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2.3.3 平面向量的坐标运算


例2 如图,写出向量a,b,c,d的坐标.
5 y

b=(-2,3)

b 2
O

a
2

a=(2,3)
4

-4 -2

-2 c c=(-2,-3)
-5

x

/>d

d=(2,-3)

?? ? ?? ? 1、 e1 、 e2 是平面内的一组向量,则平面内任一向
? ?? ? ?? ? 量都可以表示为 a =λe ,其中 λ 、 . 1 λ 2 ? R 1 1 +λ 2 e2
?? ? ?? ? ? ,则 λ λe 1 =λ 2 = 0. 1 1 +λ 2 e2 = 0

判断下列命题的是否真命题,并说明理由.

?? ? ?? ? e1 、 e2 是平面内的一组基底,若实数 λ 2、 、 使 1 λ 2 ?? ? ?? ? 3、如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向
? ?? ? ?? ? λ 无数对实数 λ . 1 、 2 ,使 a =λe 1 1 +λ 2 e2

? 量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,可能有

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在平面直角坐标
中,向量如何用坐标
y
C
A

a

D

来表示?

j o i

x
B

2.3.3平面向量的坐标运算
y

A B O

x

? ? 已知 a =(x1 ,y1 ) , b =(x2 ,y2 ) ? ? ? ? ? 你能得出 a + b ,a - b , λ a
的坐标吗?

? ? 已知, a =(x1,y1), b=(x2,y2), ? ?
则 a ? b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) 即 同理可得

? ? a ? b =(x1+x2,y1+y2)
? ? a ? b=(x1-x2,y1-y2)

=(x1+x2)i+(y1+y2)j

这就是说,两个向量和(或差)的坐标分
别等于这两个向量相应坐标的和与差.

? ? ? ? ? ? a ? ? ( xi ? y j ) ? ? xi ? ? y j
即 λ

? 已知 a =(x,y)和实数λ,那么
? =(λx, λy) a

这就是说,实数与向量的积的坐标等 用这个实数乘以原来向量的相应坐标.

???? 例1:如图,已知A(x1 , y1 ),B(x2 , y 2 ) ,求 AB 的坐标.
y

??? ? ???? ???? 解:AB = OB - OA

A B O x

= (x2 , y 2 ) - (x1 , y1 )

= (x2 - x1 , y 2 - y1 )

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

? ? ? ? ? ? ? ? 例2:已知 a = (8,7),b = (-2, 3) ,求 a +b,a - b, 3a + 4b 的坐标.

? ? 解: a + b = (8,7) + (-2, 3) = (6,10) ? ? a - b = (8,7) - (-2, 3) = (10,4) ? ? 3a + 4b = 3(8,7) + 4(-2, 3)

= (24, 21) + (-8,12) = (16, 33)

?? ? ?? ? ?? ? 例3: 已知三个力 F1 (3,4),F2 (2,-5),F3 (x,y) 的合

?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标. ?? ? ?? ? ?? ? ? F1 + F2 + F3 = 0

解:由题设

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) 即:

?3 + 2 + x = 0 ? ?4-5+ y = 0



? x = -5 ? ?y =1
?? ? F3点坐标为(-5,1) .



例4:如图,已知 ? ABCD 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试 求顶点D的坐标. 解法1:设点D的坐标为(x,y) ???? ? AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) ???? DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) ???? ???? 且AB = DC
y B D A O C

x

?(1, 2) = (3 - x,4 - y)

? 1 = 3-x 2 = 4-y

解得

x=2,y=2

所以顶点D的坐标为(2,2)
解法2:由平行四边形法则可得 ??? ? ??? ? ??? ? BD = BA + BC = (-2 - (-1),1- 3) + (3 - (-1),4 - 3) = (3,-1)
y B D A O x C



???? ???? ??? ? OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为(2,2)

问题:共线向量如何用坐标来表示呢?

? ? 量,那么可以知道,a,b 共线(平行)的
充要条件是存在一实数λ,使

? ? ? 设 a = (x1 ,y1 ),b = (x2 ,y 2 )其中 b 是非零向

? ? a = λb

上面这个结论如果用坐标表示,可写为

(x1,y1)= λ(x2,y2)


?x1 = λx2 ? ?y1 = λy 2

? ? a//b ? x1y2 - x2y1 = 0

这就是说,当且仅当

? ? ? 时,向量 a,b(b ? 0)

x1y 2 - x2y1 = 0
共线(平行)。

注: (1)消去λ时不能两式相除; y1 y2 = 。 (2)充要条件不能写成 x1 x2

? ? =(4,2), b=(6, y),且 例1:已知 a ? ? a ∥ b ,求y.

? ? 解: ? a//b
?

? 4y - 6 ? 2 = 0

y=3

? ? 例2:若向量 a ? (?5, x )与 b ? (? x,10) 共线 ? ? 解: ∵ a = (-5, x) 与 b = (-x,10)共线
且方向相同,求x.

