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选修3-4机械振动知识点汇总


高中物理机械振动知识点汇总
一. 教学内容: 第十一章 机械振动 本章知识复习归纳 二. 重点、难点解析 (一)机械振动 物体(质点)在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动,物体能够围绕着平衡位置做往复运动,必然 受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力,它可以是一个力或一个力的分力,也可以是几 个力的合力。 产生振动的必要条件是:a、物体离

开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。 (二)简谐振动 1. 定义:物体在跟位移成正比,并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单,最 基本的振动。研究简谐振动物体的位置,常常建立以中心位置(平衡位置)为原点的坐标系,把物体的位移定义为物 体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比,方向跟位移相反的回复力作用下的振动, 即 F=-kx,其中“-”号表示力方向跟位移方向相反。 2. 简谐振动的条件:物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比,方向跟位移方向相反的回复力作用。 3. 简谐振动是一种机械运动,有关机械运动的概念和规律都适用,简谐振动的特点在于它是一种周期性运动,它的 位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能(重力势能和弹性势能)都随时间做周期性变化。 (三)描述振动的物理量,简谐振动是一种周期性运动,描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。 1. 振幅:振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离,常用字母“A”表示,它是标量,为正值,振幅是表示振动强 弱的物理量,振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小,简谐振动在振动过程中,动能和势能相互转化而总机械能 守恒。 2. 周期和频率,周期是振子完成一次全振动的时间,频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期 T 跟频率 f 之间是倒数关系,即 T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量,简谐振动的周期和频率是由振动物体本 身性质决定的,与振幅无关,所以又叫固有周期和固有频率。 (四)单摆:摆角小于 5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点,另一端拴一个小球,忽略线的伸缩和质量,球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单 摆做简谐振动的条件是:最大摆角小于 5°,单摆的回复力 F 是重力在圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是 T= 。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅,摆球质量无关,只与 L 和 g 有关,其中 L 是摆长,是 悬点到摆球球心的距离。g 是单摆所在处的重力加速度,在有加速度的系统中(如悬挂在升降机中的单摆)其 g 应为等 效加速度。 (五)振动图象。 简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间,纵轴表示位移。图象是 正弦或余弦函数图象,它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象 联系起来,从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度,回复力等的变化情况。 (六)阻尼振动、受迫振动、共振。 简谐振动是一种理想化的振动,当外界给系统一定能量以后,如将振子拉离开平衡位置,放开后,振子将一直振 动下去,振子在做简谐振动的图象中,振幅是恒定的,表明系统机械能不变,实际的振动总是存在着阻力,振动能量

总要有所耗散,因此振动系统的机械能总要减小,其振幅也要逐渐减小,直到停下来。振幅逐渐减小的振动叫阻尼振 动,阻尼振动虽然振幅越来越小,但振动周期不变,振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。 振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动,那么它做受迫振动,受迫振动达到稳定时其振动周期和频率 等于策动力的周期和频率,而与振动物体的固有周期或频率无关。 物体做受迫振动的振幅与策动力的周期(频率)和物体的固有周期(频率)有关,二者相差越小,物体受迫振动 的振幅越大,当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时,受迫振动的振幅最大,叫共振。

【典型例题】
[例 1] 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动,第一次先后经过 M、N 两点时速度 v(v≠0)相同,那么,下列说法正确 的是( ) A. 振子在 M、N 两点受回复力相同 B. 振子在 M、N 两点对平衡位置的位移相同 C. 振子在 M、N 两点加速度大小相等 D. 从 M 点到 N 点,振子先做匀加速运动,后做匀减速运动 解析:建立弹簧振子模型如图所示,由题意知,振子第一次先后经过 M、N 两点时速度 v 相同,那么,可以在振 子运动路径上确定 M、N 两点,M、N 两点应关于平衡位置 O 对称,且由 M 运动到 N,振子是从左侧释放开始运动的 (若 M 点定在 O 点右侧,则振子是从右侧释放的)。建立起这样的物理模型,这时问题就明朗化了。

