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高中数学 第4课时 子集、全集、补集教案 苏教版必修1


第四课时

子集、全集、补集(二)

教学目标: 使学生了解全集的意义,理解补集的概念;通过概念教学,提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题 能力;渗透相对的观点. 教学重点: 补集的概念. 教学难点: 补集的有关运算. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分 别是多少? 2.两个集合相等应满足的条件是什么? Ⅱ.

讲授新课 [师]事物都是相对的,集合中的部分元素与集合之间关系就是 部分与整体的关系. 请同学们由下面的例子回答问题: 幻灯片(A) : 看下面例子 A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学} 那么 S、A、B 三集合关系如何?

[生]集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 之后余下来的集合. 即为如图阴影部分 由此借助上图总结规律如下: 幻灯片(B): 1.补集 一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S),由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫 做 S 中集合 A 的补集(或余集). 记作 CSA,即 CSA={ x|x∈3 且 x ? a} 上图中阴影 部分即表示 A 在 S 中补集 CSA 2.全集 如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,记作 U. [师]解决某些数学问题时,就可以把实数集看作全集 U,那么有理数集 Q 的补集 CUQ 就是全体无理数 的集合. 举例如下:请同学们思考其结果. 幻灯片(C) : 举例,请填充 (1)若 S={2,3,4},A={4,3},则 CSA=____________. (2)若 S={三角形},B={锐角三角形},则 CSB=___________. (3)若 S={1,2,4,8},A= ? ,则 CSA=_______. 2 (4)若 U={1,3,a +2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a=_______
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(5)已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求 B=_______ 2 (6)设全集 U={2,3,m +2m-3},a={|m+1|,2},CUA={5},求 m. 2 (7)设全集 U={1,2,3,4},A={x|x -5x+m=0,x∈U},求 CUA、m. 师生共同完成上述题目,解题的依据是定义 例(1)解:CSA={2} 评述:主要是比较 A 及 S 的区别. 例(2)解:CSB={直角三角形或钝角三角形} 评述:注意三角形分类. 例(3)解:CSA=3 评述:空集的定义运用. 例(4)解:a +2a+1=5,a=-1± 5 评述:利用集合元素的特征. 例(5)解:利用文恩图由 A 及 CUA 先求 U={-1,0,1,2,4},再求 B={1,4}. 2 例(6)解:由题 m +2m-3=5 且|m+1|=3 解之 m=-4 或 m=2 2 例(7)解:将 x=1、2、3、4 代入 x -5x+m=0 中,m=4 或 m=6 2 当 m=4 时,x -5x+4=0,即 A={1,4} 2 又当 m=6 时,x -5x+6=0,即 A={2,3} 故满足题条件:CUA={1,4},m=4;CUB={2,3},m=6. 评述:此题解决过程中渗透分类讨论思想. Ⅲ.课堂练习 课本 P10 练习 1,2,3,4 Ⅳ.课时小结 1.能熟练求解一个给定集合的补集. 2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P10 习题 1.2 3,4 3.解:因有一组对边平行的四边形是梯形.故 S 集合是由梯形、平行四边形构成,而 A={x|x 是平行 四边形},那么 CSA={x|x 是梯形}. 补充: 1.判断下列说法是否正确,并在题后括号内填“?”或“?” : (1)若 S={1,2,3},A={2,1},则 CSA={2,3} ( ) (2)若 S={三角形},A={直角三角形},则 CSA={锐角或钝角三角形} ( ) (3)若 U={四边形},A={梯形},则 CUA={平行四边形} ( ) ? (4)若 U={1,2,3},A= ,则 CUA=A ( ) (5)若 U={1,2,3},A=5,则 CUA= ? ( ) (6)若 U={1,2,3},A={2,3},则 CUA={1} ( ) (7)若 U 是全集且 A ? B,则 CUA ? CUB ( ) 解:紧扣定义,利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确,其余错误. 在(1)中,因 S={1,2,3},A={2,1},则 CSA={3}. (2)若 S={三角形},则由 A={直角三角形}得 CSA={锐角或钝角 三角形}. (3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部 .如 边形. (4)因 U={1,2,3},A= ? ,故 CUA=U. (5)U={1,2,3},A=5,则 CUA= ? . (6)U={1,2,3},A={2,3},则 CUA={1}.
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既不是梯形,也不是平行四

