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高二数学选修1-2推理与证明测试题及答案 (1)


推理与证明
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.测试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? ,直 线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的

结论显然是错误的,这是因为(
?



A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2.下面使用类比推理,得到正确结论的是( ) A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”

a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? anbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“
C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 3.在十进制中 2004 ? 4 ?10 ? 0 ?10 ? 0 ?10 ? 2 ?10 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为
0 1 2 3

( ) A.29

B. 254

C. 602

D. 2004 )

? ? ? 4. 设 f 0 ( x) ? sin x , f1 ( x ) ? f 0 ( x ) , f 2 ( x) ? f1 ( x ) , ?, f n ?1 ( x) ? f n ( x ) ,n ? N , 则 f 2010 ( x) = (

A. cos x B.- cos x C. sin x D- sin x 5.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是 错误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 6.下面几种推理是类比推理的是( ) A .两条直线平行,同旁内角互补,如果∠ A 和∠ B 是两条平行直线的同旁内角,则∠ A +∠ B =1800 B .由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 C .某校高二级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此可以推测各 班都超过 50 位团员.

D .一切偶数都能被 2 整除, 2 100 是偶数,所以 2 100 能被 2 整除.
7.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案,则第五个图案中有白色地面砖( 块. A.21 B.22 C.20 D.23 )

8.用反证法证明命题 “若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 那么 a, b, c 中至少有一 个是偶数”时,下列假设中正确的是( (A)假设 a, b, c 不都是偶数 )

(B)假设 a, b, c 都不是偶数

(C)假设 a, b, c 至多有一个是偶数 (D)假设 a, b, c 至多有两个是偶数

9.如果 f (a ? b) ? f (a) f (b)且f (1) ? 2, 则 A.
12 5

f (2) f (4) f (6) ? ? ?( f (1) f (3) f (5)

).

B.

37 5

C.6

D.8
)

? x ( x ? y) 3 1 10、定义运算 : x ? y ? ? 例如3 ? 4 ? 4, 则(? ) ? (cos2 ? ? sin ? ? )的最大值为 ( 2 4 ? y ( x ? y),

A .4

B .3

C .2

D .1
1 a b ;③ ? ? 2 ;④ 4 b a

2 2 2 11. 下 面 的 四 个 不 等 式 : ① a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ; ② a ?1 ? a ? ?

?a

2

2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd? .其中不成立的有

??

?

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个 )

12.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x ) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为( f ( x) ? 2
B. f ( x ) ?

4 2 ?2
x

2 x ?1

C. f ( x ) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ?1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.已知一列数 1,-5,9,-13,17,??,根据其规律,下一个数应为 14.下列表述正确的是 .



①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的 推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

15.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

2an ? n ? N * ? , 猜想这个数列的通项公式是 an ? 2



16.平面内 2 条相交直线最多有 1 个交点;3 条相交直线最多有 3 个交点;试猜想:n 条相交直线最多把 有____________个交点

2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3+4+5+6+7=5 中,可得到一般规律为 17.从 1 ? 1 ,
2 2 2

(用数学表达式

表示)。

18.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 7 8 5 3 6 9 10

. . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 19. (1)求证:当 a、b、c 为正数时, (a ? b ? c)(

1 1 1 ? ? ) ? 9. a b c

(2)已知 n ? 0, 试用分析法证明 : n ? 2 ? n ?1 ?

n ?1 ? n

2 (3)已知 x ? R , a ? x ? 1 , b ? 2 x ? 2 。求证 a , b 中至少有一个不少于 0。

20.在 ?ABC 中,三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成 等比数列,求证: ?ABC 为等边三角形。

21.已知: 0 ? b ? a ? e, 其中e 是自然对数的底数。 (1)试猜想 a 与b 的大小关系; (2)证明你的结论
b a

推理与证明测试题参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 6 B 7 B 8 B 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)

13.-21

14) ①③⑤

15)

2 n?1

16)

n( n ? 1) 2

17. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ...... ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 三、解答题(本大题共 3 小题,共 60 分) 19(本大题 30 分) (1)证明:左边= 3 ? ?

18.

n2 ? n ? 6 2

?a b? ?c b? ?a c ? ? ??? ? ??? ? ? ?b a? ?b c? ? c a?

…………5 分

因为:a、b、c 为正数 所以:左边 ? 3 ? 2

a b c b a c ? ?2 ? ?2 ? b a b c c a
…………8 分 …………10 分

? 3? 2? 2? 2 ? 9

? 1 1 1? ? ?a ? b ? c ?? ? ? ? ? 9 ?a b c?
(2)证明:要证上式成立,需证 n ? 2 ? n ? 2 n ? 1 需证 ( n ? 2 ? n ) 2 ? (2 n ? 1) 2 需证 n ? 1 ?
2

…………2 分

n 2 ? 2n
2

…………6 分

需证 (n ? 1) ? n ? 2n 需证 n ? 2n ? 1 ? n ? 2n ,
2 2

只需证 1>0 因为 1>0 显然成立,所以原命题成立

…………8 分 …………10 分

(3)证明:假设 a , b 中没有一个不少于 0,即 a ? 0 , b ? 0 则: a ? b ? 0 …………3 分

又 a ? b ? x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 这与假设所得结论矛盾,故假设不成立 所以 a , b 中至少有一个不少于 0 20(15 分) 证明:? A、B、C 成等差数列 ? A+C=2B 由 A+B+C=1800 得:B=600

…………8 分

…………10 分

…………4 分

1 2 2 2 a ? c ? b2 1 ? 即: 2ac 2 2 2 2 b ? a ? b ? ac ① 又? a、b、c 成等比数列 ? b2 ? ac ② 2 2 由①②得: ac ? a ? b ? ac 2 即: (a ? c ) ? 0 ?a ? c ? ?ABC 是等腰三角形 又? B=600 ? ?ABC 是等边三角形 ?C O S B ?
21. (15 分) 解: (1)取 a ? 2, b ? 1可知: a ? b ,
b a

…………8 分 …………10 分

………13 分 …………15 分

又当 a ? 1, b ?
b

1 b a 时, a ? b 2
a

由此猜测 a ? b 对一切 0 ? b ? a ? e 成立 (2)证明: 要证 a ? b 对一切 0 ? b ? a ? e 成立
b a

????5 分

需证 ln a ? ln b
b

a

需证 b ln a ? a ln b

ln a ln b ? a b ln x x ? (0, e) 设函数 f ( x ) ? x 1 ? ln x f ?( x) ? ,当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 恒成立 x2
需证

????10 分

? f ( x) ?

ln x 在 (0, e) 上单调递增 x ln a ln b ? f (a) ? f (b)即 ? a b

????13 分

? ab ? ba

????15 分


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