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河北省定兴第三中学2015-2016学年高二12月月考数学(理)试题


2015—2016 学年第一学期第三次月考 高二数学试卷
(考试时间:120 分钟;分值:150 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. “a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的( A.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 )

B. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 4 ? 5 ? 6 ??? (n ? 1) ? n 等于( ) A. A
4 n

B. A

n?4 n

C.

n !? 4 !

D. A

n ?3 n

3.体育场南侧有 4 个大门, 北侧有 3 个大门, 某人到该体育场晨练, 则他进、 出的方案有 ( A. 7 种 B. 12 种 C. 14 种 D.49 种



4. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级 2 人,要求甲必须在高一年级,乙 和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为( ) A. 9
6

B. 12

C. 15

D. 18 )

5. 已知 ? x ? 2a ? 的展开式中常数项为 ? 160 ,则常数 a = ( ? x ? ? ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.1

D. ?1

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一 与双曲线 a 2 b2 16 9 点到其两个焦点的距离之和为 20 ,则椭圆的离心率 e 的值为 ( )
6. 已知椭圆

A.

1 2

B. 7 10

C. 7
5

D.

4 5

7. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 圆的标准方程是( )

1 ,它的长轴长等于圆 x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭 2

A.

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 16 12

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( ). 1? k 1? k A. ? 1 ? k ? 1 B. k ? 1或k ? ?1 C. k ? 0 D. k ? 0 2 2 x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 9. 如果椭圆 36 9
8.方程 A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0



D. x ? 2 y ? 8 ? 0

10. 设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过 F 作倾斜角为 60 的直线交抛物线于 A、B 两点(点 A
?

在第一象限),与其准线交于点 C,则 A.6 11. 设 P 为双曲线 轨迹方程是( ) B. B.7
2

s?AOC =( s? BOF
C.8

) D.10

x -y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的 4

A.4y2-x2=1

x2 2 -y =1 2

y2 C.x2- =1 4

D. x2-4y2=1
2 2

12. 设直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ? 4 y ? 4 的交点 为 P、Q, 点 M 为椭圆上的动点,则使△MPQ 的面积为 A.1 B.2 C.3

1 的点 M 的个数为( 2
D. 4



二、填空题(每小题5分,共30分). 13. 将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不同的排法种数共有 ___________.(用数字作答)

14. 某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广
告,要求最后播放的必须是公益广告,且两个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式有 ____________种.(用数字作答)
0 1 2 n 15.若 Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ??? ? 2n Cn ? 729, 且 (3 ? x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? ?? an x

n

2

n

则 a0 ? a1 ? a2 ??? (?1)n an ?
2

__ .
2

??? ? ??? ? x y PF 16. 已知 F1, F2 是椭圆 C: 右焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 2+ 2=1(a>b>0)的左、 1⊥ PF 2. a b
若△PF1F2 的面积为 16,则 b=________ 17.给定下列四个命题:其中为真命题的是 ①“ x ? (填上正确命题的序号)

?
6

”是“ sin x ?

1 ”的充分不必要条件; 2

②若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真; ③已知 x ? R ,则“ x

? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件

2 2 ④ “ 若 am ? bm , 则 a ? b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题 ;

18. P 为 双 曲 线 x ?
2

y2 ? 1 右 支 上 一 点 , M, N 分 别 是 圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 和 圆 15

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为_______.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,5 小题,共 60 分)

19.(本小题 12 分) 已知 p: 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ,q: x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0
2

(1)若 a=

1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围. 2

(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题 12 分) 已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的 16 倍, (1)求 n; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中所有 x 的有理项.

21.(本小题 12 分) 已知动点 P 与两定点 A( ?2,0) 、 B(2,0) 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

1 4

(2)若过点 F (? 3,0) 的直线 l 交轨迹 C 于 M、N 两点,且轨迹 C 上存在点 E 使得四边形 OMEN(O 为坐标原点)为平行四边形,求直线 l 的方程.

22.(本小题 12 分) 椭圆 (1)求椭圆方程;

2 3 x2 y2 ). + =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 ( 2, a2 b2 2 2

(2)设不过原点 O 的直线 l:y=kx+m(k≠0) ,与该椭圆交于 P、Q 两点,直线 OP、OQ 的 斜率依次为 k1、k2,满足 4k=k1+k2,试问:当 k 变化时,m2 是否为定值?若是,求出此定值, 并证明你的结论;若不是,请说明理由.

