H⊥平面 ABC1, 在Rt△AA1C1中,AA1=CC1=a,
A1C1 = AC = BC 2 ? AB 2 = b 2 ? a 2
A1 B1 E H F C B C1

A

返回

AC1 = CC12 ? AC 2 = a 2 ? (b 2 ? a 2 ) = b

A1 A ? A1C1 a ? b2 ? a 2 ? A1H = = AC1 b

A1 B1 E H F

C1

此即B1到平面ABC1的距离。
A

C B

返回

在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 AB 与 BC 的中点, (1) 求二面角 B-FB1-E 的大小; (2) 求 点D到平面B1EF的距离;(3)在棱DD1上能否找一点 M, 使BM⊥平面 EFB. 若能,试确定点 M 的位置,若不能, 请说明理由.

【解题回顾】此题也可以作面B1EF的垂线与DD1相交,再 说明可以找到一点M满足条件.过程如下:先证明面B1BDD1 ⊥面B1EF,且面B1BDD1∩面B1EF=B1G,在平面B1BDD1内作BM ⊥B1G,延长交直线DD1于M,由二平面垂直的性质可得: BM⊥面B1EF,再通过△B1BG∽△BDM可得M是DD1的中点, ∴在棱上能找到一点M满足条件. 此题是一道探索性命题.往往可先通过对条件的分析,猜 想出命题的结论,然后再进行证明.

球面上点的问题
已知半径为1的球面上有三点A、B、C,A和B,A和C之间

返回

的球面距离均为 ,B和C之间的距离为 ,求过A、B、C三点 2 3 的截面到球心的距离。

?

?

? 2

? 2
O

? 3
C

O C A

p A B

p B

M

练习题
侧 棱 长 为 2, 则 这 个 棱 柱 的 侧 面 角 对 线E1 D与BC1所 成 的 角 是 (

返回

1.(2002 年全国理科 )正 六 棱 柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1的 底 面 边 长 为 1,

B

)

A、 90?

B、 60?

C、 45?

D、 30?

2.(2002 年北京理科 )设 命 题 甲 : 直 四 棱 柱 ABCD-A1 B1C1 D1中 , 平 面 ACB1与 对 角 面 BB1 D1 D垂 直 ; 命 题 乙 : 直 四 柱 棱ABCD-A1 B1C1 D1是 正 方 体 。 那 么 甲 是 乙( 的 C )

A、充要条件 C、必要非充分条件

B、充分非必要条件 D、既不充分也不必要条 件

3.长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1的 长 、 宽 、 高 分 别 为 3、 2、 1 , 从A到C1沿 长 方 体 的 表 面 的 最 短离 距为

3 2

返回

4.在正方体ABCD ? A1B1C1D1中,E、F、M 和N 分别是 A1B1、BC、C1D1和B1C1的中点;
1.求证:平面 MNF ? 平面ENF; 2.求MF与平面 ENF所成角的余弦值; 3.求二面角 M ? EF ? N的平面角的正切值;

返回

5.正三棱锥ABC-A1 B1C1的底面边长为2,侧棱长为 3, D为BC上的一点,在截面ADC1中,?ADC1=90?,求:
ADC1的距离; 1.二面角 C1 ? AD ? C的大小; 2.点B1到截面

返回

( 2004年 春 季 上 海 )在 底 面 边 长 为 2的 正 三 棱 锥 V-ABC中 ,E是BC的 中 点 , 1 若?VAE的 面 积 是 , 则 侧 棱 VA与 底 面 所 成 角 的 大 小 : 是 4

( 2003 年上海理科 )在 正 四 棱 锥 P ? ABCD中 , 若 侧 面 与 底 面 所 二 成面 角 的大小为 60?, 则 异 面 直 线 PA与BC所 成 的 角 的 大 小 是 : ( 2000 年春季上海 )已 知?BAD=90?的等腰直角三角形 ABD与正三角形

CBD所在平面互相垂直, E是BC的中点,求 AE与平面 BCD所成角大小

返回

( 2004年 春 季 上 海 )在 底 面 边 长 为 2的 正 三 棱 锥 V-ABC中 ,E是BC的 中 点 , 1 若?VAE的 面 积 是 , 则 侧 棱 VA与 底 面 所 成 角 的 大 小 : 是 4

( 2003 年上海理科 )在 正 四 棱 锥 P ? ABCD中 , 若 侧 面 与 底 面 所 二 成面 角 的大小为 60?, 则 异 面 直 线 PA与BC所 成 的 角 的 大 小 是 : ( 2000 年春季上海 )已 知?BAD=90?的等腰直角三角形 ABD与正三角形

CBD所在平面互相垂直, E是BC的中点,求 AE与平面 BCD所成角大小

( 05 , 浙 江 ) 、 如 图 , 在 三 棱 锥 P - ABC 中 , AB⊥BC , AB= BC= kPA,点 O、 D分别是 AC、 PC 的中点,OP⊥底面ABC. 1 (Ⅰ)当k= 时,求直线PA与平面PBC所成角的大小 2 (Ⅱ) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为

返回

△PBC的重心?

P

D

A

O

C

B

三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC 垂直,PA=PB=PC=3, (1)求证:AB ⊥ BC; 2 3 ,求AC与平面PBC所成 (2)设AB=BC= 角的大小. (2004年全国文科试题)
P

返回

A

E

C

F
B

例1.(05,全国,18)已知四棱锥P-ABCD的底面为
1 AB=1,M是PB的中点。 2

返回

? 直角梯形,AB∥DC, ?DAB = 90 , PA ?底面ABCD,

且PA=AD=DC=

(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD; (Ⅱ)求AC与PB所成的角; (Ⅲ)求面AMC与面BMC 所成二面角的大小。

返回 例3、如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD

是边长为 2 的正方形, AE = EB , F 为 CE 上的点,
且BF⊥平面ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE; (Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小; D (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离。 C

A E

F

B

返回

如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形 ,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3 ,BC=1,PA=2, E为PD的中点. (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并
求出N点到AB和AP的距离.

返回

思想方法:
空间的距离主要指点面距、线面距和面面距,

而后两种的求解一般可转化为第一种,即线面距
及面面距都是通过转化最终转为求解点面距解决

而完成的。(转化的思想)
例如:求一个平面的一条平行线上一点到这个

平面的距离较难时,可转化为平行线上其他的点
到这个平面的距离。


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