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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线


2012 高中数学精讲精练 第九章 圆锥曲线
【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 标准方程 圆锥曲线应用 几何性质 定义 抛物线 几何性质 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何 的重要内容,因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形 式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学 习和研究的圆锥曲线主要包括三类:椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简 单清晰,解题方法的规律性比较强,但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变形能力,数形 结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关 注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算量大,解决问题的思 路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻求合理的运算方案,探究简化运算的基本 途径与方法,并在克服困难的过程中,增强解决复杂问题的信心,提高运算能力. 3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线方程,其中待定系数 法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数形结合来体现,应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 标准方程 标准方程

圆 锥 曲 线

双曲线

第1课
【考点导读】

椭圆 A

1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性 质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的 实际问题.
第 1 页 【精讲精练】共 20 页

【基础练习】 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 BC 边上,则△ABC 的周长是 4 3 2.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3

3 2

3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ?1 16 4
4. 已知椭圆

1 5 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 k ? 4或k ? ? 2 4 k ?8 9 3 5 , ) ,且 9x2 ? 4 y 2 ? 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2

【范例导析】 例 1.(1)求经过点 ( ?

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上,求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;②定量,即根 据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解: (1)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1。 10 6
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

(2)方法一:①若焦点在 x 轴上,设方程为

9 x2 2 2 ? y 2 ? 1. ∵点 P(3,0)在该椭圆上∴ 2 ? 1 即 a ? 9 又 a ? 3b ,∴ b ? 1 ∴椭圆的方程为 a 9
②若焦点在 y 轴上,设方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

∵点 P(3,0)在该椭圆上∴

9 y 2 x2 2 2 a ? 3 b ? 1 a ? 81 ? ?1 b ? 9 即 又 ,∴ ∴椭圆的方程为 b2 81 9
第 2 页 【精讲精练】共 20 页

方法二:设椭圆方程为 Ax2 ? By2 ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B ? .∵点 P(3,0)在该椭圆上∴9A=1,即 A ? 又 a ? 3b ∴ B ? 1或

1 , 9

1 x2 y 2 x2 2 ? y 2 ? 1或 ? ? 1 . , a ? 81 ∴椭圆的方程为 81 9 81 9

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在 x 轴上,设方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,若 a 2 b2

焦点在 y 轴上,设方程为

y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时为了运算方便,也可设为 Ax2 ? By 2 ? 1 ,其中 2 a b

A ? 0, B ? 0, A ? B .
例 2.点 A、B 分别是椭圆 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的 最小值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要注意椭圆上点 坐标的范围. 解: (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 36 20

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
由于 y >0,只能 x =

则 2 x +9 x -18=0,

2

x = 或 x =-6.

3 2

3 3 5 3 5 3 ,于是 y = . ∴点 P 的坐标是( , ) 2 2 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于-6≤ m ≤6, ∴当 x =

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15 , 9 9 2

9 时,d 取得最小值 15 2

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题,通常转化为二次函数值域问题.
第 3 页 【精讲精练】共 20 页

【反馈练习】 1.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(0,1) 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是 2 ? 1

3.椭圆 倍

x2 y2 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 7 ? 12 3
x2 y 2 10 25 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 3或 5 m 3 5 x2 y2 3 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3x 的距离为 4 3 2

4.若椭圆

5..椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 ? ?1 或 6. 与 椭 圆 4 3 8 6 3y2 4x2 ? ?1 25 25
7.椭圆

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 10 16 4

8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所 3 3

分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出 a 和 b (或 a 和 b )的值.从而求得椭圆方程. 解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF 1 ?

2

2

4 5 2 5 , PF2 ? . 3 3

从椭圆定义知 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 从 PF 2F 1 中, sin ?PF 1 F2 ? 1 ? PF 2 知 PF 2 垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt?PF

PF2

1 ? , PF1 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF 1 ? cos

?
6

?

