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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题06


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.若点 P( x, y ) 在直线 x ? 3 y ? 3 上移动,则函数 f (

x, y) ? 3x ? 9 y 的最小值等于____________ 2.设集合 M ? {?2, 0, 1} , N ? {1, 2, 3, 4, 5} ,映射 f : M ? N 使对任意的 x ? M ,都有:
x ? f ( x) ? xf ( x) 是奇数,则这样的映射 f 的个数是____________

3.将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数, 则称这个数为“奇和数” ;那么所有的三位数中,奇和数有________个.
2014 5 3 2 4.设 a1 ? 6 , an ?1 ? [ an ? an ? 2] (n ? N*) ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? ai 的个位 4 4 i ?1

数字为______________

?x ? 3 y ? 2z ? 0 5.已知三个正整数 x , y , z 的最小公倍数是 300,并且 ? 2 ,则方程组的解: 2 2 ?2 x ? 3 y ? z ? 0
( x, y, z ) ? ______________

6.已知关于 x 的实系数方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 和 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面上对应的点共 圆,则 m 的取值范围是______________ 7.设平面上的向量 a, b, x, y 满足关系 a ? x ? y , b ? 2 x ? y ,又设 a 与 b 的模为 1,且互相垂直, 则 x 与 y 的夹角为______________ 8.设函数 f 0 ( x) ?| x |, f1 ( x) ?| f 0 ( x) ? 1|, f 2 ( x) ?| f1 ( x) ? 2 | ,则函数 f 2 ( x) 的图像与 x 轴所围成图形中 的封闭部分的面积是______________ 9.已知单位正方体 ABCD ? EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q 、 P ;若 ?PQG 与 ?BDE 相截 得到的线段 MN 的长度为 y ,现设 AQ ? x (0 ? x ? 1) ,则 y 的最小值写成关于 x 的函数关系式 是______________ 10.设 a1 , a 2 ,?, a2014 均为正实数,且 是______________
1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ,则 a1a2 ??? a2014 的最小值 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2014 2

1

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二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.已知焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过定点 A (1, 0) ,且与曲线 | y |? x 的交点为 B 、 C ;现有以 a 2 b2

A 为焦点,过点 B 、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为 M (m, 0) ;当椭圆的离心率 e
满足

2 ? e2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围. 3

12.已知 ?ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ,且满足 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ; (1)是否存在边长均为整数的 ?ABC ?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由. (2)若 a ? 1 , b ? 1 , c ? 1 ,求出 ?ABC 周长的最小值.

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13.已知⊙O1 与⊙O2 相交于两点 A、B,点 P、E 在⊙O1 上,点 Q、F 在⊙O2 上,且满足 EF 为两圆的公切线, PQ∥EF , PE 与 QF 相交于点 R ;求证: ?PBR ? ?QBR .

A P O2 O1 B F E

Q

R

3

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14.从数 1,2,3,?,2014 中删去一些数,使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的 数的积,问至少要删去多少个数才能做到这一点?

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六答案
一、填空题: 1.若点 P( x, y ) 在直线 x ? 3 y ? 3 上移动,则函数 f ( x, y) ? 3x ? 9 y 的最小值等于____________ 解: f ( x) ? 3x ? 9 y ? 3x ? 9
? 5? 5
3? x 3

? 3x ? 3

x 2(1? ) 3

? 3x ? 3

2 2 2 x 1? x 1? x 1 x 1 x 1? 3 ?3 ? ?3 ?3 ?3 3 ?3 3 2 2

2 2 2 1? x 1? x 1? x 1 1 ? ? 3x ? ? 3x ? 3 3 ? 3 3 ? 3 3 2 2 2 1? x 1 27 1 1 ? 5 ? 5 ? 33 ? 5 ? ( ) 5 ,等号当且仅当 ? 3x ? 3 3 , 4 4 2

2 2? x 3

27 1 3 即 x ? (1 ? log3 2) 时成立,∴ f ( x, y ) 的最小值是 5 ? ( ) 5 . 4 5 2.设集合 M ? {?2, 0, 1} , N ? {1, 2, 3, 4, 5} ,映射 f : M ? N 使对任意的 x ? M ,都有:
x ? f ( x) ? xf ( x) 是奇数,则这样的映射 f 的个数是____________ 解:当 x ? ?2 时, x ? f ( x) ? xf ( x) ? ?2 ? f (?2) 为奇数,则 f ( ?2) 可取 1,3,5,三种;