因位移、速度、加速度和回复力都是矢量,它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N 两点关于 O 点对称,振 子回复力应大小相等、方向相反,振子位移也是大小相等,方向相反。由此可知,A、B 选项错误。振子在 M、N 两点 的加速度虽然方向相反,但大小相等,故 C 选项正确。振子由 M→O 速度越来越大,但加速度越来越小,振子做加速 运动,但不是匀加速运动。振子由 O→N 速度越来越小,但加速度越来越大,振子做减速运动,但不是匀减速运动, 故 D 选项错误,由以上分析可知,该题的正确答案为 C。 点评:(1)认真审题,抓住关键词语。本题的关键是抓住“第一次先后经过 M、N 两点时速度 v 相同”。 (2)要注意简谐运动的周期性和对称性,由此判定振子可能的路径,从而确定各物理量及其变化情况。 (3)要重视将物理问题模型化,画出物理过程的草图,这有利于问题的解决。 [例 2] 一质点在平衡位置 O 附近做简谐运动, 从它经过平衡位置起开始计时, 经 0.13 s 质点第一次通过 M 点, 再经 0.1 s 第二次通过 M 点,则质点振动周期的可能值为多大? 解析:将物理过程模型化,画出具体的图景如图 1 所示。设质点从平衡位置 O 向右运动到 M 点,那么质点从 O 到 M 运动时间为 0.13 s,再由 M 经最右端 A 返回 M 经历时间为 0. 1 s;如图 2 所示。

另有一种可能就是 M 点在 O 点左方,如图 3 所示,质点由 O 点经最右方 A 点后向左经过 O 点到达 M 点历时 0.13 s,再由 M 向左经最左端 A,点返回 M 历时 0.1 s。 根据以上分析,质点振动周期共存在两种可能性。 如图 2 所示,可以看出 O→M→A 历时 0.18 s,根据简谐运动的对称性,可得到 T1=4×0.18 s=0.72 s。 另一种可能如图 3 所示,由 O→A→M 历时 tl=0.13 s,由 M→A’历时 t2=0.05 s 设 M→O 历时 t,则 4(t+t2)=t1+2t2+t,解得 t=0. 01 s,则 T2=4(t+t2)=0.24 s 所以周期的可能值为 0.72 s 和 0.24 s 说明: (1)本题涉及的知识有:简谐运动周期、简谐运动的对称性。

(2)本题的关键是:分析周期性,弄清物理图景,判断各种可能性。 (3)解题方法:将物理过程模型化、分段分析、讨论。 [例 3] 甲、乙两弹簧振子,振动图象如图所示,则可知( )

A. 两弹簧振子完全相同 B. 两弹簧振子所受回复力最大值之比 F 甲∶F 乙=2∶1 C. 振子甲速度为零时,振子乙速度最大 D. 振子的振动频率之比 f 甲∶f 乙=1∶2 解析:从图象中可以看出,两弹簧振子周期之比 T 甲∶T 乙=2∶1,得频率之比 f 甲∶f 乙=1∶2,D 正确。弹簧振子周 期与振子质量、弹簧劲度系数 k 有关,周期不同,说明两弹簧振子不同,A 错误。由于弹簧的劲度系数 k 不一定相同, 所以两振子受回复力(F=kx)的最大值之比 F 甲∶F 乙不一定为 2∶1,所以 B 错误,对简谐运动进行分析可知,在振子 到达平衡位置时位移为零,速度最大;在振子到达最大位移处时,速度为零,从图象中可以看出,在振子甲到达最大 位移处时,振子乙恰到达平衡位置,所以 C 正确。答案为 C、D。 点评:(1)图象法是物理问题中常见的解题方法之一,是用数学手段解决物理问题能力的重要体现。应用图象法 解物理问题要明确图象的数学意义,再结合物理模型弄清图象描述的物理意义,两者结合,才能全面地分析问题。 (2)本题中涉及知识点有:振幅、周期、频率、影响周期的因素、简谐运动在特殊点的速度、回复力、简谐运动 的对称性等。 (3)分析本题的主要方法是数与形的结合(即图象与模型相结合)分析方法。 [例 4] 在海平面校准的摆钟,拿到某高山山顶,经过 t 时间,发现表的示数为 t′,若地球半径为 R,求山的高度 h(不 考虑温度对摆长的影响)。 解析:由钟表显示时间的快慢程度可以推知表摆振动周期的变化,而这种变化是由于重力加速度的变化引起的, 所以,可以得知由于高度的变化引起的重力加速度的变化,再根据万有引力公式计算出高度的变化,从而得出山的高 度。 一般山的高度都不是很高(与地球半径相比较),所以,由于地球自转引起的向心力的变化可以不考虑,而认为 物体所受向心力不变且都很小,物体所受万有引力近似等于物体的重力。 (1)设在地面上钟摆摆长 l,周期为 T0,地面附近重力加速度 g,拿到高山上,摆振动周期为 T′,重力加速度为