10 2 5 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

第 4 页 【精讲精练】共 20 页

第2课

椭圆 B

【考点导读】 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】

x2 y2 x2 y2 ? ? 1? m ? 6 ? 与曲线 ? ? 1? 5 ? n ? 9 ? 的(D) 1.曲线 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
A 焦点相同
2 2

B 离心率相等

C 准线相同

D 焦距相等

2.如果椭圆

20 x y ? ? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别是 10, 3 25 16

3

离心率 e ?

x2 9 y2 5 ? ?1 ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是 5 20 3

【范例导析】 例 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的二个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,且 F1M ? F2 M ? 0 。 a2 b2

求离心率 e 的取值范围. 分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标,再借助椭圆椭 圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的范围. 解:设点 M 的坐标为(x,y),则 F1 M ? ( x ? c, y) , F2 M ? ( x ? c, y) 。由 F1 M ? F2 M ? 0 ,得 x -c +y =0, 2 2 2 即 x -c =-y 。 ①
2 2 2

b2 2 b2 2 a 2b 2 2 2 2 2 2 ? x ? b x ? a ? x ,代入①,得 x -c ,即 。 a2 c2 a2 1 a 2b 2 a2 ? c2 2 2 2 2 2 ∵0≤ x ≤ a ,∴0≤ a ? 2 ≤ a ,即 0≤ ≤1,0≤ 2 ? 1 ≤1,解得 ≤ e ≤1。 2 e 2 c c 2 又∵0< e <1,∵ ≤ e ≤1. 2
又由点 M 在椭圆上,得 y =b ?
2 2

例 2.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析:第一问直接可有第一定义得出基本量 a,从而写出方程;第二问涉及到焦半径问题,可以考虑利用 第二定义的得出焦半径表达式,结合等差数列的定义解决. y 例2 2 2 解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a ? c =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

A B C F1 o F2 B'
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x

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= |F2A|=
4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根据椭圆定义,有 5 4 5

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

x1 ? x 2 =4. 2

【反馈练习】 1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为

2 2
2.已知 F1、F2 为椭圆

? 4 x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,过 F1 作倾斜角为 的弦 AB,则△F2AB 的面积为 4 3 2

3.已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 2 ? 1

4.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是 100 36
2

12

x2 y ? 9? 5.椭圆 ? ? 1 上不同三点 A?x1,y1 ? , B? 4, ? , C ?x2,y2 ? 与焦点 F ?4, 0? 的距离成等差数列. 25 9 ? 5?
求证: x1 ? x2 ? 8 ; 证明:由椭圆方程知 a ? 5 , b ? 3 , c ? 4 . 由圆锥曲线的统一定义知:

AF a ? x1 c
2

?

c ,∴ a

AF ? a ? ex1 ? 5 ?

4 x1 . 5

同理 ∵

CF ? 5 ?

4 x2 . 5 9 , 5

AF ? CF ? 2 BF ,且 BF ?



4 ? ? 4 ? 18 ? ? 5 ? x1 ? ? ? 5 ? x2 ? ? ,即 5 ? ? 5 ? 5 ?

x1 ? x2 ? 8 .

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第3课
【考点导读】

双曲线

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 1.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ?

1 4

2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ? 3或k ? ?3 k ?3 k ?3

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,则此双曲线的离心率为 5 2

P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,则双曲线的标准 4. 已知焦点 F 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点
方程为

x2 y 2 ? ?1 9 16
9 4

【范例导析】 例 1. (1) 已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线 的标准方程; (2)求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, ? 3 点的双曲线方程及离心率. 16 9

?

?

分析:由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上;②定量,即 根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.

y 2 x2 解: (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a b ∵点 P 1, P 2 在双曲线上,∴点 P 1, P 2 的坐标适合方程①。

? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? 2 ? 1 1 ? a 16 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , a b ?1 ?1 ? ? b2 9 ? a 2 ? 16 y 2 x2 ? ? ?1。 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 16 9 ? ?b ? 9
点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在求解的过程中也可以 用换元思想,可能会看的更清楚。
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2 2

(2)解法一:双曲线

3 x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x 4 16 9

当焦点在 x 轴时,设所求双曲线方程为 ∵

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? a2 b2


a 3 3 ? ,∴ b ? a b 4 4

∵ A 2 3, ? 3 在双曲线上 ∴

?

