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[中学联盟]湖北省荆州市监利县柘木中学高中数学必修4课件:必修4总复习(共28张PPT)


一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B 1)图形表示 A 有向线段AB 2)字母表示 3)坐标表示

? ??? ? ? ??? ? a ? AB 向量的模 :| a |?| AB |

? ??? ? a ? OA ? ( x, y) ? 点A( x, y) ? ??? ? a ? AB ? ( xB ? xA

, yB ? yA )

? ? ? a ? xi ? y j ? ( x, y)

一.基本概念
2.零向量及其特殊性

? ? ? ? ? (1)0 / / a (2)? 0 ? 0 (3)0 ? a ? 0
? | a |? 1

3.单位向量

4.平行向量,相等向量,相反向量

? ? 5.两个非零向量 a与b 的夹角? ? [0, ? ]

题例1:以下各种判断中正确的是 (1)(3)(5) (1)长度为0的向量都是零向量; (2)零向量的方向都是相同的; (3)单位向量的长度都相等; (4)单位向量的方向都是相同的; (5)任意向量与零向量都共线; (6)平行向量的方向都是相同的; (7)共线向量一定要在同一直线上作出; (8)模相等的两向量是相等向量; (9)向量的模是实数,模大的向量也大 ; ? ? ? ? ? ? (10) a // b , b // c ? a // c

二.基本运算
1. 向量线性运算

? ? 2.两个非零向量 a与b 的数量积 ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | cos ?

? ? a ? b ? ? a ?b ? ?a

? ? 向量? a (? ? R)与a共线

??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC ??? ? ???? ??? ? AB ? AC ? CB

? ? ? | b | cos ? 叫做向量b在a方向上的投影

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 例:(1) 化简 AB ? DA ? BD ? BC ? CA . AC 5 (2)点C在线段AB上,且 ? , 2? ??? ? ??? ? ??? ? CB ??? 则 AC ? ___ AB , BC ? ___ AB. ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? (3)已知向量 e1 , e2不共线, AB ? e1 ? e2
??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3(e1 ? e2 )

求证:A、B、D三点共线。

? ? ? ? (4) 已知 | a |? 3 , | b |? 2 , a与 b的夹角 ? ? ? ? ? ? ? 为60o,求 a ? b , (2a ? b) ? b , | a ? b | .

判断:

? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? ?? ? ? ? ( 3) (a ? b)c ? a(b ? c) ? ? ? ? ? ? (4) a ?b ? a ?c ? b ? c ? ? ? ? ? ? (5)b ? c ? a ? b ? a ? c ?? ? ? ? ? (6)a? b ? 0 ? a ? 0或b=0 ? ? 2 ? 2 ?2 (7)(a ? b) ? a ? b

若a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 ? ? 1)a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ? ? 2)a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ? (?x1 , ?y 1 ) 3)? a ? ? ? 4)a ? b ? x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2

二? .基本运算(坐标途径) ?

? ? ? 2 2 x1 ? y 1 5) | a |? a ? a ? ? ? x1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 a ?b ? ? ? 6) cos ? ? ?? 2 2 2 2 x1 ? y 1 ? x 2 ? y 2 | a ||b|

三.两个等价条件

? ? 2.非零向量 a 和 b ? ?

若a ? (x1 , y1 ),b ? (x2 , y 2 ),则 ? ? 1.向量b和非零向量a ? ? ? ? b / / a ? 有唯一的实数?,使b ? ? a x1 ? y 2 ? x2 ? y1 ? 0
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? ? a ? b ? a ?b ? 0

x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

? ? 例 (1)设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ),则下 列命题中错误的是 ? 2 2 A. | a |? x1 ? y1 ? ? ? b ? x x ? y y B. a 1 2 1 2 ? ? C. a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ? ? D. a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? (2)已知 a ? (1, 2) , b ? ( x ,1) ,若 ? ? ? ? a ? 2b 与 2a ? b平行,则 x ? ___ .

