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1.1两角和与差的余弦公式与正弦公式(1)


第1 章

三角计算及其应用

1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式

创 设 情 境 兴 趣 导 入

我们知道,

1 3 cos 60? ? , cos 30? ? , 2 2
显然

cos ? 60? ? 30?? ? cos60?- c

os30?.
cos ?? ? ? ? ? cos? - cos ?.

在单位圆中,设向量 OA、 OB 与x轴正半轴的夹角分别为

动 脑 思 考 探 索 新 知

? 和 ? ,则点A(cos ? ,sin ? ),点B(cos ? ,sin ? ).

因此向量OA ? (cos? ,sin ? ),向量 OB ? (cos ? ,sin ? ),
且 OA ? 1, OB ? 1, 于是 OA ? OB ? OA ? OB ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 又 OA ? OB ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? 所以
cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

动 脑 思 考 探 索 新 知

在单位圆中,设向量 OA、 OB 与x轴正半轴的夹角分别为
? 和 ? ,则点A(cos ? ,sin ? ),点B(cos ? ,sin ? ).

因此向量OA ? (cos? ,sin ? ),向量 OB ? (cos ? ,sin ? ),
且 OA ? 1, OB ? 1,

于是 OA ? OB ? OA ? OB ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )
又 OA ? OB ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

所以
cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

动 脑 思 考 探 索 新 知

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

(1)

cos(? ? ? ) ? cos ?? ? (?? )?

? cos ? ? cos(?? ) ? sin ? ? sin(?? )
? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

(2)

利用诱导公式可以证明,(1)、(2)
两式对任意角都成立(证明略).由此 得到两角和与差的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

例1 求 cos 75? 的值.

巩 固 知 识 典 型 例 题

解 cos 75? ? cos(45? ? 30?)

? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2

?

6? 2 . 4

分析 可利用公式将 75°角看作45°角 与30°角之和.

巩 固 知 识 典 型 例 题

3 4 cos ? ? , cos ? ? , 例2 设 并且? 和? 都是锐角,求cos(? ? ? ) 5 5
的值. 解

3 4 因为 cos ? ? , cos ? ? , 5 5 并且? 和? 都是锐角,
2 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?

4 5 3 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 5 因此 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
3 4 4 3 ? ? ? ? ?0 5 5 5 5

分析 可以利用公式, 但是需要首先求出 sin ? 与 sin ? 的值.

巩 固 知 识 典 型 例 题

π π 例3 分别用 sin ? 或 cos? ,表示 cos( ? ? ) 与 sin( ? ? ) . 2 2 π cos( ? ? ) ? cos π ? cos ? ? sin π ? sin ? 解 2 2 2
? 0 ? cos ? ? 1 ? sin ?

π cos( ? ? ) ? sin ? . 2 π π 令 ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ,代入上式得 2 2 π cos ? ? sin( ? ? ), 2 π 即 sin( ? ? ) ? cos ?. 2

? sin ? ,



运 用 知 识 强 化 练 习

1.求cos105? 的值.
2? 6 . 4

2.求 cos15? 的值.
2? 6 . 4

理 论 升 华 整 体 建 构

两角和与差的余弦公式内容是什么?

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?; cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?.

自 我 反 思 目 标 检 测

学习效果
学习行为 学习方法

自 我 反 思 目 标 检 测

1 1 sin ? ? , sin ? ? , 已知 且?,? 均为锐角,求 2 3
cos(? ? ? ) 的值.

2 6 ?1 . 6

继 续 探 索 活 动 探 究

读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题1.1(必做) 学习与训练1.1(选做)

实践调查:用两角和与差的余弦
公式印证一组诱导公式


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