?

12 9 ? ?1 a 2 b2



由①-②,得方程组无解 当焦点在 y 轴时,设双曲线方程为 ∵

y2 x2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? a 2 b2


b 3 4 ? ,∴ b ? a 3 a 4

∵ A 2 3, ? 3 在双曲线上,∴ 由③④得 a ?
2

?

?

9 12 ? ?1 a 2 b2



9 2 ,b ? 4 4

∴所求双曲线方程为:

y2 x2 5 ? ? 1 且离心率 e ? 9 3 4 4

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为: ? ? ? ?? ? 0? 解法二:设与双曲线 16 9 16 9
∵点 A 2 3, ? 3 在双曲线上,∴ ? ?

?

?

12 9 1 ? ?? 16 9 4

∴所求双曲线方程为:

y2 x2 x2 y2 1 ?1. ? ? ? ,即 ? 9 4 16 9 4 4

点评:一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方程

x2 y2 ? ? ? ?? ? 0? 求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数 ? . a2 b2
例 2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨 响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨 响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解:如图: 以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北 观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020)
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设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

x2 y2 ? 2 ? 1 上, 2 a b
y P A C o B x

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x y 故双曲线方程为 2 ? ?1 680 5 ? 3402
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,
2 2

? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处. 例2

x2 y2 例 3.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且点(1,0)到直线 a b
l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ?
解:直线 l 的方程为

4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

x y ? ? 1 ,即 a b

bx ? ay ? ab ? 0.

由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

b(a ? 1) a2 ? b2



同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?
由s ?

2ab a ?b
2 2

?

2ab . c


4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5

5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

解不等式,得

5 5 ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是 ? e ? 5. 4 2

点拨:本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.

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【反馈练习】 1.双曲线

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x 2 4

2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 4 12

3. 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 F1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) , P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 , 且 PF 1 ? PF 2 ,

x2 ? y2 ? 1 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是 4 x 2 y2 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 F2 分别是双曲线左 4. 设 P 是双曲线 2 - = a 9
右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =7

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 5.与椭圆 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程 ? ?1 25 5 20 ? 2 10 2 10
6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P?1 , ? 3? 且离心率为 2 的双曲线标准方程. (2)求以曲线 2x 2 ? y 2 ? 4x ?10 ? 0 和 y 2 ? 2x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为 12 的双 曲线的标准方程. 解: (1)设所求双曲线方程为:

x2 y 2 1 ?? 3? ? ? 1?k ? 0? ,则 ? ?1, k k k k
2



1 9 y2 x2 ? ? 1 ,∴ k ? ?8 ,∴所求双曲线方程为 ? ?1 k k 8 8
2 2 ? ?x ? 3 ?x ? 3 2 ?2 x ? y ? 4 x ? 10 ? 0 y ? ? x ,∴ 或 ,∴渐近线方程为 ? ? 2 3 y ? ? 2 y ? 2 ? y ? 2 x ? 2 ? ? ?

(2)∵ ?

当焦点在 x 轴上时,由

b 2 ? 且 a ? 6 ,得 b ? 4 . a 3

∴所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 36 16
a 2 ? ,且 a ? 6 ,得 b ? 9 . b 3

当焦点在 y 轴上时,由

y2 x2 ? ?1 ∴所求双曲线方程为 36 81

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7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点到直线 l 的距离 a2 b2



3 c ,求双曲线的离心率. 4
c 的值. a

分析:由两点式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a 、 b 、 c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而解 出

解:由 l 过两点 (a , 0) , (0 , b) ,得 l 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 .

由点到 l 的距离为

3 ab 3 c ,得 ? c. 4 4 a 2 ? b2
a2 2 a2 ) ? 16 ? ?3? 0. c2 c2

将 b ? c2 ? a2 代入,平方后整理,得 16(

3 1 a2 2 令 2 ? x ,则 16x ? 16x ? 3 ? 0 .解得 x ? 或 x ? . 4 4 c
而e ?

c 1 2 3 ,有 e ? .故 e ? 或e ? 2. a 3 x

因 0 ? a ? b ,故 e ?

c a 2 ? b2 b2 ? ? 1? 2 ? 2 , a a a

所以应舍去 e ?