? ? 例: 已知 a ? (4 , 3) , b ? (?1, 2) ? ? (1) 求 a 与 b 的夹角的余弦; ? ? ? ? (2) 若向量 a ? ? b与 2a ? b垂直,求λ的值.

四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 ? 1 , ? 2 , 使 a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.

利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组

概念 任意角 弧度制
三角函数定义 三角函数线 函数图象性质

公式

y=sinx

y=cosx y=tanx 图象变换 综合应用

三角函数复习要抓住的两条主线

1、函数概念学习及公式变换 2、函数图象、变换及性质应用

三角恒等变换

弧度制与角度制

l ?弧度的计算: | ? |? r
?弧度制与角度制的互化:

πrad=180°
弧度制下扇形的弧长及面积公式:
弧长

l ?| ? | r

1 1 ;面积S= lr ? | ? | r 2 2 2
返回

任意角三角函数的定义 以单位圆圆心为平面直 角坐标系原点建系,设 角α的终边交单位圆于点 P(x,y), 则 α
P(x,y)
y 1

y sin ? ? y, tan ? ? x cos ? ? x,

O

1 x

三角函数的基本关系式(注意变形应用) sin ? 2 2 sin ? ? cos ? ? 1; tan ? ? cos ?

例6 若角α的终边过点P(2,3),则 sinα =___; cosα =___; tanα =___. 例4 半径为R的扇形周长为4R,求该扇形 的面积.

单位圆中的三角函数线

sin ? ? y ? MP
cos ? ? x ? OM

α
P

y

1

y tan ? ? ? AT x

M O

A 1 x

注:借助单位圆中的三角函数线 我们可以实现描点作图,同时还 能得出许多重要的三角函数性质

T

例 求满足下列各条件的角的集合
3 3 (1) sin x ? (2) cos x ? (3) tan x ? 3 2 2

? ) 例 作出函数 y ? 3sin(2 x ? 的图象 ,
最值及取最值时的角。
五点法列表: ? 2x ? 6

6 并分别写出函数的周期、单调区间、

x y

基本三角函数的图象与性质
?正弦函数y=sinx的图象与性质

五点法作图(思考怎样列表描点)
?余弦函数y=cosx的图象与性质

五点法作图 ?正切函数y=tanx的图象与性质
思考该函数图象与正、余弦函数图象的区别

三角函数的图象变换 函数 函数 函数

y ? sin x的图象
zxxk

y ? sin( x ? ? ) 的图象 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ? A sin(? x ? ? ) 的图象

函数 y



6 ? 由函数 y ? sin( x ? )的图象 6
怎样变换得到?

函数 y ? sin( x ?

?

) 的图象可

三角函数的诱导公式 公式一:2kπ +α?α(k∈Z) 公式二: π +α?α 公式作用: 公式三: -α?α 化任意角三角 公式四: π -α?α 函数求值为锐 ? 角三角函数求 公式五: -α?α 值 2 ? 公式六: +α?α 2 口诀:奇变偶不变,符号看象限

例 化简

cos(? ? ) 2 ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 5? sin( ? ? ) 2

?

三角恒等变换公式 余弦两角和差公式: cos(α±β)=cosαcosβ ? sinαsinβ 正弦两角和差公式: sin(α±β)=sinαcosβ ? cosαsinβ 正切两角和差公式:

tan ? ? tan ? tan(α±β)= 1 ? tan ? tan ?

倍角公式:sin2α=2sinαsinβ; 2 2 cos 2? ? cos ? ? sin ? 2 2 ? 1 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 1

例 化简或求值

(1) cos 75? ? sin 75?;
2 2

(2) cos x ? 3 sin x;
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cos(? ? 60?) ? cos(60? ? ? ) (3) ; cos ?
(4) 1 ? 2 sin 40? cos 40?

例 已知函数 (1) 求函数的最小正周期 (2) 求函数的最小值及相应角的集合

f ( x) ? 2cos2x ? 2 3sin x cos x ?1


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