( 7)若 U 是全集且 A=B,则 CUA ? CUB. 评述:上述题目涉及补集较多,而补集问题解决前提必须考虑全集,故一是先看全集 U,二是由 A 找其 补集,应有 A∪(CUA)=U. 2.填空题 (1)A={x∈R|x≥3},U=R,CUA=_____________________. (2)A={x∈R|x>3},U=R,CUA=_____________________. (3)已知 U 中有 6 个元素,CUA= ? ,那么 A 中有_______个元素. (4)U=R,A={x|a≤x≤b},CUA={x|x>9 或 x<3=,则 a=_______,b=_________ 解:由全集 、补集意义解答如下: (1)由 U=R 及 A={x|x≥3},知 CUA={x|x<3=(可利用数形结合).对于(2),由 U=R 及 A={x|x> 3},知 CUA={x|x≤3},注意“=”成立与否.对于(3),全集中共有 6 个元素,A 的补集中没有元素,故集 合 A 中有 6 个元素.对于(4),全集为 R 因 A={x|a≤x≤B},其补集 CUA={x|x>9 或 x<3},则 A=3,B =9. 3.已知 U={x∈N|x≤10},A={小于 10 的正奇数},B={小于 11 的质数},求 CUA、CUB. 解:因 x∈N,x≤10 时,x =0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 A={小于 10 的正奇数}={1,3,5,7,9},B={小于 11 的质数}={2,3,5,7},那么 CUA={0,2, 4,6,8,10},CUB={0,1,4,6,8, 9,10}. 4.已知 A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},CUB={-1,0,2},用列举法写出 B. 解:因 A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3}, 故 U=A∪(CUA)={0,1,2,3,4,6,-3,-1} 而 CUB={-1,0,2},故 B={-3,1,3,4,6}. 2 5.已知全集 U={2,3,a -2a-3},A={2,|a-7|},CUA={5},求 a 的值. 2 2 解:由补集的定义及已知有:a -2a-3=5 且|a-7|=3,由 a -2a-3=5 有 a=4 或 a=-2,当 a=4 时,有|a-7|=3,当 a=-2 时|a-7|=9(舍) 所 以符合题条件的 a=4 评述:此题和第 4 题都用 CUA={x|x∈5,且 x ? A},有 U 中元素或者属于 A,或者属于 CUA.二者必居 其一,也说明集合 A 与其补集相对于全集来说具有互补性,这一点在解题过程中常会遇到,但要针对全集 而言. 6.定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},求 N-M 的表达式. 分析:本题目在给出新定义的基础上,应用定义解决问题.要准确把握定义的实质,才能尽快进入状态. 解:由题所给定义:N-M={x|x∈N,且 x ? M}={8} 评述:从所给定义看:类似补集但又区别于补集,A-B 与 CAB 中元素的特征相同,后者要求 B ? A.而前者 没有这约束,问题要求学生随时接受新信息,并能应用新信息解决问题. 2 7.已知集合 M={x +x-2=0},N={x|x<a},使 M CRN 的所有实数 a 的集合记为 A,又知集合 B={y|y 2 =-x -4x-6},试判断 A 与 B 的关系. 分析:先找 M 中元素,后求 B 中元素取值范围. 2 解:因 x +x-2=0 的解为-2、1,即 M={-2,1},N={x|x<a}, 故 CRN={x|x≥a},使 M CRN 的实数 a 的集合 A={a|a≤-2}, 2 2 又 y=-x -4x-6=-(x+2) -2≤-2 那么 B={y|y≤-2},故 A=B 2 8.已知 I=R,集合 A={x|x -3x+2≤0},集合 B 与 CRA 的所有元素组成全集 R,集合 B 与 CRA 的元素公共 部分组成集合{x|0<x<1 或 2<x<3},求集合 B. 2 解:因 a={x|x -3x+2≤0}={x|1≤x≤2},所以 CRA={x|x<1 或 x>2} B 与 CRA 的所有元素组成全集 R,则 A ? B.B 与 CRA 的公共元素构成{x|0<x<1 或 2<x<3}, 则{x|0< x<1 或 2<x<3} ? B 在数轴上表示
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集合 B 为 A 及{x|0<x<1 或 2 <x<3}的元素组成,即 B={x|0<x<3}. 评述:研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既 易于理解.又能提高解题速 度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、 并集, 就是 B∪CRA=R ? A ? B , B∩CRA={x| 0<x<1 或 2<x<3}. 9.设 U={(x,y)|x,y∈R},A={(x,y)|

y-3 =1},B={(x,y)|y=x+1 },求 CUA 与 B 的公共元素. x-2
去掉(2, 3)的全 直线 y=x+1 上 的问题来加以

解:a={(x,y)|y=x+1,x≠2},它表示直线 y=x+1 体,从而 CUA={(2,3)},而 B={(x,y)|y=x+1}表示 的全体点的集合.如图所示,CUA 与 B 的公共元素就是(2,3). 评述:关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形 研究可以得到直观形象,简捷明了的效果. (二)1.预习内容:课本 P10~P11 2.预习提纲: (1)交集与并集的含义是什么?能否说明? (2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.

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子集、全集、补集(二) 1.判断下列说法是否正确,并在题后括号内填“?”或“?” : (1)若 S={1,2,3},A={2,1},则 CSA={2,3} (2)若 S={三角形},A={直角三角形},则 CSA={锐角或钝角三角形} (3)若 U={四边形},A={梯形},则 CUA={平行四边形} (4)若 U={1,2,3},A= ? ,则 CUA=A (5)若 U={1,2,3},A=5,则 CUA= ? (6)若 U={1,2,3},A={2,3},则 CUA={1} (7)若 U 是全集且 A ? B,则 CUA ? CUB

( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) )

2.填空题: (1)A={x∈R|x≥3},U=R,CUA=_____________________. (2)A={x∈R|x>3},U=R,CUA=_____________________. (3)已知 U 中有 6 个元素,CUA= ? ,那么 A 中有_______个元素. (4)U=R,A={x|a≤x≤b},CUA={x|x>9 或 x<3},则 a=_______,b=_________ 3.已知 U={x∈N|x≤10},A={小于 10 的正奇数},B={小于 11 的质数},求 CUA、CUB.

4.已知 A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},CUB={-1,0,2},用列举法写出 B.

5.已知全集 U={2,3,a -2a-3},A={2,|a-7|},CUA={5},求 a 的值.

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6.定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},求 N-M 的表达式.

7.已知集合 M={x +x-2=0},N={x|x<a},使 M CRN 的所有实数 a 的集合记为 A,又知集合 B={y|y 2 =-x -4x-6},试判断 A 与 B 的关系.
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8.已知 I=R,集合 A={x|x -3x+2≤0},集合 B 与 CRA 的所有元素组成全集 R,集合 B 与 CRA 的元素公共 部分组成集合{x|0<x<1 或 2<x<3},求集合 B.

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9.设 U={(x,y)|x,y∈R},A={(x,y)| 素.

y-3 =1},B={(x,y)|y=x+1},求 CUA 与 B 的公共元 x-2

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