g′,应有

从而 (2)在地面上的物体应有

在高山上的物体应有



点评:(1)本题涉及知识点:单摆的周期及公式,影响单摆周期的因素,万有引力及公式,地面附近重力与万有 引力关系等。 (2)解题关键:抓住影响单摆周期的因素 g,找出 g 的变化与 t 变化的关系,再根据万有引力知识,推出 g 变化 与高度变化关系,从而顺利求解。 [例 5] 在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为 k1、k2 的轻弹簧系住一个质量为 m 的小球。开始时,两弹簧均处于原 长,后使小球向左偏离 x 后放手,可以看到小球将在水平面上作往复振动。试问小球是否作简谐运动? 解析:为了判断小球的运动性质,需要根据小球的受力情况,找出回复力,确定它能否写成 F=-kx 的形式。 以小球为研究对象,竖直方向处于力平衡状态,水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置 O 左方 某处时,偏离平衡位置的位移为 x,则左方弹簧受压,对小球的弹力大小为 f1=k1x,方向向右。 右方弹簧被拉伸,对小球的弹力大小为 f2=k2x,方向向右。 小球所受的回复力等于两个弹力的合力,其大小为 F=f1+f2=(k1+k2)x,方向向右。 令 k=k1+k2,上式可写成 F=kx。 由于小球所受回复力的方向与位移 x 的方向相反,考虑方向后,上式可表示为 F=-kx。 所以,小球将在两根弹簧的作用下,沿水平面作简谐运动。 点评:由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤:确定研究对象(整个物体或某一部分)→分析受力 情况→找出回复力→表示成 F=-kx 的形式(可以先确定 F 的大小与 x 的关系,再定性判断方向)。 [例 6] 如图所示,一轻质弹簧竖直放置,下端固定在水平面上,上端处于 a 位置,当一重球放在弹簧上端静止时,弹 簧上端被压缩到 b 位置。现将重球(视为质点)从高于 a 位置的 c 位置沿弹簧中轴线自由下落,弹簧被重球压缩到最 低位置 d。以下关于重球运动过程的正确说法应是( ) A. 重球下落压缩弹簧由 a 至 d 的过程中,重球做减速运动。 B. 重球下落至 b 处获得最大速度。 C. 重球下落至 d 处获得最大加速度。 D. 由 a 至 d 过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由 c 下落至 d 处时重力势能减少量。

解析:重球由 c 至 a 的运动过程中,只受重力作用,做匀加速运动;由 a 至 b 的运动过程中,受重力和弹力作用, 但重力大于弹力,做加速度减小的加速运动;由 b 至 d 的运动过程中,受重力和弹力作用,但重力小于弹力,做加速 度增大的减速运动。所以重球下落至 b 处获得最大速度,由 a 至 d 过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由 c 下落 至 d 处时重力势能减少量,即可判定 B、D 正确。C 选项很难确定是否正确,但利用弹簧振子的特点就可非常容易解

决这一难题。重球接触弹簧以后,以 b 点为平衡位置做简谐运动,在 b 点下方取一点 a',使 ab= a′b ,根据简谐运 动的对称性,可知,重球在 a、 a'的加速度大小相等,方向相反,如图所示。而在 d 点的加速度大于在 a'点的加速 度,所以重球下落至 d 处获得最大加速度,C 选项正确。

答案:BCD [例 7] 若单摆的摆长不变,摆角小于 5°,摆球质量增加为原来的 4 倍,摆球经过平衡位置的速度减小为原来的 1/2, 则单摆的振动( ) A. 频率不变,振幅不变 B. 频率不变,振幅改变 C. 频率改变,振幅改变 D. 频率改变,振幅不变 解析:单摆的周期 T= ,与摆球质量和振幅无关,只与摆长 L 和重力加速度 g 有关。当摆长 L 和重力加 速度 g 不变时,T 不变,频率 f 也不变。选项 C、D 错误。单摆振动过程中机械能守恒。摆球在最大位置 A 的重力势能 等于摆球运动到平衡位置的动能,即 mgL(1-cosθ )= m υ2 υ = ,当υ 减小为υ /2 时, 增大,

减小,振幅 A 减小,选项 B 正确。 点评: 单摆的周期只与摆长和当地重力加速度有关, 而与摆球质量和振动幅无关, 摆角小于 5°的单摆是简谐振动, 机械能守恒。

【模拟试题】
一. 选择题 1. 弹簧振子作简谐运动, t1 时刻速度为 v, t2 时刻也为 v, 且方向相同。 已知 (t2-t1) 小于周期 T, 则 (t2-t1) (AB ) A. 可能大于四分之一周期 B. 可能小于四分之一周期 C. 一定小于二分之一周期 D. 可能等于二分之一周期 2. 有一摆长为 L 的单摆,悬点正下方某处有一小钉,当摆球经过平衡位置向左摆动时,摆线的上部将被小钉挡住, 使摆长发生变化, 现使摆球做小幅度摆动, 摆球从右边最高点 M 至左边最高点 N 运动过程的闪光照片, 如图所示, (悬 点和小钉未被摄入),P 为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等,由此可知,小钉与悬点的距离为 (C ) A. L/4 B. L/2 C. 3L/4 D. 无法确定