2 3 .故所求离心率 e ? 2 . 3 2 3 .其原因是未注意到题设条件 (0 ? a ? b) ,从而离心率 3

说明:此题易得出错误答案: e ? 2 或 e ?

e ? 2 .而

2 3 ? 2 ,故应舍去. 3

8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 . (1)求双曲线方程; (2)若点 M ? 3, m? 在双曲线上,求证: MF 1 ? MF 2 ? 0; (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1MF2 的面积.
2 2 解: (1)由题意,可设双曲线方程为 x ? y ? ? ,又双曲线过点 4, ? 10 ,解得 ? ? 6

?

?

?

?

∴ 双曲线方程为 x ? y ? 6 ;
2 2

第 11 页 【精讲精练】共 20 页

(2)由(1)可知, a ? b ? 6 , c ? 2 3 ,

∴ F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0

?

?

?

?

2 ∴ MF1 ? ?2 3 ? 3, ?m , MF2 ? 2 3 ? 3, ?m , ∴ MF 1?MF 2 ? m ?3,

?

?

?

?

又点 M ? 3, m? 在双曲线上, ∴ 9 ? m ? 6 ,
2

∴ m ? 3 , 即 MF 1 ? MF 2 ? 0;
2

(3) S F1MF2 ?

1 1 F1 F2 m ? ? 4 3 ? 3 ? 6 ∴ ?F1MF2 的面积为 6. 2 2

第4课
【考点导读】

抛物线

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】 1.焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是 y2 =16x或x2 ? ?8 y 2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4 6 2

3.抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是__(a,0)_
2 4.抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 6, 6 2

?

?

5. 点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点, 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值 2

【范例导析】 例 1. 给定抛物线 y2=2x,设 A(a,0) ,a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求 d 的最小值. 2 解:设 P(x0,y0) (x0≥0) ,则 y0 =2x0,
2 ∴d=|PA|= ( x0 ? a) 2 ? y 0

= ( x0 ? a) 2 ? 2 x0 = [ x0 ? (1 ? a)] 2 ? 2a ? 1 . ∵a>0,x0≥0, ∴(1)当 0<a<1 时,1-a>0, 此时有 x0=0 时,dmin= (1 ? a) 2 ? 2a ? 1 =a. (2)当 a≥1 时,1-a≤0, 此时有 x0=a-1 时,dmin= 2a ? 1 .

第 12 页 【精讲精练】共 20 页

例 2.如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M,l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的 距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形, AM ? 坐标系,求曲线段 C 的方程. 分析:因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当 坐标系,确定 C 所满足的抛物线方程. 解:以 l1 为 x 轴,MN 的中点为坐标原点 O,建立直角坐标系. 例2 由题意,曲线段 C 是 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别 为曲线段的两端点. ∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0)(xA ? x ? xB , y ? 0), 其 中 x A 、 xB 为 A、B 的横坐标

7 , AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立适当的

令 MN ? p, 则 M ( ?

p p ,0), N ( ,0) ,? AM ? 17, AN ? 3 2 2

? (x ? ? ? A ∴由两点间的距离公式,得方程组: ? ?( x ? A ? ?
∵△AMN 为锐角三角形,∴

p 2 ) ? 2 pxA ? 17 2 p 2 ) ? 2 pxA ? 9 2

解得 ?

?p ? 4 ?p ? 2 或? ? xA ? 1 ?xA ? 2

p ? x A ,则 p ? 4 , xA ? 1 2 p ? 6?2 ? 4 2

又 B 在曲线段 C 上,? xB ? BN ?

则曲线段 C 的方程为 y ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0).
2

【反馈练习】 1.抛物线 x ?
2

y2 的准线方程是 x ? ?2 8
|a| 2

2.抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点到其准线的距离是

第 13 页 【精讲精练】共 20 页

3.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐标 为 2, 2 ? 2

?