∴(-5)×10- x?(-x)=0

∴x=± 5

2

? a

? 与 b 方向相同
2

∴x= 5

例3、已知A(-1,-1),B(1,3),C(2, 5),判断A、B、C三点的位置关系。

解:在平面直角坐标系中作出A,B,C三点观察 图形,我们猜想A,B,C三点共线。
C B A

???? AB ? ?1 ? ? ?1?, 3 ? ? ?1? ? ? ? 2, 4? ???? AC ? ? 2 ? ? ?1? , 5 ? ? ?1? ? ? ? 3, 6 ? 又2× 6 ? 3× 4 ? 0 ???? ???? ? AB ∥ AC ???? ???? ? 直线AB、直线AC有共同点A。 ∴ A、B、C三点共线

例4:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分 别是 (x1 , y1 ),(x2 , y 2 )。 (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P
的坐标。

解:(1)

??? ? 1 ???? ? OP = OM 2 ? ???? ? 1 ???? = (OP1 + OP2 ) 2 x1 + x 2 y 1 + y 2 =( , ) 2 2
所以,点P的坐标为
x1 + x 2 y 1 + y 2 ( , ) 2 2

M y P P1

P2

O

x

(1)

(2)如图2,当点P是线段P1P2的一 个三等分点时,有两种情况,即
y

P1P 1 P1P = 或 =2 PP2 2 PP2
P1 P 1 = 如果 PP2 2

P2

P P1

,那么

O

x

??? ? ???? ? ???? ???? ? 1 ????? (2) OP = OP1 + P1P = OP1 + P1P2 3 ???? ? 1 ???? ? ???? ? 2 ???? ? 1 ???? ? = OP1 + (OP2 - OP1 ) = OP1 + OP2 3 3 3

2x1 + x 2 2y 1 + y 2 =( , ), 3 3 2x1 + x 2 2y 1 + y 2 , ). 即点P的坐标是 ( 3 3

P1P ? 2 ,那么点P的坐标就是 同理,如果 PP2

x1 + 2x 2 y 1 + 2y 2 ( , ). 3 3

P1 P = λ 时,点P的 例4中,当 PP2

y
P P1

P2

坐标是什么?

P1 P = λ ???? ,那么 解: ??? ? 如果 ???? ? PP ???? ? ???? ? λ 2 OP = OP1 + P P1P2 1 P = OP1 + 1+ λ

O

x

(3)

??? ? ???? ? ???? ???? ? λ ????? 即 OP = OP1 + P1P = OP1 + P1P2 1+ λ ???? ? ? ???? ? ? ? λ ???? 1 ???? λ ???? = OP1 + (OP2 - OP1 ) = OP1 + OP2 1+ λ 1+ λ 1+ λ x1 + λx 2 y1 + λy 2 =( , ) 1+ λ 1+ λ
∴点P的坐标是
x1 + λx 2 ? x = ? ? 1+ λ ? ? y = y 1 + λy 2 ? ? 1+ λ
x1 + λx 2 y 1 + λy 2 ( , ). 1+ λ 1+ λ

即为定比分点坐标公式.

课堂小结
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示

和向量的线性运算律得出的结论,它符合实
数的运算规律,并使得向量的运算完全代数

化 . 2.利用向量的坐标运算,可以求点的坐标.

高考链接
??? ? ??? ? AB ? c, AC ? b,若 1(2008全国)在△ABC中,

??? ? ??? ? ???? 点D满足 BD ? 2 DC,则 AD ? (
A.
C.
2 1 b? c 3 3

A

)

B.
D.

2 1 b? c 3 3

1 2 b? c 3 3

5 2 c? b 3 3

解析:

??? ? 2 ??? ? 2 ???? ??? ? 2 BD ? BC ? ( AC ? AB ) ? (b ? c ) 3 3 3
??? ? ??? ? ??? ? 又 AD ? AB ? BD

??? ? 2 1 ∴ AD ? b ? c 3 3

课堂练习
? ? ? ? 58 3 10 a + b = ________ a - b = ________
? ? ? 2、设 a = (2, 9),b = (λ, 6),c = (-1, μ),
? ? ? 若 a + b = c ,则λ=

? ? 1、已知 a = (2, 3), b = (5, 6), 则

-3 , μ=

15.

? ? ? 3、已知 a = (3, -1),b = (-1, 2), 则 -3a - 2b
的坐标是( B)

A.(7,1)
C.(-7,1)

B.(-7,-1)
D.(7,-1)

??? ? ??? ? ??? ? 4、已知向量 AB = (6,1),BC = (x, y),CD = (-2, 3), ???? 则 DA = B ) (
A.(x+4,2-y) C.(x-4,y-2) B.(x-4,2-y) D.(-4-x,-y+2)

? ??? ? ? ? 5、已知a = AB,B(1,0),b = (-3,4),c = (-1,1) ? ? ? 且a = 3b - 2c ,求点A的坐标.
解:

? ? ? ∵ a = 3b - 2c


? a = 3(-3,4) - 2(-1,1) = (-7,10)

? ??? ? ???? ???? ∵ a = AB = OB - OA



???? ???? ???? ???? ? OA = OB - AB = OB - a = (1, 0) - (-7,10) = (8, -10)

∴点A的坐标为(8,-10).

???? 1 ??? ? 6、已知点A(-1,2),B(2,8),及 AC ? AB, 3 ???? ? 1 ??? DA = - BA,求C、D的坐标. 3

???? 1 ???? 解: ∵ AC = AB 3 ???? ???? 1 ???? ???? 即 OC - OA = (OB - OA) 3 ???? 1 ???? ???? ???? 1 ???? 2 ???? ∴ OC = (OB - OA) + OA = OB + OA 3 3 3



???? 1 2 OC = (2, 8) + (-1, 2) = (0, 4) 3 3
即C点坐标为(0,4).

???? ? 1 ??? ∵ DA = - BA 3 ???? ???? 1 ???? ???? 即 OA - OD = - (OA - OB) 3 ???? 1 ???? ???? ???? ???? 4 ???? 1 ∴ OD = (OA - OB) + OA = - OB + OA 3 3 3



???? 1 4 OD = - (2, 8) + (-1, 2) = (-2, 0) 3 3
即D点坐标为(-2, 0).

?? ? ?? ? ?? ? 7、已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, -5), F3 (x, y) 的 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3 的坐标.

解:由题设得: (3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
3+2+x = 0 ? 即: ? ?4-5+ y = 0



? x = -5 ? ?y =1

?? ? ∴ F3 (-5,1)


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