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【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章 §2.2.2对数函数及其性质(二)课件 新人教A版必修1


2.2.2
【学习要求】

对数函数及其性质(二)

1.进一步掌握对数函数的图象和性质,利用性质解决一些实 际问题; 2.了解指数函数与对数函数互为反函数,了解它们的图象关 于直线 y=x 对称. 【学法指导】 通过类比指数函数与对数函数的性质,了解指数函数与对数 函数互为反函数及图象间的对称关系,进一步培养数形结合 思想,养成善于观察、归纳的好习惯.

y=ax (a>0 1.对数函数 y=logax (a>0 且 a≠1)和指数函数 且a≠1) 互为反函数.
2.指数函数 y=3x 的图象与对数函数 y=log3x(x>0)的图象关 于直线 y=x 对称.

探究点一 问题 1

底数大小与函数图象的关系

观察下图所示函数 y=log2x,y=log0.5x,y=log10x,

y=log0.1x 图象,你能得出什么结论?



对于底数 a>1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数

越大越靠近 x 轴; 对于底数 0<a<1 的对数函数,在(1,+∞)

区间内,底数越小越靠近 x 轴.

问题 2

函数 y=logax,y=logbx,y=logcx 的图象如下图所

示,那么 a,b,c 的大小关系如何?



由图象可知 a>1, c 都大于 0 且小于 1, b, 由于 y=logbx

的图象在(1, +∞)上比 y=logcx 的图象靠近 x 轴, 所以 b<c,

因此 a,b,c 的大小关系为 0<b<c<1<a.

例1

(1)比较下列各组数的大小: 2 6 ①log3 与 log5 ;②log1.10.7 与 log1.20.7. 3 5 (2)已知 log1b<log1a<log1c,比较 2b,2a,2c 的大小关系.
2 2 2

2 6 解 (1)①∵log33<log31=0,而 log55>log51=0, 2 6 ∴log33<log55. ②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,
∴0>log0.71.1>log0.71.2.

∴log 1.1<log 1.2, 0.7 0.7
由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.

1

1

方法二

作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,如图所示,

两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.
(2)∵y=log1x 为减函数,
2

且 log1b<log1a<log1c,
2 2 2

∴b>a>c. 而 y=2x 是增函数,∴2b>2a>2c.

小结

比较对数式的大小方法很多,①当底数相同时,可

直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相 同,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象, 数形结合解得;③若不同底,不同真数,则可利用中间值 进行比较.

跟踪训练 1

比较下列各组数的大小:

(1)log0.11.3 和 log0.11.8;(2)log35 和 log64; (3)(lg n)1.1 和(lg n)2(n>1).

解 (1)对数函数 y=log0.1x 在(0,+∞)内是减函数.
所以 log0.11.3>log0.11.8. 因为 1.3<1.8,

(2)log35 和 log64 的底数和真数都不相同,需找出中间量“搭
因 桥”,再利用对数函数的单调性即可求解. 为 log35>log33 =1=log66>log64, 所以 log35>log64. (3)把 lg n 看作指数函数的底,本题归为比较两个指数函数的 函数值的大小,故需对底数 lg n 进行讨论.

若 1>lg n>0,即 1<n<10 时,y=(lg n)x 在 R 上是减函数, 所以(lg n)1.1>(lg n)2;
若 lg n>1,即 n>10 时,y=(lg n)x 在 R 上是增函数, 所以(lg n)1.1<(lg n)2.

若 lg n=1,即 n=10 时,(lg n)1.1=(lg n)2.

例2

已知函数 f(x)=loga(1-ax)(a>0,a≠1).解关于 x 的
∵f(x)=loga(1-ax), ∴f(1)=loga(1-a).

不等式:loga(1-ax)>f(1).


∴1-a>0. ∴0<a<1.
∴不等式可化为 loga(1-ax)>loga(1-a).
?1-ax>0, ? ∴? ?1-ax<1-a. ? ?ax<1, ? ,? x 即 ?a >a. ?

∴0<x<1.

∴不等式的解集为(0,1).

小结

logaf(x)=logag(x)(a>0 且 a≠1)等价于 f(x)=g(x),但

要注意验根. ?f?x?>0, ? 对于 logaf(x)>logag(x)等价于 0<a<1 时,?g?x?>0, ?f?x?<g?x?; ? ?f?x?>0, ? a>1 时,?g?x?>0, ?f?x?>g?x?. ?

跟踪训练 2

?log2x,x>0, ? 若函数 f(x)=? 1 若 f(a)> ?log2?-x?,x<0, ? ( )

f(-a), 则实数 a 的取值范围是 A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析 ①当 a>0 时,f(a)=log2a,f(-a)=log1a,
2

f(a)>f(-a),即 log2a>log1a=log21, a
2

1 ∴a>a,解得 a>1.

②当 a<0 时,f(a)=log1(-a),f(-a)=log2(-a),
2

f(a)>f(-a),

1 即 log (-a)>log2(-a)=log , 2 2-a 1 ∴-a< , -a
1 1

解得-1<a<0,

由①②得-1<a<0 或 a>1.
答案 C

探究点二

反函数的概念

问题 1 在 y=2x 中,x 是自变量,y 是因变量.若 y 是自变 量,x 是因变量,x 是 y 的函数吗?

