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1期末复习 立体几何与圆锥曲线(1)


1 期末复习

立体几何与圆锥曲线

1.如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,?BAC ? 90° ,O BC 为 中点。 S (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求 SB 与平面 SAC 所成角的正弦值; (III)设 M 为 SO 中点,求 M 到平面 SAC 的距离。

/>
解:证明: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA , 连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OC ? B SA , 且 AO ? BC ,又 △ SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC , 且 SO ?

O

C
A

2 2

2 2 2 2 ? SO2 ? SA2 = . SA ,从而 OA2 2

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO BO ? O .所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)以 O 为坐标原点,射线 OB,OA ,OS 分别为 x 轴、

y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .
, 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) . 设 B(1
平面 ACS 的法向量 n2 = ( -1, 1, 1 ) 设 SB 与平面 SAC 所成角为 ? 则 sin ? =∣COS< n2 , SB >∣ =
6 3 6 . 3

答: SB 与平面 SAC 所成角的正弦值为 (III)
3 6


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