?
4 3

4.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是

5.若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a=

1 4

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.

解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p× (-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

第6题 由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. (1)求抛物线的方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切. 分析:可设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) .用待定系数法求得方程,对于第二问的证明只须证明
2

AB 2

? MM1 ,则以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切.

第 14 页 【精讲精练】共 20 页

解: (1)设抛物线的方程 y2 ? 2 px ? p ? 0? ,将(2,2)代入得 p ? 1 ∴所求抛物线方程为 y 2 ? 2 x (2)证明:作 AA 1 ?l 于 A 1 , BB 1 ? l 于 B1 .M 为 AB 中点,作 MM 1 ? l 于 M 1 ,则由抛物线的定义可知:

AA 1 ? AF , BB 1 ? BF
在直角梯形 BB1 A1 A 中:

1 1 1 ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) ? AB 2 2 2 1 ? MM 1 ? AB ,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 2 MM 1 ?
点拨:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦 为直径的圆与相应的准线相交.

第5课
【考点导读】 1. 了解圆锥曲线的第二定义. 2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题. 【基础练习】

圆锥曲线的统一定义

1.抛物线 y 2 ? 6 x 的焦点的坐标是 ( , 0) , 准线方程是 x ? ?

3 2

3 2

2..如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 的距离是 2

2 x ,那么它的两条准线间

3.若双曲线

1 1 x2 ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m = 3 8 m
2

4.点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线: x ? 5 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 y ? 16 x 【范例导析】 例 1.已知双曲线的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,两条准线间的距离为

16 13 ,求双曲线标准方程. 13

分析: (可根据双曲线方程与渐近线方程的关系,设出双曲线方程,进而求出双曲线标准方程. 解:∵双曲线渐近线方程为 y ? ?

2 x2 y2 x ,∴设双曲线方程为 ? ? 1?? ? 0? 3 4? 9?

2 2 ①若 ? ? 0 ,则 a ? 4? , b ? 9?

第 15 页 【精讲精练】共 20 页

∴准线方程为: x ? ?

a2 4 13 8 13? 16 13 ,∴ ? ? 4 ?? ? ,∴ ? c 13 13 13

2 2 ②若 ? ? 0 ,则 a ? ?9? , b ? ?4?

∴准线方程为: y ? ?

64 a2 9 ? 13? 18 ? 13? 16 13 ,∴ ,∴ ? ? ? ?? ? 81 c 13 13 13

∴所求双曲线方程为:

x2 y2 9 y 2 81x 2 ? ?1或 ? ?1 16 36 64 256

点拨:求圆锥曲线方程时,一般先由条件设出所求方程,然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出 结果. 例 2.已知点 A?3, 0? , F ?2, 0? ,在双曲线 x ?
2

1 y2 ? 1 上求一点 P ,使 PA ? PF 的值最小. 2 3

解:∵ a ? 1 , b ? 3 ,∴ c ? 2 ,∴ e ? 2 设点 P 到与焦点 F ?2, 0? 相应准线的距离为 d 则 ∴

PF d

?2

1 1 PF ? d ,∴ PA ? PF ? PA ? d 2 2 至此,将问题转化成在双曲线上求一点 P , 使 P 到定点 A 的距离与到准线距离和最小. 即到定点 A 的距离与准线距离和最小为直线 PA 垂直于准线时,
解之得,点 P?

? 21 ? 2? ? 3 , ?. ? ?

点拨:灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中,将会带给我们意想不到的方便和简单.教学中应着重 培养学生灵活运用知识的能力. 【反馈练习】 1.若双曲线

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m ? 3 8 m

2.在给定椭圆中, 过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 , 焦点到相应准线的距离为 1, 则该椭圆的离心率为

2 2

3.已知双曲线

x2 3 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为 2 2 2 a
8

4

王新敞
奎屯

新疆

双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为 16 9

第 16 页 【精讲精练】共 20 页

第6课
【考点导读】

圆锥曲线综合

1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运 用解析几何的常用方法解决问题. 2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想. 3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线 知识解决实际问题. 【基础练习】 1. 给出下列四个结论: ①当 a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 且焦点在 y 轴上的抛物线的标 准方程是 x ?
2

4 y; 3

x2 y2 ? ? 1; ②已知双曲线的右焦点为(5,0) ,一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则双曲线的标准方程是 5 20
③抛物线 y ? ax (a ? 0)的准线方程为 y ? ?
2

1 ; 4a

④已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,其离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是(-12,0) 。 4 m

其中所有正确结论的个数是 4 2.设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率 25 9

为?