3. A、B 两个完全一样的弹簧振子,把 A 振子移到 A 的平衡位置右边 10cm,把 B 振子移到 B 的平衡位置右边 5cm, 然后同时放手,那么( A ) A. A、B 运动的方向总是相同的 B. A、B 运动的方向总是相反的 C. A、B 运动的方向有时相同、有时相反 D. 无法判断 A、B 运动的方向的关系 4. 在下列情况下,能使单摆周期变小的是( C ) A. 将摆球质量减半,而摆长不变

B. 将单摆由地面移到高山 C. 将单摆从赤道移到两极 D. 将摆线长度不变,换一较大半径的摆球 5. 把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这就做成了一个共 振筛,筛子做自由振动时,完成 20 次全振动用 15s,在某电压下,电动偏心轮转速是 88 r/min,已知增大电动偏心轮 的电压,可以使其转速提高,增加筛子的质量,可以增大筛子的固有周期,要使筛子的振幅增大,下列做法中,正确 的是(AD ) A. 降低输入电压 B. 提高输入电压 ? C. 增加筛子的质量 D. 减小筛子的质量? 6. 一质点作简谐运动的图象如图所示,则该质点( BD ) A. 在 0.015s 时,速度和加速度都为-x 方向。 B. 在 0.01 至 0.03s 内,速度与加速度先反方向后同方向,且速度是先减小后增大,加速度是先增大后减小。 C. 在第八个 0.01s 内,速度与位移方向相同,且都在不断增大。 D. 在每 1s 内,回复力的瞬时功率有 100 次为零。

7. 摆长为 L 的单摆做简谐振动,若从某时刻开始计时,(取作 t=0),当振动至 大速度,则单摆的振动图象是图中的( C )

时,摆球具有负向最

8. 将一个电动传感器接到计算机上,就可以测量快速变化的力,用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小 随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图线提供的信息做出了下列判断( A ) ① s 时摆球正经过最低点。 ② s 时摆球正经过最低点。 ③ 摆球摆动过程中机械能减少。 ④ 摆球摆动的周期是 T=1.4s。 上述判断中,正确的是 A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④

9. 甲乙两人同时观察同一单摆的振动,甲每经过 2.0S 观察一次摆球的位置,发现摆球都在其平衡位置处;乙每经过 3.0S 观察一次摆球的位置,发现摆球都在平衡位置右侧的最高处,由此可知该单摆的周期可能是( AB ) A. 0.5S B. 1.0S C. 2.0S D. 3.0S 10. 关于小孩子荡秋千,有下列四种说法: ① 质量大一些的孩子荡秋千,它摆动的频率会更大些 ② 孩子在秋千达到最低点处有失重的感觉 ③ 拉绳被磨损了的秋千,绳子最容易在最低点断开 ④ 自己荡秋千想荡高一些,必须在两侧最高点提高重心,增加势能。上述说法中正确的是( B ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③ 二. 填空题 11. 如图所示,质量为 m 的物块放在水平木板上,木板与竖直弹簧相连,弹簧另一端固定在水平面上,今使 m 随 M 一起做简谐运动,且始终不分离,则物块 m 做简谐运动的回复力是由 重力和 M 对 m 支持力的合力 提供的,当 振动速度达最大时,m 对 M 的压力为 mg 。

12. 如图所示为水平放置的两个弹簧振子 A 和 B 的振动图像,已知两个振子质量之比为 mA :mB=2:3,弹簧的劲度系 数之比为 kA:kB=3:2,则它们的周期之比 TA:TB= 2:3 ;它们的最大加速度之比为 aA:aB= 9:2 。