当 x ? 0 时, x ? f ( x) ? xf ( x) ? f (0) 为奇数,则 f (0) 可取 1,3,5,三种; 当 x ? 1 时, x ? f ( x) ? xf ( x) ? 1 ? 2 f (1) 为奇数,则 f (1) 可取 1,2,3,4,5,五种; 由乘法原理知,共有 3? 3? 5 ? 45 个映射. 3.将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数, 则称这个数为“奇和数” ;那么所有的三位数中,奇和数有________个. 解:设三位数是 a1a2 a3 ,则 a1a2 a3 ? a3a2 a1 ? 100(a1 ? a3 ) ? 10(a2 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) ; 若 a1 ? a3 不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,∴ a1 ? a3 =11,13,15,17; ∵ 11 ? 9 ? 2 ? 8 ? 3 ? 7 ? 4 ? 6 ? 5 ,∴ a1、a3 取值有 4 A22 种可能; ∵ 13 ? 9 ? 4 ? 8 ? 5 ? 7 ? 6 ,∴ a1、a3 取值有 3 A22 种可能; ∵ 15 ? 9 ? 6 ? 8 ? 7 ,∴ a1、a3 取值有 2 A22 种可能;
2 ∵ 17 ? 9 ? 8 ,∴ a1、a3 取值有 A2 种可能;由于 a2 ? a2 不能进位,∴ a 2 只能取 0,1,2,3,4; 2 2 2 2 ? 3 A2 ? 2 A2 ? A2 ) ? 100 (个) ∴满足条件的数共有: 5(4 A2 .

2014 5 3 2 4.设 a1 ? 6 , an ?1 ? [ an ? an ? 2] (n ? N*) ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? ai 的个位 4 4 i ?1 数字为______________ 解:由 a1 ? 6 ? 5 ? 21?1 ? 1, a2 ? 11 ? 5 ? 22?1 ? 1, ??? ,

猜想: an ? 5 ? 2n ?1 ? 1 ;由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略) ; ∴当 n ? 1 时, an ? 1 (mod10) ;∴ a1 ? a2 ? ??? ? a2014 ? 6 ? 2013 ? 9 (mod10) .

?x ? 3 y ? 2z ? 0 5.已知三个正整数 x , y , z 的最小公倍数是 300,并且 ? 2 ,则方程组的解: 2 2 ?2 x ? 3 y ? z ? 0 ( x, y, z ) ? ______________
解:记方程组中的两个方程为(1) , (2) ,消去 x 得: 5 y 2 ? 8 yz ? 3z 2 ? 0 , 即 (5 y ? 3z )( y ? z ) ? 0 ;所以 5 y ? 3z ? 0 ; (3) 或 y ? z ? 0 ; (4) 由(1) 、 (3)得 y ? 3 x, z ? 5 x ,即 x : y : z ? 1: 3 : 5 ; 于是,由已知条件,必有 x ? 20, y ? 60, z ? 100 ;即 ( x, y, z) ? (20, 60, 100) . 由(1) (4) ,得 x ? ? y ? ?z ,与已知条件“三个正整数”矛盾.
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6.已知关于 x 的实系数方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 和 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面上对应的点共 圆,则 m 的取值范围是______________ 解:易知方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 1 ? i, x2 ? 1 ? i ; 当 ? ? 4m2 ? 4 ? 0 即 ?1 ? m ? 1时, x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 有共轭虚根 x3、x4 ,且 x3、x4 的实部为 ?m ? 1 ,
x2、 x3、x4 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它们共圆. 这时 x1、

当 ? ? 4m2 ? 4 ? 0 即 m ? ?1 或 m ? 0 时,方程 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 有两个不等的实根 x3、x4 ,
x2 对应的点在以 x3、x4 对应的点为直径端点的圆上, 则 x1、

该圆的方程为: ( x ? x3 )( x ? x4 ) ? y 2 ? 0 即 x 2 ? y 2 ? ( x3 ? x4 ) x ? x3 x4 ? 0 ,

3 x2 对应点的坐标 (1, ? 1) 代入方程,即得 m ? ? ; 将 x3 ? x4 ? ?2m, x3 x4 ? 1 及 x1、 2 3 故 m 的取值范围是 {m | ?1 ? m ? 1 或 m ? ? } . 2 7.设平面上的向量 a, b, x, y 满足关系 a ? x ? y , b ? 2 x ? y ,又设 a 与 b 的模为 1,且互相垂直,
则 x 与 y 的夹角为______________
a?b b ? 2a 10 x? y 10 , y? ). 解:由已知得 x ? ,则 cos ? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? arccos( 3 3 10 10 | x |?| y | 8.设函数 f 0 ( x) ?| x |, f1 ( x) ?| f 0 ( x) ? 1|, f 2 ( x) ?| f1 ( x) ? 2 | ,则函数 f 2 ( x) 的图像与 x 轴所围成图形中
? ?