1 2

3.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 x ? 2 y ? 8 ? 0 36 9
2

【范例导析】 例 1. 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F,A、B 是热线上的两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0). 过 A、B 两点分别 作抛物线的切线,设其交点为 M。 (I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。

第 17 页 【精讲精练】共 20 页

解: (1)F 点的坐标为(0,1)设 A 点的坐标为 ? x1 ,

? ?

x12 ? ? 4 ?

B 点的坐标为 ? x2 ,

? ?

2 ? x2 ? 4 ?

2 ? ? x2 ? x12 ? 由 AF ? ? FB(? ? 0). 可得 ? ? x1 ,1 ? ? ? ? ? x2 , ? 1? 4? 4 ? ? ?

?? x1 ? ? x2 ? 2 2 ? 因此 1 ? x1 ? ? ( x2 ? 1) ? ? 4 4
x12 x1 ? ( x ? x1 ) 4 2
2 x2 x ? 2 ( x ? x2 ) 4 2

过 A 点的切线方程为 y ?

(1)

过 B 点的切线方程为 y ?

(2)

解(1)( 2)构成的方程组可得点 M 的坐标,从而得到 FM AB =0 即为定值 (2) FM AB =0 可得 FM ? AB 三角形面积 S ? f (? ) ?

FM AB 2

FM ? ? ?

1

?

, AB ? ( ? ?

1

?

)2

所以 S ? f (? ) ?

FM AB 2

1 1 3 1 3 ? ( ?? ) ? ?2 ? 4 2 2 ?

当且仅当 ? ? 1 时取等号 点拨:本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 【反馈练习】 1.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y ? 4 x 的准线重合,则该双曲线与
2 2 抛物线 y ? 4 x 的交点到原点的距离是 21

2. 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线 x ?
2

y2 ? 1 的 左 、 右 焦 点 . 若 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 PF1 PF2 ? 0 , 则 9

PF1 ? PF2 ? 2 10
3.设 P 是椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ?F1 PF2 的最小值是 ? 9 9 4
第 18 页 【精讲精练】共 20 页

4.已知以 F( , F( 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为 2 7 1 2,0) 2 2,0)

x2 y 2 2 6 ? ? 1 的焦点相同, 5. 双曲线 C 与椭圆 离心率互为倒数, 则双曲线 C 的渐近线的方程是 y ? ? x 49 24 5
6.已知椭圆 __2 _ 7.如图,点 A 是椭圆 C:

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 在第一象限内的交点为 P , 则点 P 到椭圆右焦点的距离等于 25 9 9 7

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴位于 x 轴下方的端点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭 a2 b2

圆于 B 点,点 P 在 y 轴上,且 BP∥x 轴, AB ? AP =9,若点 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程.
y

P O A

B x

8. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点

O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 .求圆 C 的方程. a2 9

解:设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相切,那么圆 心到该直线的距离等于圆的半径,则

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4



又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得

?m ? ?2 ? ?n ? 2
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

第 19 页 【精讲精练】共 20 页

p ?p ? 9.已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 ,求动圆圆心 C 的轨迹的方程. 2 ?2 ?
解:如图,设 M 为动圆圆心, ?

p ?p ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线,垂足为 N ,由题意知: 2 ?2 ? p 的距离相等 2 p ?p ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线 2 ?2 ?

MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?

由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? 所以轨迹方程为 y 2 ? 2 px( P ? 0) ;

B
y

A

N

M

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2
第9题

第 20 页 【精讲精练】共 20 页


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