13. 有一单摆,当它的摆长增加 2m 时,周期变为原来的 2 倍。则它原来的周期是_1.64s________。 14. 某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中,先测得摆线长为 101.00cm,摆球直径为 2.00cm,然后用秒表 记录了单摆振动 50 次所用的时间为 101.5 s。则: (1)他测得的重力加速度 g =9.76 m/s2(计算结果取三位有效数字) (2)他测得的 g 值偏小,可能原因是: CD A. 测摆线长时摆线拉得过紧。 B. 摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了。 C. 开始计时时,秒表过迟按下。 D. 实验中误将 49 次全振动计为 50 次。 (3)为了提高实验精度,在实验中可改变几次摆长 l 并测出相应的周期 T,从而得出一组对应的 l 和 T 的数值, 再以 l 为横坐标、T2 为纵坐标将所得数据连成直线,并求得该直线的斜率 K。则重力加速度 g = 4∏^2/K 。(用 K 表示) 三. 计算题 15. 弹簧振子以 O 点为平衡位置在 B、C 两点之间做简谐运动,B、C 相距 20 cm.某时刻振子处于 B 点,经过 0.5 s, 振子首次到达 C 点,求: (1)振动的周期和频率; T=1s f=1Hz (2)振子在 5 s 内通过的路程及位移大小;200cm 10cm (3)振子在 B 点的加速度大小跟它距 O 点 4 cm 处 P 点的加速度大小的比值。5:2

16. 观察振动原理的应用: 心电图仪是用来记录心脏生物电的变化规律的装置, 人的心脏跳动时会产生一股股强弱不 同的生物电,生物电的变化可以通过周围组织传到身体的表面。 医生用引导电极放置于肢体或躯体的一定部位就可通 过心电图仪记录出心电变化的波动曲线,这就是心电图。请去医院进行调查研究,下面是甲、乙两人在同一台心电图 机上作出的心电图分别如图甲、乙所示,医生通过测量后记下甲的心率是 60 次/分。试分析: (1)该心电图机图纸移动的速度;v=0.025m/s (2)乙的心动周期和心率 0.8s 75 次/分

17. 如图所示,一块涂有炭黑玻璃板,质量为 2kg,在拉力 F 的作用下,由静止开始竖直向上运动。一个装有水平振 针的振动频率为 5Hz 的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线,量得 OA=1cm,OB=4cm,OC=9cm,求外力 F 的 大小。(g=10m/s2,不计阻力)F=24N

18. 两个单摆摆长相同,一个静止于地面,一个个静止在悬浮于高空的气球中。地面上的单摆摆动了 n 次全振动时, 气球中的单摆摆动了 n-1 次全振动。已知地球半径为 R,求气球的高度? H=R/(n-1)

【试题答案】
1. AB 2. C 3. A 4. C 解析:影响单摆周期的因素为摆长 l 和重力加速度 g, 当摆球质量减半时摆长未变,周期不变;当将单摆由地面 移到高山时,g 值变小,T 变大;当单摆从赤道移到两极时 g 变大,T 变小;当摆线长度不变,摆球半径增大时,摆长 l 增大,T 变大,所以选 C。 5. AD 6. BD

7. 解:从 t=0 时经过 在给出的四个图象中,经过

时间,这段时间为

,经过

摆球具有负向最大速度,说明摆球在平衡位置,

具有最大速度的有 B、C 两图,而具有负向最大速度的只有 C。所以选项 C 正确。

8. A 9. AB 10. 解析:秋千近似为单摆,其周期、频率由摆长 l 和当地的重力加速度决定,与质量无关,故知①错;具有向下的 加速度时处于失重状态,而在最低点具有向上的向心加速度,故②错;最低点绳子承受的拉力最大,故在最低点易断, 故③对;在最高点提高重心,可使体内化学能转化为机械能(势能),可荡得高一些,可见④亦正确,答案:B 11. 重力和 M 对 m 的支持力的合力; mg。 12. 2:3;9:2 13. 解: 设该单摆原来的摆长为 L0,振动周期为 T0;则摆长增加 2m 后,摆长变为

L=(l0+2)m,周期变为 T=2T0。由单摆周期公式,有 T0=

2 T0= 联立上述两式,可得 L0= m T0=1.64s 14. (1) 9.76 (2) B (3) 4π 2/K 。 15.(1)设振幅为 A,由题意 BC=2A=20 cm,所以 A=10 cm 振子从 B 到 C 所用时间 t=0.5 s,为周期 T 的一半,所以 T=1.0 s;f= =1.0 Hz

(2)振子在 1 个周期内通过的路程为 4A,故在 t′=5 s=5T 内通过的路程 s= ×4A=200 cm 5 s 内振子振动了 5 个周期,5 s 末振子仍处在 B 点,所以它偏离平衡位置的位移大小为 10 cm (3)振子加速度 a=- x,a∝x.所以 aB∶aP=xB∶xP=10∶4=5∶2 16.(1)25mm/s (2)0.8s;75 次/分 17. 设板竖直向上的加速度为 a,则有:sBA-sAO=aT2 ① 2 sCB-sBA=aT ② 由牛顿第二定律得 F-mg=ma ③ 解①②③式可求得 F=24 N

18. 解析:T=

=2π

T’=

=2π

所以 所以 h=

=

=

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