答 把 y=2x 由指数式写成对数式:x=log2y,对于 y∈(0, +∞)时,通过式子 x=log2y 可知,x 在 R 中有唯一确定的

因此,可以说若 y 是自变量,x 是因变量,x 值和它对应, 是 y 的函数.
小结 x=log2y(y∈(0,+∞))是函数 y=2x(x∈R)的反函 数 . x = log2y 习 惯 写 成 y = log2x ,所以对数函 数 y = log2x(x∈(0,+∞))是指数函数 y=2x(x∈R)的反函数.反 过来也成立.因此有对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)和指 数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)互为反函数.

问题 2

比较函数 y=2 与 y=log2x 的图象及函数
2

x

?1? y=?2?x 与 ? ?

y=log1x 的图象,得出两对函数的图象存在怎样的关系? 单调性有怎样的关系?

2

函数 y=2 与 y=log2x 的图象及函数

x

?1? y=?2?x 与 ? ?

y=

log1x 的图象都关于直线 y=x 对称.底数相同时,单调性 相同.

问题 3 由问题 2 中的函数间的图象关系, 你能猜测出当 a>0, a≠1 时,函数 y=ax 与 y=logax 的图象之间有什么关系? 单调性有什么关系?
答 函数 y=ax 与 y=logax(a>0,a≠1)的图象关于直线 y=x 对称;单调性相同.

例3


函数 y=loga(x-1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点
根据反函数的概念, 知函数 y=loga(x-1)(a>0 且 a≠1)

(1,4),求 a 的值.
的图象经过点(4,1),

∴1=loga3,∴a=3.
小结 若函数 y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的 图象经过点(b,a).

跟踪训练 3 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x) ?1? =?2?x+1,则 f(x)的反函数的图象大致是( ) ? ?

解析

当 x<0 时,-x>0,

?1?- ∴f(-x)=?2? x+1=2x+1. ? ?

又 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),

∴当 x<0 时,f(x)=-2x-1,

??1?x ?? ? +1,x>0, 即 f(x)=??2? ?-2x-1,x<0, ?
f(x)的图象如图.

由函数及其反函数图象之间的关系可知其反函数的图象 应为 A.
答案 A

探究点三 例4

对数函数的应用

溶液酸碱度是通过 pH 刻画的.pH 的计算公式为 pH

=-lg [H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是 摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式,说明溶液酸 碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7 摩尔/升, 计算 纯净水的 pH.

解 (1)根据对数函数的运算性质, 1 + + -1 有 pH=-lg [H ]=lg [H ] =lg + . [H ]

1 在(0,+∞)上,随着[H ]的增大, + 减小, [H ] 1 相应地,lg + 也减小,即 pH 减小. [H ]


所以随着[H ]的增大,pH 值减小,即溶液中氢离子的浓 度越大,溶液的酸碱度就越小.



(2)当[H+]=10-7 时,pH=-lg 10-7=7,
所以纯净水的 pH 是 7.
小结 本例中,利用对数函数的单调性及反比例函数的单 调性,解释了生活实际中的现象.

跟踪训练 4

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 2 000 m, 游回产

地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 1 Q v= log3 , 单位是 m/s, 其中 Q 表示鱼的耗氧量的单位数. 2 100 (1)当一条鱼的耗氧量是 2 700 个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数. 1 2 700 1 解 (1)令 Q=2 700,则 v=2log3 100 =2log327=1.5.
答 鲑鱼的游速是 1.5 m/s.

Q 1 Q 可得100=1,所以 Q=100. (2)令 v=0,则2log3100=0,
答 一条鱼静止时的耗氧量为 100 个单位.

1.如果 log1x<log1y<0,那么
2 2

( D ) B.x<y<1 D.1<y<x

A.y<x<1 C.1<x<y

解析

?log1x<log1y, ? 2 2 不等式转化为? ?log1y<0 ? 2

?1<y<x.

2.下列各组函数中, 表示同一函数的是 A.y= x2和 y=( x)2 B.|y|=|x|和 y3=x3 C.y=logax2 和 y=2logax D.y=x 和 y=logaax

( D )

解析 y=logaax=xlogaa=x, y=x,两函数的定义域、 即

值域都相同.

3.求函数 y=log2(x2+2x+5)的定义域、值域.
解 ∵x2+2x+5=(x+1)2+4≥4 对一切实数都恒成立,

∴函数定义域为 R. 从而 log2(x2+2x+5)≥log24=2,
即函数值域为[2,+∞).

1.函数 y=logmx 与 y=lognx 中 m、 的大小与图象的位置关系. n 当 0<n<m<1 时, 如图①; 1<n<m 时, 当 如图②; 0<m<1<n 当 时,如图③.

2.由于指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的定义域是 R,值域为 (0,+∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道,对 数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的定义域为(0,+∞),值 域为 R,它们互为反函数,它们的定义域和值域互换,指 数函数 y=ax 的图象过(0,1)点,故对数函数 y=logax 的图 象必过(1,0)点.


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