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课时作业10 二次函数与幂函数


课时作业 10

二次函数与幂函数
分值:100 分

时间:45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

1 1.设 α∈{-1,1,2,3},则使 y=xα 的定义域为 R,且为奇函数 的所有 α 的值为( A.1,3 C.-1,3 ) B.-1,1 D.-1,1,3

1 解析:∵y=x-1=x的定义域不是 R, y=x = x的定义域不是 R, 而 y=x 与 y=x3 的定义域为 R,且为奇函数, ∴α 的值为 1,3. 答案:A 2.(2013· 湛江质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f (x ) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.[-4,4] C.[- 2, 2] 1 1 ) B.[0,4] D.(0, 2] 1 2 2 2
1 2

2 1 1 解析:由图表知, 2 =(2)α,∴α=2 ∴f(x)=x ,由|x| ≤2,得-4≤x≤4.
1 2 1 2

答案:A 3. 已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实 数 a 的取值范围是( A.a≤2 或 a≥3 C.a≤-3 或 a≥-2 ) B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2

解析:由于二次函数的图象开口向上,对称轴为 x=a,若使其 在区间(2,3)内是单调函数, 则需所给区间在对称轴的同一侧, 即 a≤2 或 a≥3. 答案:A 4.抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限,与 x 轴的两个交点 分别位于原点两侧,则 a,b,c 的取值范围是( A.a<0,b<0,c<0 C.a<0,b<0,c>0 )

B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b>0,c<0

解析:由题意,抛物线开口向下,故 a<0.由抛物线与 x 轴的两个 交点分别位于原点两侧,得 ac<0,∴c>0.再由顶点在第一象限得- b 2a>0,∴b>0. 答案:B 5.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),其图象上两点的横坐标 x1,x2 满足 x1<x2,且 x1+x2=1-a,则有( A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)<f(x2) D.f(x1),f(x2)的大小不确定 解析:Δ=(2a)2-16a,∵0<a<3,∴Δ<0,二次函数 f(x)=ax2+ 2ax+4(0<a<3)的图象与 x 轴无交点,且关于直线 x=-1 对称,x1+ )

x2=1-a>-2,可知当 x1,x2 满足 x1<x2 时,若 x1<-1,则 x1=1-a -x2<-1, -1<a-3+x2<x2, 则 f(a-3+x2)=f(1-a-x2)=f(x1)<f(x2), 若 x1>-1,则 x1,x2 都在对称轴 x=-1 的右侧,此时 f(x1)<f(x2)显然 成立.故有 f(x1)<f(x2),选 C. 答案:C 6 . (2013· 常 州 模 拟 ) 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x ∈ R) , f(x) =
? ?g?x?+x+4,x<g?x?, ? 则 f(x)的值域是( ?g?x?-x,x≥g?x?. ?

)

9 A.[-4,0)∪(1,+∞) 9 C.[-4,+∞)

B.[0,+∞) 9 D.[-4,0]∪(2,+∞)

解析:由 x<g(x),得 x>2 或 x<-1;由 x≥g(x),得-1≤x≤2. 12 7 ? ? x + ? 2? +4?x<-1或x>2?, ∴f(x)=? 12 9 ? ? x - ? 2? -4?-1≤x≤2?, 1 7 由 f(x)=(x+2)2+4(x<-1 或 x>2), 得 f(x)∈(2,+∞). 1 9 由 f(x)=(x-2)2-4(-1≤x≤2), 9 得 f(x)∈[-4,0]. 9 因此 f(x)>2 或-4≤f(x)≤0. 9 ∴函数 f(x)的值域为[-4,0]∪(2,+∞). 答案:D

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则 它的解析式是__________. 1 答案:y=2(x-2)2-1 8.设二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在[-3,2]上有最大值 4,则实 数 a 的值为__________. 解析:f(x)的对称轴为 x=-1. 当 a>0 时,f(2)=4a+4a+1=8a+1, f(-3)=3a+1. ∴f(2)>f(-3),即 f(x)max=f(2)=8a+1=4, 3 ∴a=8. 当 a<0 时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4, ∴a=-3. 3 综上所述:a=8或 a=-3. 3 答案:8或-3 9.(2012· 北京)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同 时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是__________. 解析:(一)由题意可知,m≥0 时不能保证对?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 成立. (1)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,此时显然满足条

件①; (2)当-1<m<0 时,2m>-(m+3),要使其满足条件①,
? ?-1<m<0, 则需? 解得-1<m<0; ?2m<1, ?

(3)当 m<-1 时,-(m+3)>2m,要使其满足条件①,
? ?m<-1, 则需? 解得-4<m<-1. ?-?m+3?<1, ?

因此满足条件①的 m 的取值范围是(-4,0). (二)在满足条件①的前提下, 再探讨满足条件②的 m 的取值范围. (1)当 m=-1 时,在(-∞,-4)上,f(x)与 g(x)均小于 0,不合题 意; (2)当 m<-1 时,则需 2m<-4,即 m<-2,所以-4<m<-2; (3)当-1<m<0 时,则需-(m+3)<-4,即 m>1,此时无解. 综上所述满足①②两个条件的 m 的取值范围为(-4,-2). 答案:(-4,-2) 三、解答题(共 55 分) 10.(15 分)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大 值 2,求 a 的值. 解:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a≥1 时,ymax=a; 当 0<a<1 时,ymax=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=1-a.
? ?a≥1, 根据已知条件:? ?a=2, ? ? ? ?0<a<1, ?a≤0, ? 或 2 或? ?a -a+1=2 ? ? ?1-a=2,

解得 a=2,或 a=-1. 11.(20 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1) 若 函 数 f(x) 的 最 小 值 是 f( - 1) = 0 , 且 c = 1 , F(x) =
?f?x?,x>0, ? ? 求 F(2)+F(-2)的值; ? ?-f?x?,x<0,

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]恒成立,试求 b 的取值 范围. 解:(1)由已知 c=1,a-b+c=0, b 且-2a=-1, 解得 a=1,b=2. ∴f(x)=(x+1)2.
??x+1?2,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ?-?x+1? ,x<0. ?

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤x -x 且 b≥-x-x 在(0,1]上恒成立. 1 1 又x-x 的最小值为 0,-x-x 的最大值为-2, ∴-2≤b≤0. 12.(20 分)(2013· 广东联考)已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1 -2a. (1)判断命题:“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必 有实数根”的真假,并写出判断过程; 1 (2)若 y=f(x)在区间(-1,0)及(0,2)内各有一个零点.求实数 a 的

取值范围. 解:(1)“对于任意的 a∈R(R 为实数集),方程 f(x)=1 必有实数 根”是真命题. 依题意:f(x)=1 有实根,即 x2+(2a-1)x-2a=0 有实根. ∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0 对于任意的 a∈R(R 为实数集) 恒成立, 即 x2+(2a-1)x-2a=0 必有实根,从而 f(x)=1 必有实根. 1 (2)依题意,要使 y=f(x)在区间(-1,0)及(0,2)内各有一个零点, 1?>0, ?ff??- 0?<0, 只须? 1 f ? ? 2?>0, -4a>0, ?3 1-2a<0, 即? 3 ?4-a>0,

1 3 1 3 解得2<a<4.取 a 的取值范围是(2,4).


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