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1.2.2 绝对值不等式的解法 教学课件(北师大版选修4-5)


2. 2 绝对值不等式的解法

学习目标
1.理解绝对值的几何意义,会用数轴上的点表示绝对值

不等式的范围.
2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类 型的绝对值不等式.

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预习自测
点x与点a 之间的距

1.设x,a为实数,|x-a|表示数轴上的_________ 点x与原点 之间的距离.当x≥0 离;|x|表示数轴上的__________ 时,|x|=__ x ;当x<0时,|x|=____ -x . x>a或x<-a . 2.|x|>a (a>0)? ___________ 3.|x|<a (a>0)? ________ -a<x<a . ? ;|x| ≥ a的解集为 R 4.a<0时,|x|≤a的解集为__ __. a<f(x)<a . 5.|f(x)|<a (a>0)? - __________ f(x)>a或f(x)<-a . 6.|f(x)|>a (a>0)? _______________ -g(x)<f(x)<g(x) . 7.|f(x)|<g(x)? _______________ f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). 8.|f(x)|>g(x)? ____________________ f2(x)<g2(x) . 9.|f(x)|<|g(x)|? _________ f2(x)>g2(x) . 10.|f(x)|>|g(x)|? __________
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自主探究
1.如何解形如|ax+b|≤c、|ax+b|≥c的不等式?
提示 (1)当c≥0时,|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c, 解之即可;

|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,解之即可.
(2)当c<0时,由绝对值的定义知|ax+b|≤c的解集为?,|ax +b|≥c的解集为R.

2.如何解|ax+b|>|cx+d|,|ax+b|<|cx+d|型的不等式?
提示 两边平方后转化成不含绝对值的不等式,解不含绝 对值的不等式即可.
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3.你能归纳出解|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型的不
等式的一般步骤吗? 提示 根. (2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的

间.
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号, 讨论所得的不等式在这个区间上的解集. (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.

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典例剖析
知识点1 【例1】解不等式: (1)|x-a|≤b (b>0);(2)|x-a|≥b (b>0). 解 (1)|x-a|≤b (b>0)?-b≤x-a≤b ?a-b≤x≤b+a. 所以原不等式的解集为{x|a-b≤x≤a+b}. 解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式

(2)|x-a|≥b?x-a≥b或x-a≤-b
?x≥a+b或x≤a-b. 所以原不等式的解集为{x|x≥a+b或x≤a-b}.
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1.解不等式: (1)2|x|+1>7;(2)|1-2x|<5. 解 (1)2|x|+1>7?2|x|>6 ?|x|>3?x>3或x<-3. ∴不等式的解集为{x|x>3或x<-3}. (2)|1-2x|<5?|2x-1|<5?-5<2x-1<5 ?-4<2x<6?-2<x<3.

∴不等式的解集为{x|-2<x<3}.
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知识点2 解|f(x)|<|g(x)|型不等式 【例2】解不等式|x-a|<|x-b| (a≠b). 解 由|x-a|<|x-b|两边平方得:(x-a)2<(x-b)2. 整理得:2(a-b)x>a2-b2. a+ b 因 a≠b,当 a>b 时,x> ; 2 a+ b 当 a<b 时,x< . 2 ∴不等式的解集为: ? ? 1 ? 当 a>b 时, x|x>2(a+b)?; ? ? ? ? 1 ? 当 a<b 时, x|x<2(a+b)?. ? ? 【反思感悟】 解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝
对值符号,把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不 等式或一元二次不等式.
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2.解不等式|x2-2x+3|<|3x-1|.



x2-2x+3=(x-1)2+2>0,

|x2-2x+3|<|3x-1|?x2-2x+3<|3x-1| ?3x-1>x2-2x+3或3x-1<-x2+2x-3 ?x2-5x+4<0或x2+x+2<0. 由x2-5x+4<0,得:1<x<4, ? 1?2 7 2 由 x +x+2<0,得:?x+2? + <0, 4 ? ? 该不等式解集为?. 所以原不等式的解集为(1,4).
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解|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+ |x-b|≤c型不等式 x 【例3】 解不等式|x+3|-|2x-1|<2+1. x 解 ①x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)< +1,解得 2
x<10,∴x<-3. 1 x ②当- 3≤x< 时,原不等式化为 (x+ 3)- (1-2x)< + 1,解得 2 2 2 2 x<- ,∴-3≤x<- . 5 5 1 x ③当 x≥ 时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)< +1, 2 2 解得 x>2,∴x>2. ? ? 2 综上可知:原不等式的解集为?x|x<-5,或x>2?. ? ?
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知识点3

【反思感悟】 对含有多个绝对值符号的不等式的解法通 常用分段讨论法,去掉绝对值符号,将不等式化为整式不 等式求解,去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义,找到 分界点(即零值点).令绝对值内的数为零,分成若干段, 最后原不等式的解集是各段解集的并集.

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3.解不等式|x+1|-|2x-3|+2>0.
3 解 令 x+1=0,∴x=-1,令 2x-3=0,∴x= , 2 (1)当 x≤-1 时,原不等式化为-(x+1)>-(2x-3)-2, ∴x>2 与条件 x≤-1 矛盾,无解; 3 (2)当-1<x≤ 时,原不等式化为 2 3 x+1>-(2x-3)-2,∴x>0,故 0<x≤ ; 2 3 (3)当 x> 时,原不等式化为 x+1>2x-3-2, 2 3 ∴x<6,故 <x<6. 2 综上,原不等式的解集为{x|0<x<6}.
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课堂小结
解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号,去绝
对值符号的常用手段有3种:
? ?a (a≥0), (1)根据实数的绝对值的意义:|a|=? ? ?-a (a<0).

(2)根据不等式的性质:
|x|<a?-a<x<a (a>0). (3)根据|a|2=a2 (a∈R),不等式两边同时平方,当然应注 意不等式两边平方的前提.

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随堂演练
1.不等式1≤|2x-1|<2的解集为
? 1 3? ? A. x|-2<x<0,或1<x<2? ? ? ? 1 3? B.?x|-2<x<0,或1≤x≤2? ? ? ? 1 3? C.?x|-2<x≤0,或1≤x<2? ? ? ? 1 3? D.?x|-2≤x≤0,或1≤x≤2? ? ?

(

).

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解析

? ?|2x-1|≥1, 由题意得? ? ?|2x-1|<2,

① ②

解①得 x≥1 或 x≤0, 1 3 解②得- <x< . 2 2 ? 1 3? ∴解集为?x|-2<x≤0,或1≤x<2?. ? ?

答案

C

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2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是

(

).

A.0
解析

B.-1

C.1

D.2

(1)x≥2则不等式化为x-1+x-2=2x-3≤3,

解得2≤x≤3.∵x∈Z,∴x=2或x=3. (2)1≤x<2,则不等式化为x-1+2-x=-1≤3, 则x∈[1,2).∵x∈Z,∴x=1.

(3)x<1,则不等式化为1-x+2-x=3-2x≤3,解得x≥0.
∵x∈Z且取最小整数,∴x=0.综上所得:x=0. 答案 A

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1 3.不等式 (5|x|-1)+1≤3 的解集为____________. 2 解析 5|x|-1≤4?5|x|≤5?|x|≤1?-1≤x≤1.

∴解集为{x|-1≤x≤1}. 答案 {x|-1≤x≤1}

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