23.(本小题 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 焦点的距离为 2,离心率为 (1)求 a, b 的值,
3 。 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点到 a2 b2

(2) 设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, 过点 P 作斜率为 1 的直线交椭圆于 A,B 两点, 求 ?OAB 面积的最大值。

高二数学答案
一、选择题 CDDAC 二、填空题 AABDA DB

13. 480

14. 36

15. 64

16.①④

17. 4

18. 5

三、解答题 19、解: (1)∵ p ? q 为真 ∴p 真 q 真 P 真:则设 A={x| 2 x ? 3x ? 1 ? 0 }= {x |
2

……………………1 分

1 ? x ? 1} ,…………………2 分 2

q 真:B={x| x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 }= {x | a ? x ? a ? 1} …………………4 分 ∵a ?

1 2

∴B= {x |

1 3 ?x? } 2 2

…………………5 分

∴ A ? B ? {x |

1 ? x ? 1} 2 1 ? x ? 1} …………………6 分 2

∴实数 x 的取值范围为: {x | (2)由(1)知设 A={x| {x |

1 ? x ? 1} ,B= {x | a ? x ? a ? 1} 2
…………………8 分

∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴A 是 B 的真子集

1 1 ? ? 1 ?a ? ?a ? ∴? 2 或? 2 解得 0 ? a ? ,…………………11 分 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? ?a ? 1 ? 1
∴实数 a 的取值范围为: {a | 0 ? a ?

1 } . ……12 分 2

20.解: (1)由已知得: 4n ? 16 ? 2n , 2n ? 16, n ? 4 ----------------------4 分 (2)通项 Tr ?1 ? C4 (5x)
r 4? r

(?

3 4? r 1 r r 4?r ) ? C4 5 (?1)r x 2 x

2 2 展开式中二项式系数最大的项是第 3 项: T3 ? (?1)2 C4 5 x ? 150x ----------------------8 分

(3)由(2)得, 4 ?

3 r ? Z , (r ? 0,1, 2,3, 4), 即r ? 0, 2, 4 2
4 ?2

所以展开式中所有的有理项为: T 1 =625x , T3 ? 150x, T5 ? x ----------------------:12 分 21. 21. 解: (1) x ? y 2 ? 1( y ? 0)
4
2

------------------------------3 分

(2)易知直线 l 的斜率不为 0,故可设直线 l : x ? my ? 3, 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 因为四 边形 OMEN 为平行四边形,所以 OE ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? E ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

uuu r

uuur

uuu r

------------------------------6 分 联立 ?

? ? x ? my ? 3
2 2

2 3m , ? (m 2 ? 4) y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0 ? y1 ? y2 ? 2 m ?4 ? ?x ? 4 y ? 4 ? 0
8 3 , ------------------------------8 分 m2 ? 4
2 2

所以 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? ?

因为点 E ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 在椭圆上,所以 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 4

?(

?8 3 2 2 3m 2 ) ? 4( 2 ) ? 4 ? m4 ? 4m2 ? 32 ? 0 ,解得 m ? ?2 2, 2 m ?4 m ?4
----------------12 分

故直线 l 的方程为 x ? 2 2 y ? 3 ? 0 或 x ? 2 2 y ? 3 ? 0

22. 解: (1)依题意可得

,解得 a=2,b=1

所以椭圆 C 的方程是
2

-------------------------(4 分)

(2)当 k 变化时,m 为定值,证明如下:
2 2 2



得, (1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0.----------------(6 分)

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 则 x1+x2= , x1x2= …(?) ------------(7 分)

∵直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1,k2,且 4k=k1+k2, ∴4k= =
2

,得 2kx1x2=m(x1+x2) ,-------------------(9 分)

将(?)代入得:m = ,--------------------------------(11 分) 经检验满足△>0.---------------------------------------(12 分) 23.解: (1)由题设知 a=2,e= = 所以 c= ,故 b =4﹣3=1.
2



因此,a=2,b=1.…????3 分

(2)由(1)可得,椭圆 C 的方程为

+y2=1.

设点 P(m,0) (﹣2≤m≤2) ,点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . 若 k=1,则直线 l 的方程为 y=x﹣m. 联立直线 l 与椭圆 C 的方程, 即
2 2 .将 y 消去,化简得 x ﹣2mx+m ﹣1=0.

从而有,x1+x2=

,x1?x2=

,????6 分

而 y1=x1﹣m,y2=x2﹣m, 因此, |AB|= = ? ,????8 分 , ×|m|,????10 分 ?(
2 ) =1.

=

=

点 O 到直线 l 的距离 d= 所以,S△ OAB= ×|AB|×d=
2 因此,S △ OAB=

2 2 ( 5﹣m )×m ≤

2 又﹣2≤m≤2,即 m ∈[0,4]. 2 2 2 所以,当 5﹣m =m ,即 m = ,m=±

时,S△ OAB 取得最大值 1.????12 分

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