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三、完全四边形的一些性质


第一阶段 内容三 完全四边形的一些性质
一、 内容概述
几何中的完全四边形(完全四线形) 定义:由四条直线或球面上四条大圆的弧组成,其中每一条直线或弧都与其余的直线或 弧相交于三点(即没有三线共点)所构成的图形。或者我们把两两相交,且无三线共点 的四条直线及它们的六个交点所构成的图形叫做完全四边形。 如图,完全四边形 ADCFBE 中有△ACE、△ABD、△C

DF、△BEF 凸四边形:ADFE 凹四边形:ACFB 折四边形:CDEB

六个点:A、B、C、D、E、F

三对角线:AF、DE、BC

A

E

D

F B

C

二、 性质
1. 完全四边形中四个三角形的外接圆共点,称为密克尔点。 2. 完全四边形中四个三角形的垂心共线,称为垂心线。 3. 完全四边形的一条对角线被其余两条对角线被其余两条对角线调和分割。 4. 过完全四边形的密克尔点作四个三角形的西姆松线,所得四线重合,称为完全四边形 的西姆松线。 5. 完全四边形的西姆松线与垂心线平行。 6. 完全四边形的任一组“对节”在西姆松线(或垂心线)上的射影,其长度总保持相等。 7. 完全四边形的三条对角线的中点三点共线,这条直线被称为牛顿线。牛顿线与西姆松 线、垂心线垂直。 8. 梅涅劳斯定理 9. 以完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴, 且完全四边形的四个三角形的垂心在这 条轴上,即垂心线(垂足线) 。 10.完全四边形中四个三角形的外接圆圆心共圆, 这四个圆心每三个构成的三角形的垂心 分别在构成完全四边形的四条直线上, 且以这四个垂心为顶点构成的四边形与以四个 圆心为顶点构成的四边形全等。 11.在完全四边形 ABCDEF 中,G 是对角线 AF 所在直线上异于 A 的任意一点,则
cot ?AGC ? cot ?AGE ? cot ?AGD ? cot ?AGB

三、 自主尝试一
1. 试证明上述 11 条性质。 2. 四边形 ABCD 的两条对角线交于点 O,两组对边的延长线分别相交于 E、F,过 O 作 EF 的平行线交 BC、AD 于 I、J.求证:OI=OJ. 3. 以△ABC 的边 BC 为直径作半圆,与 AB、AC 分别交于点 D、E.过 D、E 作 BC 的垂线,垂足分别是 F、G.线段 DE、EF 分别交于点 M.求证: AM ? BC .

四、 一个命题的应用 命题:如果完全四边形的三条对角线互不平行,则任何一条对角线被其他两条对 角线内分和外分所得的四条线段都成比例。 改述为:在完全四边形 ABCDEF 中 AC、BD、EF 为三条对角线。设 AC 与 BD、AC 与
EF、BD 与 EF 分别交于点 P、Q、R.证明: (1)
BP BR EQ ER AP AQ ? (2) (3) ? ? PD RD QF RF PC QC

五、 自主尝试二
1. 在完全四边形 ABCDEF 中,AC 与 BD 交于点 P,过 P 作 EF 的平行线分别与 BC、 AD、AB、CD 交于点 M、N、X、Y,证明:PM=PN,PX=PY.

2. 已知动点 O 在△ABC 内部,射线 AO、BO、CO 分别与对边交于 M、N、P.设 NP
与 AO、PM 与 BO、MN 与 CO 分别交于点 D、E、F.证明:不论点 O 位置如何变 化,
OD OE OF ? ? 恒为一个定值。 AD BE CF

六、 完全四边形的部分优美性质 性质 1:在完全四边形 PGC1 AB1H 中,若与边 HC1 相切且与边 GB1 切于点 G 的圆为圆 O1 ,与 边 GB1 相切且与边 HC1 切于点 H 的圆为圆 O2 , 则对角线 PA 垂直于离点 P 较远的这两圆的外 公切线。 性质 2:在完全四边形 ABCDEF 中,过 B、F 作与对角线 AB 平行的线分别交对角线 CE 于 G、H,连接 BH、FG 相交于点 P,则点 P 在直线 AD 上。 性质 3: 在完全四边形 ABCDEF 中, G 是对角线 AD 所在直线上一点, 点 连接 BG、 CG、 EG、FG。若 ?AGC ? ?AGE ,则 ?AGB ? ?AGF 性质 4:在完全四边形 ABCDEF 中,对角线 AD 所在直线交对角线 CE 于 G,则
?AGB ? ?AGF 的充要条件是 AD ? CE 。

性质 5:在完全四边形 ABCDEF 中,对角线 AD、CE 互相垂直,则 ?CDE 与 ?CAE 互补 的充要条件是 B、C、E、F 四点共圆。 性质 6:过完全四边形 ABCDEF 的顶点 A 的直线交 BF 于 M,交 CE 于 N,交 BD 于 G, 交 CD 于 H,则
1 1 1 1 ? ? ? . AM AN AG AH

性质 7:在完全四边形 ABCDEF 中,对角线 AD 所在直线交 BF 于 M,交 CE 于 N,则
MD ? (3 ? 2 2) AN .

性质 8:在完全四边形 ABCDEF 中,G 为 AF 上一点,直线 CG 与 AD 交于点 H,直线 HF 与 DG 交于点 P,直线 BP 交 CG 于 T,交 AF 于 Q,直线 CQ 交 BE 于 S,则 A、T、 S 三点共线。

七、 自主尝试三
证明上述 8 条性质

八、 探究与创新
探究完全四边形在几何及竞赛中的应用


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