的封闭部分的面积是______________ 解:函数 y ? f 2 ( x) 的图像如图的实线部分所示; 所求的封闭部分的面积为: S梯形ABCD ? S?CDE

y D2 A -3 -2 1E -1 O 1 C B 2 3 x

1 1 ? (2 ? 6) ? 2 ? ? 2 ?1 ? 7 2 2

9.已知单位正方体 ABCD ? EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q 、 P ; 若 ?PQG 与 ?BDE 相截得到的线段 MN 的长度为 y ,现设 AQ ? x (0 ? x ? 1) ,则 y 的最小值写成 关于 x 的函数关系式是______________ Q ? x 时, 解: 当A 设 GQ 与平面 BDE 交于点 N , 作N 连结 QM 交直线 BC 于点 P ' , M ? B D 于点 M , 取点 P ' 为点 P ,知此时 y ?| MN | 最小. z 建立如图所示的空间直角坐标系, Q D A 则 Q(0, x, 1) 且 ?BDE 所在平面上的点 ( x, y, z) 满足 x ? y ? z ,故可令 N ( x0 , y0 , x0 ? y0 ) ; 由点 N 在 QG 上,知在(0,1)内存在 ? 使 QN ? ? QG ; 代入消去 ? ,得: 2 x0 ? y0 ? 1, x0 ( x ? 1) y0 ? x ;
M

B

P E

N

C y

1? x 1? x 从而 x0 ? ; , y0 ? 3? x 3? x 1? x 1? x 2 于是, N ? ( , , ) ;而点 M 在 BD 上, 3? x 3? x 3? x 故可令 M ( x1 , 1 ? x1 , 1) ;

x F

G

H

6 1? x 6 6 3 1? x ( )? ? 由 MN ? BD ? 0 ,知 x1 ? ( . ) ,于是, y ?| MN |? 2 3? x 2 3? x 2 3? x 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ,则 a1a2 ??? a2014 的最小值 10.设 a1 , a 2 ,?, a2014 均为正实数,且 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2014 2
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先做后对答案

是______________ 2014 1 ? xi 2 解:设 xi ? ,则有 ai ? 2 ? ,且 ? xi ? 1 , 2 ? ai xi i ?1 ∴ a1a2 ??? a2014 ? 22014 ?
?
1 ? ( x2 ? x3 ? ??? ? x2014 ) ? ( x1 ? x3 ? ??? ? x2014 ) ??? ( x1 ? x2 ? ??? ? x2013 ) x1 x2 ??? x2014

22014 ? 2013 ? 2013 x2 x3 ??? x2014 ? 2013 ? 2013 x1 x3 ??? x2013 ??? 2013 ? 2013 x1 x2 ??? x2013 ? 4026 2014 x1 x2 ??? x2014

二、解答题: 11.已知焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过定点 A (1, 0) ,且与曲线 | y |? x 的交点为 B 、 C ;现有以 a 2 b2 A 为焦点,过点 B 、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为 M (m, 0) ;当椭圆的离心率 e
2 ? e2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围. 3

满足

解:椭圆过定点 A (1, 0) ,则 a ? 1 , c ? 1 ? b2 , e ? 1 ? b2 ;∵

3 2 ; ? e2 ? 1 ,∴ 0 ? b ? 3 3 由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y ? x ( x ? 0) 的交点, 就必过椭圆与射线 y ? ? x ( x ? 0) 的交点;

( x ? 0) ?y ? x b ? 解方程组 ? 2 y 2 ,得 x ? y ? ;∵ b ? (0, 1 ? b2 ?x ? 2 ? 1 b ? 设抛物线方程为: y 2 ? ?2 p( x ? m), p ? 0, m ? 1 ;
又∵

3 1 ) ,∴ 0 ? x ? ; 3 2

p ? m ? 1 ,∴ y 2 ? 4(1 ? m)( x ? m), m ? 1 ; 2 1 由 y ? x, x ? (0, ) ,得 x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 ; 2 1 2 令 f ( x) ? x ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1), (m ? 1, 0 ? x ? ) ; 2 f (0) ? ? 4 m(m ? 1) ? 0 ? 1 ? ∵ f ( x) 在 (0, ) 内有根且单调递增;∴ ? 1 ; 1 2 f ( ) ? ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? ? 2 4 ? m ? 1或m ? 0 3? 2 ? ∴ ?3 ? 2 . 3 ? 2 ;故 1 ? m ? 4 ?m? ? ? 4 4 12.已知 ?ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ,且满足 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ; (1)是否存在边长均为整数的 ?ABC ?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由. (2)若 a ? 1 , b ? 1 , c ? 1 ,求出 ?ABC 周长的最小值. 解: (1)不妨设整数 a ? b ? c ,显然 c ? 2 ; 1 1 1 1 若 c ? 5 ,则 ? ? ? ;由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) , a b c 5 1 1 1 1 4 可得 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ( )3 ;矛盾.故 c 只可能取 2,3,4. 2 a b c 5 当 c ? 2 时,则 ab ? (a ? 1)(b ? 1) ,有 a ? b ? 1 ,又 a ? b ? 2 ,故无解.
) 当 c ? 3 时,则 3ab ? 4(a ? 1)(b ? 1 ,即 (a ? 4)(b ? 4) ? 12 ,又 a ? b ? 3 ,

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?a ? 4 ? 12 ? a ? 4 ? 6 ? a ? 4 ? 4 ? a ? 16 ? a ? 10 ? a ? 8 故? 或? 或? ;解得 ? 或? 或? ; b ? 4 ? 1 b ? 4 ? 2 b ? 4 ? 3 ? ? ? ?b?5 ?b?6 ?b ? 7 能构成三角形的只有: a ? 8 , b ? 7 , c ? 3 . 当 c ? 4 时,同理可得: a ? 9 , b ? 4 或 a ? 6 , b ? 5 ; 能构成三角形的只有 a ? 6 , b ? 5 , c ? 4 ; 故存在三边长均为整数的 ?ABC ,其三边长分别为 4,5,6 或 3,7,8. (2)由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,

1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 1 1 1 1 a b c ]3 可得: ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? [ 2 a b c 3 1 1 1 2 1 1 1 所以, ? ? ? 3 ? ,又 (a ? b ? c)( ? ? ) ? 9 , 3 a b c a b c 2

则有 a ? b ? c ?

9 9 33 2 ; ? ?3 1 1 1 2 2 ? 1 ? ? 3? 3 a b c 2
33 2
3

2 时,取得最小值. 2 ?1 2 ?1 13.已知⊙O1 与⊙O2 相交于两点 A、B,点 P、E 在⊙O1 上,点 Q、F 在⊙O2 上,且满足 EF 为两圆的公切线, PQ∥EF , PE 与 QF 相交于点 R ;求证: ?PBR ? ?QBR .

故 ?ABC 的周长最小值为

,当且仅当 a ? b ? c ?

3

3

证明:如图设⊙O1 的半径为 r1 ,作 EH ∥PQ , BR PQ ? Z , BG EP ? X , BH FQ ? Y ,
PQ BG EO1 ? N1 , PQ EO1 ? M1 , BH FO2 ? N 2 , FO2 ? M 2 ;
P O1 X G E M1 B M2 F A N1 Z O2 Y H N2 Q

设 EM1 ? FM 2 ? a, EN1 ? FN 2 ? b ; 易知 EG ? 2r1a , EP ? 2rb 1 ;
a EX ? EP ? b a EX ? 2r1a ;故 ? b EG EX BX ? ? EG BP a ; b a ; b

由 ?EGX ~ ?BPX ,知 同理, 故
BY ? BQ a ; b

BX BY BP BX ? ? ,即 ; BP BQ BQ BY PZ BX BP ? ? ,∴ ?PBR ? ?QBR . ZQ BY BQ

R

由 PQ∥XY ,可知

14.从数 1,2,3,?,2014 中删去一些数,使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的 数的积,问至少要删去多少个数才能做到这一点? 解:因为一个数不等于另外两个数的积,所以考虑一个数是另外两个数的积的三数组. 从数 1,2,3,?,2014 中选出下列三数组: {44,45,44×45},{43,46,43×46},{42,47,42×47},?,{2,87,2×87};一共 43 组; 若删去的数少于 43,则必有同一组中的 3 个数没有删去,它们中一数等于另两数之积, 所以至少删去 43 个数; 另一方面,若删去 2,3,4,?,44 这 43 个数,则剩下的数中任意两个数之积要么不小于: 45×46=2070,要么两个数为 1, a ( a ? 45,46,?,2014) ,它们的积 1× a = a ,不可能等
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先做后对答案

于 1,2,3,?,2014 中第 3 个数;所以只要删去 2,3,4,?,44 这 43 个数即可满足要求.

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